【同步讲义】北师大版数学八年级下册：第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（题型过关）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 

【题型一】利用不等式的性质求解

典例1．（2022秋·浙江宁波·八年级余姚市梨洲中学校考期中）由不等式得到，试化简．

变式1-1．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）当时，

(1)请比较与的大小，并说明理由．

(2)若，则的取值范围为______．（直接写出答案）

变式1-2．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知，请比较与的大小，并说明理由．

变式1-3．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

(1)若a－b＞0，则a             b；

(2)若a－b＝0，则a               b；

(3)若a－b＜0，则a              b.

这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．

请运用这种方法尝试解决下面的问题：

比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小．

【题型二】求一元一次不等式解集

典例2．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）解不等式：．

变式2-1．（2022春·广东佛山·八年级校考期中）解不等式：，并在数轴上表示其解集．

变式2-2．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）下面的不等式解法有错误，按下列要求完成解答：

 解不等式：

   解：去分母得：------------------①     

      去括号得：---------------------②

      合并同类项得：----------------------------③

      解得： -----------------------------------④

(1)以上的解法中从哪一步开始出现了错误______（写出序号即可）

(2)写出正确解答过程并把不等式的解集表示在数轴上．

变式2-3．（2022春·云南文山·八年级校联考期中）求解不等式的非正整数解．

【题型三】用一元一次不等式解决实际问题

典例3（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．

变式3-1．（2022春·四川成都·八年级统考期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

变式3-2．（2022秋·浙江·八年级期中）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．

（1）A、B两种奖品每件各多少元？

（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？

变式3-3．（2022秋·甘肃张掖·八年级校联考期末）某商场销售一种夹克和衬衣，夹克每件定价100元，衬衣每件定价50元，商场在开展促销活动期间，向顾客提供两种优惠方案．

方案一：买一件夹克送一件衬衣

方案二：夹克和衬衣均按定价的80%付款

现有顾客要到该商场购买夹克30件，衬衣x件（x>30）

（1）用含x的代数式表示方案一购买共需付款y1元和方案二购买共需付款y2元；

（2）通过计算说明，购买衬衣多少件时，两种方案付款一样多？

（3）当x=40时，哪种方案更省钱？请说明理由．

【题型四】由直线与坐标轴交点求不等式解集

典例4．（2022春·北京·八年级北京四中校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与B（0，5）．

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)在坐标系中画出该一次函数的图象，观察图象，直接写出：

①当时，y的取值范围是         ；

②当时，x的取值范围是         ；

(3)若点C是x轴上一点，且的面积是15，求点C的坐标．

变式4-1．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，已知一次函数的图像与y轴相交于点A，一次函数的图像经过点B（0，3），且分别与x轴及的图象交于点C、D，点D的横坐标为．

(1)求k，b的值；

(2)当时，求x的取值范围．

变式4-2．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第一中学校考期末）已知一次函数，完成下列问题：

(1)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标；

(2)画出此函数的图像：观察图像，当时，x的取值范围是______．

变式4-3．（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图，一次函数和的图象相交于点A(2，−1)．

(1)求k，b的值；

(2)根据图象，若，写出x取值；若，写出x取值．

变式4-4．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点．

(1)求和的值．

(2)直线，与轴围成的三角形面积为___________．

(3)的解集为___________．

【题型五】根据两条直线交点求不等式解集

典例5．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b经过点A（-5，0），B（-1，4）

（1）求直线AB的表达式；

（2）求直线CE：y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积；

（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞-2x-4的解集．

变式5-1．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）如图：已知直线y＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，4）．

(1)求直线AB的解析式：

(2)若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；

(3)根据图象，直接写出关于x的不等式2x－4＜kx＋b的解集．

变式5-2．（2022春·北京·八年级北京市第一六一中学校考期中）如图，一次函数为与的图象相交于点A．

(1)求点A的坐标；

(2)若一次函数与的图象与x轴分别交于B，C两点，求的面积；

(3)结合图象，直接写出当时，x的取值范围．

变式5-3．（2022春·江西宜春·八年级统考期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．

（1）求出，的值和点的坐标；

（2）连接，直线上是否存在一点，使.如果存在，求出点的坐标；

（3）结合图象，直接写出时的取值范围．

【题型六】求不等式组解集

典例6．（2022春·广东深圳·八年级校联考期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

变式6-1．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）解不等式组：

变式6-2．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．

变式6-3．（2022春·陕西西安·八年级统考期中）解不等式组，并写出不等式组的整数解

变式6-4．（2022春·山东菏泽·八年级统考期末）已知方程组中为非正数，为负数.

(1)求的取值范围；

(2)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？

【题型七】用一元一次不等式组解决实际问题

典例7．（2022春·甘肃张掖·八年级校考期末）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.

（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元?

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.

变式7-1．（2022春·重庆·八年级校考期中）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．

（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？

（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．

①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？

②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？

变式7-2．（2022秋·八年级校考期中）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：

(1)若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解）

(2)若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．

变式7-3．（2022秋·浙江·八年级期中）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．

（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？

（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？