初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理精品习题

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专题08 勾股定理的证明（综合题）
易错点拨

知识点：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中，所以．
　　　　　
　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
易错题专训

一．选择题
1．（2021秋•西峡县期末）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【易错思路引导】证明△ABC≌△CDE（SAS），由全等三角形的性质可得出∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．由图形的面积可得出③④⑤正确．
【规范解答】解：∵AB∥DE，AB⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°．
∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°，
故①②正确；
∵AB∥DE，AB⊥BD，
∴四边形ABDE的面积是；
故③正确；
∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，
∴ab，
∴a2+b2＝c2．
故③④⑤都正确．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．（2021秋•襄汾县期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，则阴影部分的面积是（　　）cm2．

A．169 B．25 C．49 D．64
【易错思路引导】由勾股定理求出BC的长，则可得出答案．
【规范解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12（cm），
∴阴影部分正方形的边长为12﹣5＝7（cm），
∴阴影部分正方形的面积为7×7＝49（cm2），
故选：C．
【考察注意点】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2022春•邕宁区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【易错思路引导】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【规范解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，
∴能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
4．（2021秋•房山区期末）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【易错思路引导】根据弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，可求出直角三角形的面积，即可求解．
【规范解答】解：∵“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴直角三角形的面积＝（大正方形面积﹣小正方形面积）÷4＝（32﹣12）÷4＝2，
即，
∴ab＝4，
故选：B．
【考察注意点】本题考查了勾股定理，明确从整体和部分两种方式表示同一个图形的面积是解题的关键．
5．（2022•大观区校级开学）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　）

A．144 B．49 C．64 D．25
【易错思路引导】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．
【规范解答】解：由题意可得：
小正方形的边长＝﹣5＝7，
∴小正方形的面积为7×7＝49，
故选：B．
【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（2021秋•盐湖区期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式正确的是（　　）

A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab
【易错思路引导】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【规范解答】解：观察图形可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
【考察注意点】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
7．（2022•重庆模拟）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：
①BI＝CD；
②2S△ACD＝S1；
③S1+S4＝S2+S3；
④+＝．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错思路引导】根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确，过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出S△ABI＝S1，即可得出②正确，过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，证S1＝S3即可得证③正确，利用勾股定理可得出S1+S2＝S3+S4，即能判断④不正确．
【规范解答】解：①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，
∴AI＝AC，AB＝AD，∠IAC＝∠BAD＝90°，
∴∠IAC+∠CAB＝∠BAD+∠CAB，
即∠IAB＝∠CAD，
在△ABI和△ADC中，
，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴BI＝CD，
故①正确；
②过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，

∴∠BMA＝90°，
∵四边形ACHI是正方形，
∴AI＝AC，∠IAC＝90°，S1＝AC2，
∴∠CAM＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CAM＝∠BMA＝90°，
∴四边形AMBC是矩形，
∴BM＝AC，
∵S△ABI＝AI•BM＝AI•AC＝AC2＝S1，
由①知△ABI≌△ADC，
∴S△ACD＝S△ABI＝S1，
即2S△ACD＝S1，
故②正确；
③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，

∴∠CNA＝90°，
∵四边形AKJD是矩形，
∴∠KAD＝∠AKJ＝90°，S3＝AD•AK，
∴∠NAK＝∠AKC＝90°，
∴∠CNA＝∠NAK＝∠AKC＝90°，
∴四边形AKCN是矩形，
∴CN＝AK，
∴S△ACD＝AD•CN＝AD•AK＝S3，
即2S△ACD＝S3，
由②知2S△ACD＝S1，
∴S1＝S3，
在Rt△ACB中，AB2＝BC2+AC2，
∴S3+S4＝S1+S2，
又∵S1＝S3，
∴S1+S4＝S2+S3，
即③正确；
④在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，
∴S3+S4＝S1+S2，
∴＝，
故④错误；
综上，共有3个正确的结论，
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二．填空题
8．（2022秋•杏花岭区校级月考）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则a+b的值为 　　．

【易错思路引导】根据图形可知四个直角三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，再根据勾股定理可得a2+b2＝60，然后即可求出（a+b）2的值，然后即可求得a+b的值．
【规范解答】解：由题意可得，
ab×4+10＝60，
解得：2ab＝50，
∵大正方形的面积为60，
∴a2+b2＝60，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝60+50＝110，
∴a+b＝或a+b＝﹣（不合题意，舍去），
故答案为：．
【考察注意点】本题考查勾股定理的证明、正方形的面积、直角三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2021秋•漳州期末）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12．其中正确的是 　①②③　．（写出所有正确结论的序号）

【易错思路引导】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出x与y的关系式，依次判断所给关系式即可．
【规范解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，
∴x2+y2＝斜边2＝大正方形的面积＝25，
故①正确；
∵小正方形的边长为1，
∴x﹣y＝1，
故②正确；
∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，
∴1+2xy＝25，
∴xy＝12，
故③正确；
根综上可得①②③正确．
故答案为：①②③．
【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解答本题的关键．
10．（2021秋•锦江区校级月考）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为48，AE+BE＝8．则S△CFP﹣S△AEP的值是 　16　．

【易错思路引导】根据△AEP≌△CGM，得到S△CFP﹣S△AEP＝S四边形EHMP＝S四边形MGFP＝，进行计算即可．
【规范解答】解：设CG与AC的交点为M，

则在△CFP与△AHM中，
，
∴△CFP≌△AHM（AAS），
同理，△AEP≌△CGM，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S四边形EHMP＝S四边形MGFP＝，
设AE＝a，BE＝b，
则a+b＝8，a2+b2＝48，EF＝a﹣b，
由a+b＝8，a2+b2＝48，得ab＝8，
∴小正方形EFGH的面积为：EF2＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝64﹣32＝32，
∴S△CFP﹣S△AEP＝＝16．
故答案为：16．
【考察注意点】本题考查勾股定理和完全平方式的运用，分析出S△CFP﹣S△AEP＝是关键．
11．（2021秋•杏花岭区校级期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝2，b＝3，则长方形的面积为 　12　．

【易错思路引导】设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
【规范解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝2，b＝3，
∴AB＝2+3＝5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（2+x）2+（x+3）2＝52，
整理得，x2+5x﹣6＝0，
而矩形面积为（2+x）（3+x）＝x2+5x+6＝12，
即该矩形的面积为12，
故答案为：12．

【考察注意点】本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
12．（2021秋•漳州期末）如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的面积为64，四边形EFGH的面积为9，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y）；下列四个结论：
①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝；④2xy+9＝64．
其中正确的是 　①②③④　．（写出所有正确结论的序号）

【易错思路引导】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【规范解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝64，
故①正确；
由图可知，x﹣y＝CE＝＝3，
故本②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+9＝64，
即2xy+9＝64；
故本④正确；
由2xy+9＝64可得2xy＝55①，
又∵x2+y2＝64②，
∴①+②得，x2+2xy+y2＝64+55，
整理得，（x+y）2＝119，
x+y＝，
故③正确．
∴正确结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
13．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为　4　．

【易错思路引导】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．
【规范解答】解：6﹣4＝2，
2×2＝4．
故图2中小正方形ABCD的面积为4．
故答案为：4．
【考察注意点】考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．
14．（2022•兰山区二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为　5　；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBn∁nDn的面积为　5n　（用含n的式子表示，n为正整数）．

【易错思路引导】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．
【规范解答】解：已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，
新正方形A1B1C1D1的面积是5，
从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，
…
正方形AnBn∁nDn的面积为5n．
故答案为：5n．
【考察注意点】此题是勾股定理的证明，主要考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，此题难度不大．
15．（2021秋•诸暨市期中）如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　48　．

【易错思路引导】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．
【规范解答】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，
∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝CG2+CF2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S2＝GF2，
S3＝（KF﹣NF）2，
＝KF2+NF2﹣2KF•NF
＝KF2+KG2﹣2DG•CG
＝FG2﹣2CG•DG，
∵正方形EFGH的边长为4，
∴GF2＝16，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+FG2﹣2CG•DG＝3GF2＝48，
故答案为：48．
【考察注意点】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3＝3GF2＝48是解题的关键．
三．解答题
16．（2021秋•龙泉市期末）如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH无缝拼成的大正方形ABCD．
（1）若∠ABE＝30°，EF＝﹣1，求AB的长．
（2）点M在FG上，AB∥EM，且AB＝2EM，求正方形ABCD与正方形EFGH的周长比．

【易错思路引导】（1）根据含30°角的直角三角形的三边关系设元求解即可．
（2）通过辅助线构造证明F点为BE的中点即可求出周长比．
【规范解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE，
设AE＝x（x＞0），则AB＝2x，EB＝，
∵△ABE为直角三角形，
∴AB2＝AE2+EB2，即（2x）2＝x2+（）2，
解方程得：x＝1．
∴AB＝2AE＝2x＝2，
（2）如图，去AB中点P，连接PE、PF，则有PA＝PB＝PE，

∵AB＝2EM，
∴PE＝EM，
∵AB∥EM，
∴∠MEF＝∠ABE，
∵PB＝PE，
∴∠ABE＝∠PEB，
∴∠PEF＝∠MEF，
∴△PEF≌△MEF（SAS），
∴P、F、M三点共线，
∴△EMF≌△BPF（AAS），
∴EF＝BF，
设EF＝a，
则BE＝2a，
∴BF＝a，
∴AE＝BF＝a，
∴AB＝＝，
∴＝，
正方形ABCD与正方形EFGH的周长比为：，
【考察注意点】本题考查含30°角直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键．
17．（2022春•朔州月考）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】（1）请叙述勾股定理；
（2）验证勾股定理，请利用图2中的数据来验证该定理．
【探索发现】（1）如图3、4、5，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 　3　个；
（2）如图6所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．

【易错思路引导】【实践操作】（1）勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（2）在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：a2+b2＝c2．
【探索发现】（1）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；
（2）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2＝S3．
【规范解答】解：【实践操作】（1）如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
（2）证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2+ab×4＝（b+a）2，
化简得：a2+b2＝c2．
【探索发现】（1）三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；
故答案为3；
（2）结论：S1+S2＝S3．
∵S1+S2＝（）2+π（）2+S3﹣π（）2，
∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，
∴a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝S3．
【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
18．（2022春•大观区校级期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　5：9　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　28　；

（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　　．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【易错思路引导】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【规范解答】解：【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故答案为：5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2××4×6＝28．
故答案为：28．
（3）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．
【考察注意点】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（4）中考查了图形面积关系，根据已知用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝40求出是解决问题的关键．
19．（2021春•滑县期末）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．
（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；
（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．

【易错思路引导】（1）把四个全等的直角三角形的斜边首尾相接，可拼成所需图案，如图所示（答案不唯一）；
（2）分别用两种方法计算大正方形的面积，从而可得（a+b）2＝c2+4×ab，化简即可得证．
【规范解答】解：（1）（答案不唯一）如图；
（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，
大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，
∴（a+b）2＝c2+4×ab，
即a2+b2+2ab＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

【考察注意点】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是拼出熟知的勾股图．
20．（2018•保定二模）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．

【易错思路引导】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
【规范解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．

【考察注意点】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键