北师大版八年级上册1 函数精品课后练习题

专题4.1 函数、一次函数与正比例函数

1、掌握函数的概念与表示方法；

2、会求函数的值，并确定自变量的取值范围；

3、掌握一次函数、正比例函数的概念；

4、能根据函数图象解决实际问题。

知识点01 函数

知识点

函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。

函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.

函数的三种表示方法

①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。

②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。

③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。

【微点拨】

1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。

2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2.

【知识拓展1】函数关系的辨析

例1．（2022·广西·梧州市八年级阶段练习）在下列关系式中，y不是x的函数的是（    ）

A．x+y=5 B． C． D．

【即学即练】

1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【知识拓展2】自变量的取值范围与函数值

例2．（2022·河南驻马店·八年级期中）函数y＝中自变量的取值范围是___．

【即学即练】

2.（1）（2022·福建·厦门市海沧区北附学校八年级期末）下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（　　）

A． B． C． D．

（2）（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______．

【知识拓展3】函数的三种表示方法

例3．（2022·云南楚雄·七年级期末）在关系式中，下列说法错误的是(　　　)

A．的数值可以任意选择 B．的值随的变化而变化

C．用关系式表示的不能用图象表示 D．与的关系还可以用列表法表示

【即学即练】

3．（1）（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是h＝_____（0≤t≤5）．（自变量表达式按照t的降幂排列）

（2）（2022·重庆·七年级专题练习）如图是2020年1月15日至2月2日全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法：①自变量为时间，确诊总人数是时间的函数；②1月23号，新增确诊人数约为150人；③1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同；④1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，其中正确的是____________．（填上你认为正确的说法的序号）

【知识拓展4】实际背景下的函数图象问题

例4．（2022·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．下面可以近似地刻画出容器中最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（    ）

A． B．C． D．

【即学即练】

4.（2022·山东威海·期末）小明早上从家里骑车上学，途中想起忘带作业，立刻加速按原路返回．返家途中遇到了给他送作业的妈妈，接过作业后，小明以返家的速度向学校赶去．下列能大致反映小明离家的距离S与时间t之间关系的图象是（    ）

A． B． C． D．

知识点02 一次函数与正比例函数

【知识点】

一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。

正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。

函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。

【知识拓展1】一次函数的辨别

例1．（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）下列函数不是一次函数的是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练1】

1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【知识拓展2】正比例函数的辨别

例2．（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，表示正比例函数的是（   ）

A． B． C． D．

【即学即练2】

2．（2022·广西河池·八年级期末）下列函数中，是正比例函数的是（    ）

A． B． C． D．

【知识拓展3】直利用一次（正比例）函数的概念求参数

例3．（2022·山东济宁·八年级期末）已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）

A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3

【即学即练3】

3．（1）（2022·江苏·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则m的取值范围是（    ）

A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数

（2）（2022·河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）若函数是正比例函数，则m值为（    ）

A．3 B．-3 C．±3 D．不能确定

【知识拓展4】函数图象上的点的特征

例4．（2022·重庆铜梁·八年级期末）下列各点中，在函数的图象上的点是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练4】

4．（2022·广西·梧州市第十中学八年级阶段练习）在下列各点中，在函数y=-x+2的图象上的点是（    ）

A．(-1，3) B．(-1，1) C．(1，-1) D．(-2，0)

考法01   函数图象中的动态问题

【典例1】（2022·广东·深圳市罗湖区新华外国语学校七年级期末）小张和小王是同一单位在A、B两市的同事，已知A、B两市相距400km，周六上午小王从B市出发，开车匀速前往A市的公司开会，1小时后小张从A市的公司出发，沿同一路线开车匀速前往B市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到A市的公司开会，便立即加速返回公司（折返的时间忽略不计）．已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20km．两人距B市的距离y（km）与小张行驶时间x（h）间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)小王的速度为______，的值为______；(2)小张加速前的速度为______，的值为______；

(3)在小张从出发到回到市的公司过程中，当为______时，两人相距？

变式1．（2022·安徽·风华中学八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，在运动过程中形成的△ABP的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是(   )

A．B．C．D．

变式2．99．（2022·四川·达川区金华学校七年级期中）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间　x（时）的关系如图2所示．

(1)A，B两地之间的距离为　　千米；(2)图中点M代表的实际意义是什么？

(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．

题组A  基础过关练

1．（2022·江苏·南通市八一中学八年级期中）下列图象中表示y是x的函数的有几个（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2022·甘肃兰州·七年级期末）如图为一个管道的截面图，其内径即内圆半径为分米，管璧厚为分米，若设该管道的截面阴影部分面积为平方分米，那么关于的关系式是（   ）

A． B．

C． D．

3．（2022·湖南衡阳·八年级期中）已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2

4．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）下列函数中，是正比例函数的是（    ）

A．y＝2x B． C．y＝x2 D．y＝2x－1

5．（2022·广西玉林·八年级期末）下列函数中，表示是的一次函数的是（   ）

A． B． C． D．

6．（2022·河北廊坊·八年级期末）在函数中，的值是（    ）

A．3 B． C．6 D．

7．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）下面哪个点在函数的图象上（　　　）

A． B． C． D．

8．（2022·浙江丽水·八年级期末）一次函数y＝10－2x的比例系数是________．

9．（2022·河南商丘·八年级期末）一个水库的水位在最近5h内持续上涨，水位高度y（m）与时间t（h）之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是______m．

10．（2022·河北唐山·八年级期末）已知函数．(1)当时，求y的值；(2)当时，求x的值；

(3)判断点是否在直线上．

11．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元．

(1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式：

(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元．

12．（2022·河北邢台·八年级期中）下图是某地区一天的气温随时间变化的图象：

(1)图中的变量是什么？(2)气温在哪段时间是下降的？(3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？

题组B  能力提升练

1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　）

A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1

C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7

2．（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）已知函数，则x=-5时的函数y的值为（      ）

A．-15 B．15 C．-19 D．21

3．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）下列函数的图像经过原点的是（　　）

A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5

4．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（    ）

A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化

B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化

C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化

D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化

5．（2022·河北沧州·八年级期末）如图是蓄水池的横截面示意图，分为深水区和浅水区．若以固定的水流速度向蓄水池注水，设未注满水前，水的最大高度为h米，注水时间为t分钟，则下面能大致表示h关于t的关系图象的是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·四川成都·模拟预测）对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝，那么函数y＝2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．

7．（2022·湖南常德·八年级期末）已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．

8．（2022·山东滨州·八年级期中）我们把称为一次函数的“特征数”．如果“特征数”是的一次函数为正比例函数，则n的值为______．

9．（2022·四川广安·九年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为______．

10．（2022·四川·米易县民族中学校八年级阶段练习）对于关系式，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤与的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是______．（只需填写序号）

11．（2022·陕西汉中·七年级期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为．(1)求与的关系式；(2)当点运动到的中点时，的面积是多少？

(3)若的面积为，则的长为多少？

12．（2022·贵州·铜仁市第三中学八年级阶段练习）已知函数，

(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？

题组C  培优拔尖练

1．（2022·四川成都·二模）若函数是一次函数，则的值为（    ）

A．-1 B． C．1 D．2

2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）甲、乙两人沿同一直道从地到地，在整个行程中，甲、乙离地的距离与时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（    ）

A．甲比乙早1分钟出发   B．乙的速度是甲的速度的2倍

C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟

D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达地

3．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（    ）

A．正比例函数关系    B．一次函数关系     C．反比例函数关系    D．二次函数关系

4．（2022·天津益中学校八年级阶段练习）一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ）

A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3）

5．（2022·江苏·八年级专题练习）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·山东禹城·八年级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是﹣3，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（　　）

A．10 B．14 C．18 D．22

7．（2022·江苏·八年级专题练习）一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新的正方形周长与之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是__________．

8．（2022·山东东营·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果变量与之间的关系如图②所示，则长方形的面积为_________．

9．（2022·四川省绵阳南山中学双语学校八年级阶段练习）已知点在直线上，则点到原点的距离为________．

10．（2022·福建泉州·一模）已知：不论m为何值，点P（m，4m-5）都在直线l上，若Q（a，b）是直线l上的点，则4a-b值是______．

11．（2022·成都市·八年级期中）已知点及在第一象限的动点，且，为坐标原点，设的面积为．（1）求关于的函数解析式；（2）求的取值范围；（3）当时，求点坐标．

12．（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中有一点，过该点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是A、B，若由该点、原点O以及两个垂足所组成的长方形的周长与面积的数值相等，则我们把该点叫做平面直角坐标系中的平衡点．

（1）请判断下列各点中是平面直角坐标系中的平衡点的是　  ；（填序号）①A（3，6）②B（﹣2，2）

（2）若在第一象限中有一个平衡点N（4，m）恰好在一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象上．

①求m、b的值；②一次函数y＝﹣x+b（b为常数）与y轴交于点C，问：在这函数图象上，是否存在点M．使S△OMC＝3S△ONC，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）经过点P（0，2），且平行于x轴的直线上有平衡点吗？若有，请求出平衡点的坐标；若没有，说明理由．