【同步讲义】北师大版数学八年级下册：第四章 因式分解（题型过关）

第四章 因式分解

【题型一】选用合适的方法因式分解

典例1．分解因式：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案；

（2）先提取公因式，再合并即可得到答案．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．

1．因式分解：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用提公因式法即可求解；

（2）利用提公因式法即可求解．

【详解】（1）解：原式；

（2）解：原式．

【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，此类题解答时注意多观察代数式的形式特点选择合适的因式分解方法往往可以事半功倍．

2．分解因式：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；

（2）先提公因式（m－2），再利用平方差公式分解因式即可．

【详解】解：（1）

=

=；

（2）

=

=．

【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．

3．因式分解：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行计算即可求解；

（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．

4．已知a+b＝2，ab＝2，求a3b+a2b2+ab3的值．

【答案】ab（a+b）2，4

【分析】将所求代数式通过因式分解的形式等价变形为a与b的和或积的形式，再代入计算即可．

【详解】解：原式＝a3b+a2b2+ab3＝ab（a+b）2，

∵a+b＝2，ab＝2，

∴原式＝×2×22＝4．

【点睛】本题考查代数式求值，因式分解，正确应用因式分解进行等价变形是解题关键．

5．（1）分解因式：；

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可；

（2）先运用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式进行运算，然后再合并同类项即可．

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】本题主要考查了分解因式和整式混合运算，解题的关键是熟记平方差公式和完全平方公式．

6．分解因式

(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；

（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（3）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；

（4）利用十字相乘法分解因式．

【详解】（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）、因式分解法是解题的关键．

【题型二】因式分解在有理数简算时的应用

典例2．利用因式分解计算

(1)

(2)

【答案】(1)36

(2)31.4

【分析】（1）先将变形为的形式，再利用平方差公式求解；

（2）先提取公因式，再进行计算即可．

【详解】（1）解：

（2）解：

【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．

1．同学们，我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧!想办法计算：

【答案】

【分析】根据平方差公式进行计算即可

【详解】原式

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键．

2．解下列各题：

(1)分解因式：；

(2)利用因式分解简便计算：．

【答案】(1)（x-y）（x+1）（x-1）；

(2)1．

【分析】（1）根据提公因式法和公式法可以将式子因式分解；

（2）根据完全平方公式解答即可．

【详解】（1）解： x2（x-y）+（y-x）

=（x-y）（x2-1）

=（x-y）（x+1）（x-1）；

（2）解：20222-2022×4042+20212

=20222-2×2022×2021+20212

=（2022-2021）2

=12

=1．

【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式的简便运算，解答本题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．

3．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：．

(1)求的值．

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则进行计算即可求解；

（2）根据二阶行列式的运算法则方程，根据完全平方公式进行计算，解方程即可求解．

【详解】（1）解：

；

（2）∵，

∴，

∴，

，

解得：．

【点睛】本题考查新定义运算，平方差公式，完全平方公式，根据新定义进行计算是解题的关键．

【题型三】分组分解法

典例3．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．

例1：“两两分组”：

解：原式

例2：“三一分组”：

解：原式

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

(1)分解因式：①；②；

(2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．

【答案】(1)①；②

(2)等腰三角形

【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；

②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；

（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．

【详解】（1）（1）①x2-xy+5x-5y

=（x2-xy）+（5x-5y）

=x（x-y）+5（x-y）

=（x-y）（x+5）；

②m2-n2-6m+9

=（m2-6m+9）-n2

=（m-3）2-n2

=（m-3+n）（m-3-n）；

（2）∵a2-b2-ac+bc=0，

∴（a2-b2）-（ac-bc）=0，

∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，

∴（a-b）（a+b-c）=0，

∵a，b，c是△ABC的三边，

∴a+b-c＞0，

∴a-b=0，

∴a=b，

即△ABC是等腰三角形．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题关键．

1．由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．

通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．

根据阅读材料解决下列问题：

(1)用十字相乘法因式分解：；

(2)用十字相乘法因式分解：；

(3)结合本题知识，因式分解：．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；

（2）利用十字相乘法进行求解即可；

（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．

【详解】（1）解：；

（2）解：；

（3）解：

．

【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．

2．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．

①分组分解法：

例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y) 2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．

②拆项法：

例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1) 2－2＝(x＋1－2) (x＋1＋2) ＝ (x－1) (x＋3)．

(1)分解因式：

①4x2＋4x－y2＋1；                   ②x2－6x＋8；

(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，求△ABC的周长．

【答案】(1)①，②

(2)7

【分析】（1）①把原式化为再结合完全平方公式与平方差公式分解因式即可；②把原式化为再结合完全平方公式与平方差公式分解因式即可；

（2）把条件化为，再利用非负数的性质求解 从而可得答案．

【详解】（1）解：①4x2＋4x－y2＋1

；

②x2－6x＋8

；

（2）解：a2＋b2＋c2－4a－4b－6c＋17＝0，

∴，

【点睛】本题考查的是利用公式法分解因式，以及因式分解的应用，掌握“利用完全平方公式，平方差公式分解因式”是解本题的关键．

3．阅读以下材料，并解决问题：

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：

例1：

……………………分成两组

………………分别分解

………………………提取公因式完成分解

像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．

(1)材料例1中，分组的目的是_________________．

(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？

__________________；

__________________．

(3)利用分组分解法进行因式分解：．

【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式

(2)、

(3)

【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；

（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；

（3）根据分组分解法因式分解即可求解．

【详解】（1）分组后能出现公因式，分组后能应用公式

（2），

，

故答案为：，．

（3）

．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．

4．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．

如“”分法：

再如“”分法：

利用上述方法解决下列问题：

(1)分解因式：．

(2)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．

【答案】(1)；

(2)是等腰三角形，理由见解析．

【分析】（1）根据“”分法即可得出答案；

（2）根据“”分法分解因式，得出或，即可得出答案．

【详解】（1）解：

；

（2）解：，

，

，

，

，

∴或，

∴或，

∴是等腰三角形．

【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．

【题型四】因式分解法的应用

典例4．【阅读】下列是多项式因式分解的过程：．请利用上述方法解决下列问题．

【应用】

(1)因式分解：；

(2)若x>5，试比较与0的大小关系；

(3)【灵活应用】若，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)5

【分析】（1）先配方，然后利用平方差公式因式分解即可；

（2）先配方，然后利用平方差公式因式分解，根据条件得出x+1＞0，x-5＞0即可；

（3）先列用配方法化为偶次方的和为0，根据偶次方非负性质，得出解一元一次方程即可．

【详解】（1）解：，

（2）解：，，

∴x+1＞0，x-5＞0，

，

；

（3）解：，

，

∵，

∴，

，，

．

【点睛】本题考查配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，非负数性质，代数式的值，掌握配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，非负数性质，代数式的值是解题关键．

1．阅读：因为（x+3）（x-2）=x2+x-6，说明x2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解：

(1)多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x=　 　，A=0；

(2)长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x2+kx-14，求k的值；

(3)若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x3+ax2-7x+b，试求a，b的值．

【答案】(1)-m

(2)k=5；

(3)a=5，b=-2．

【分析】（1）根据多项式的一个因式为0，则多项式为0可求解；

（2）根据长方形的面积公式可知：x-2是x2+kx-14的一个因式，利用当x=2时，x2+kx-14=0，求出k的值即可；

（3）根据长方体的体积公式可知x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式，利用x=-2和x=1时，4x3+ax2-7x+b，求出a，b的值即可．

【详解】（1）解：由题意，得，当x+m=0时，A=0，

∴x=-m时，a=0，

故答案为：-m；

（2）解：由题意得x-2是x2+kx-14的一个因式，

∴x-2能整除x2+kx-14，

∴当x-2=0时，x2+kx-14=0，

∴x=2时，x2+kx-14=4+2k-14=0，

解得：k=5；

（3）解：由题意得x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式，

∴x+2，x-1能整除4x3+ax2-7x+b，

∴当x+2=0即x=-2时，4x3+ax2-7x+b=0，

即4a+b=18①，

当x-1=0即x=1时，4x3+ax2-7x+b=0，

即a+b=3②，

①-②得3a=15，

解得：a=5，

∴b=-2．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．

2．不解方程组，求的值

【答案】6

【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可．

【详解】解：原式=，

，

∴原式=．

【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是利用整体的数学思想和正确运算的能力求解．

3．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．

解：设另一个因式为，得

则

∴

解得：，

∴另一个因式为，的值为

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．

【答案】另一个因式为 ，的值为5．

【分析】设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值．

【详解】解：设另一个因式为，得

则

∴

解得：，．

故另一个因式为 ，的值为5．

【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．

4．仔细阅读下面的例题，解答问题：

例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．

解：设另一个因式为，得，

则，

解得

∴另一个因式为的值为．

仿照以上方法解答问题：

（1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值；

（2）若二次三项式可分解为，求的值；

（3）若二次三项式可分解为，求的值．

【答案】（1）另一个因式为的值为3；（2）；（3）．

【分析】（1）设另一个因式为（x+t），得2x2-5x+k=（2x-3）（x+t）=2x2+（2t-3）x-3t，可知2t-3=-5，k=-3t，继而求出t和k的值及另一个因式．

（2）将（x-2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；

（3）（2x-1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；

【详解】（1）设另一个因式为，得

，

则

解得

故另一个因式为的值为3．

（2），

解得．

（3），

．

【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．

5．阅读材料利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解

例如

根据以上材料，解答下列问题．

(1)分解因式（利用公式法）：；

(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．

(3)已知，，试比较P，Q的大小．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）仿照题意进行求解即可；

（2）利用完全平方公式将所给式子变形为进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系求解即可；

（3）利用作差法求出，据此即可得到答案．

【详解】（1）解：

；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵c是最大边，

∴；

（3）解：∵，，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性，熟知完全平方公式是解题的关键．