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    【同步讲义】苏科版数学八年级上册:第3章《勾股定理》 讲义(导图+知识点+考点提优练)

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    数学八年级上册3.1 勾股定理优秀综合训练题

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    这是一份数学八年级上册3.1 勾股定理优秀综合训练题,文件包含第3章《勾股定理》原卷版docx、第3章《勾股定理》解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共48页, 欢迎下载使用。
    2022-2023学年苏科版数学八年级上册章节考点精讲精练3章《勾股定理》知识点01:勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于                     .(即:                  2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:(1)已知直角三角形的两边,求                   (2)利用勾股定理可以证明                     的问题;(3)解决与勾股定理有关的                     (4)勾股定理在                的应用.知识点02:勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长,满足                  ,那么这个三角形是直角三角形.细节剖析应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是                的基本步骤:(1)首先确定最大边,不妨设               (2)验证:是否具有              
       若,则ABC是以C为90°的                    
       若时,ABC是                    若时,ABC是             2.勾股数满足不定方程             称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以为三边长的三角形一定是直角三角形.细节剖析常见的勾股数:3、4、5; 5、12、13;8、15、17;7、24、25;9、40、41.如果()是勾股数,当t为              时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.观察上面的四组勾股数,它们具有以下特征:1.较小的直角边为                   2.较长的直角边与对应斜边相差                    .3.假设三个数分别为,且,那么存在             成立.(例如中存在=24+25、=40+41等)知识点03:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的                  ,而其逆定理是                 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者             ,都与                 有关.考点01:勾股定理的证明1.(2022春•龙凤区期中)如图,在四边形ABDE中,ABDEABBD,点C是边BD上一点,BCDEaCDABbACCEc.下列结论:①△ABC≌△CDE②∠ACE=90°;③四边形ABDE的面积是(a+b2a+b2c2=2×ab⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结论个数是(  )A.5 B.4 C.3 D.22.(2021秋•房山区期末)如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它被第24届国际数学家大会选定为会徽,是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定.“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形的两条直角边分别为ab,大正方形边长为3,小正方形边长为1,那么ab的值为(  )A.3 B.4 C.5 D.63.(2021秋•顺德区期末)下面图形能够验证勾股定理的有(  )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个4.(2022•邯郸三模)在证明勾股定理时,甲、乙两位同学分别设计了方案:甲:如图,用四个全等的直角三角形拼成,其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形,通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明;乙:两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点FBC边上,顶点CD重合,通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明.对于甲、乙两种方案,下列判断正确的是(  )A.甲、乙均对 B.甲对、乙不对 C.甲不对,乙对 D.甲、乙均不对5.(2022•重庆模拟)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是数形结合的重要纽带.数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理:以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI,正方形ABED,正方形BCGF,连接BICD,过点CCJDE于点J,交AB于点K.设正方形ACHI的面积为S1,正方形BCGF的面积为S2,长方形AKJD的面积为S3,长方形KJEB的面积为S4,下列结论:BICD②2SACDS1S1+S4S2+S3+其中正确的结论有(  )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个  6.(2021秋•崇明区校级期末)在证明“勾股定理”时,可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示,ABBC).如果小正方形的面积是25,大正方形的面积为49,那么     7.(2022•兰山区二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是三国时期的数学家赵爽,不仅最早对勾股定理进行了证明,而且创制了“勾股圆方图”,开创了“以形证数”的思想方法.在图1中,小正方形ABCD的面积为1,如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1,则正方形A1B1C1D1的面积为     ;再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2),如此进行下去,得到的正方形AnBnnDn的面积为     (用含n的式子表示,n为正整数).8.(2021秋•龙泉市期末)如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”),它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH无缝拼成的大正方形ABCD(1)若∠ABE=30°,EF﹣1,求AB的长.(2)点MFG上,ABEM,且AB=2EM,求正方形ABCD与正方形EFGH的周长比.9.(2021秋•大丰区期中)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若ACbBCa,请你利用这个图形解决下列问题:(1)试说明a2+b2c2(2)如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是4,求(a+b2的值.   考点02勾股定理的逆定理10.(2022春•海安市期中)【教材例题】判断由线段abc组成的三角形是不是直角三角形:a=13,b=14,c=15.解:因为132+142=169+196=365,152=225,所以132+142≠152,根据(  ),这个三角形不是直角三角形.A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形两边的和大于第三边 D.三角形两边的差小于第三边11.(2021秋•莲湖区期末)已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C,三边分别为abc,下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(  )A.∠A:∠B:∠C=3:4:7 B.∠A=∠B﹣∠C C.abc=2:3:4 D.b2=(a+c)(ac12.(2021秋•沙坪坝区校级期末)如图,已知∠A=90°,ACAB=3,CDBD=2,则点CBD的距离为      13.(2022•滨海县模拟)如图所示的网格是正方形网格,则∠BAC+∠CDE     (点ABCDE是网格线交点).14.(2021秋•东港市期中)如图,ABCD四点都在3×3正方形网格的格点上,则∠ADB﹣∠BDC     °.15.(2021秋•台江区校级期末)如图,连接四边形ABCD的对角线AC,已知∠B=90°,BC=1,ABCD=2,AD=2(1)求证:△ACD是直角三角形;(2)求四边形ABCD的面积.    16.(2022春•长沙期中)如图,已知点C是线段BD上一点,∠B=∠D=90°,若AB=4,BC=3,CD=8,DE=6,AE2=125.(1)求ACCE的长;(2)求证:∠ACE=90°.     17.(2022春•平舆县期末)定义:如图,点MN把线段AB分割成AMMNNB,若以AMMNNB为边的三角形是一个直角三角形,则称点MN是线段AB的勾股分割点.(1)已知MN把线段AB分割成AMMNNB,若AM=2,MN=4,BN=2,则点MN是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.(2)已知点MN是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.         考点03直角三角形的性质18.(2021秋•利川市校级月考)在下列条件:①∠A:∠B:∠C=1:2:3;②∠A=90°﹣∠B;③∠A=∠BC中,能确定△ABC是直角三角形的条件个数有(  )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个19.(2021春•苏州期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B﹣∠A=10°,DAB上一点,将△ACD沿CD翻折后得到△CED,边CEAB于点F.若△DEF中有两个角相等,则∠ACD的度数为(  )A.15°或20° B.20°或30° C.15°或30° D.15°或25°20.(2021秋•江夏区期末)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BDCE分别平分∠ABC和∠ACBBDCE相交于点O,过点OFOBDAB于点F,连FD.若∠A﹣∠ACBα(0°<α<60°),则∠AFD     21.(2021秋•新建区校级月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=28°,点D在边AB上,将△ABC沿CD折叠,使得点B落在AC边上的点B′处,则∠ADB′的度数为      22.(2019秋•玉田县期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CABBC于点DBEAD于点E.若∠DBE=28°,则∠CAB     23.(2021春•宜宾期末)把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置,直角顶点OO′重合在一起,点DOB上,∠B=30°,∠C=45°.现将△O'CD固定,△OAB绕点O顺时针旋转,旋转角α(0°≤α<90°),OBDC交于点E(1)如图2,在旋转过程中,若OACD时,则α     ;若ABOC时,则α     (2)如图2,在旋转过程中,当△ODE有两个角相等时,α     (3)如图3,连结AC,在旋转过程中,猜想∠DOB与∠CAB+∠ACD的大小关系,并说明理由.    24.(2020秋•八步区期中)在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CDABDCE是△ABC的角平分线.(1)求∠DCE的度数.(2)若∠CEF=135°,求证:EFBC  25.(2022•西城区校级开学)(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AECD相交于点F,∠CFE与∠CEF的数量关系为      (2)如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CDAB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E.探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由;(3)如图3,在△ABC中,边AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,∠BAC的平分线AECD于点F,交BCE.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MNBC的延长线交于点M.请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系.     考点04勾股定理的应用26.(2022•和平区校级开学)如图,有一个水池,水面是一边长为8尺的正方形,在水池中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度是(  )尺.A.7.5 B.8 C. D.927.(2021秋•平昌县期末)如图,某超市为了吸引顾客,在超市门口离地高4.5m的墙上,装有一个由传感器控制的门铃A,如①图所示,人只要移至该门铃5m及5m以内时,门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示,一个身高1.5m的学生走到D处,门铃恰好自动响起,则BD的长为(  )A.3米 B.4米 C.5米 D.7米28.(2021秋•罗湖区期末)现有一楼房发生火灾,消防队员决定用消防车上的云梯救人.如图(1)已知云梯最多只能伸长到15m,消防车高3m.救人时云梯伸长至最长,在完成从12m高处救人后,还要从15m高处救人.这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为(  )A.3米 B.5米 C.7米 D.9米29.(2021秋•晋州市期末)如图,淇淇在离水面高度为5m的岸边C处,用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13m(1)开始时,船距岸A的距离是      m(2)若淇淇收绳5m后,船到达D处,则船向岸A移动      m30.(2021秋•南海区期末)如图,一架秋千静止时,踏板离地的垂直高度DE=0.5m,将它往前推送1.5m(水平距离BC=1.5m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=1m,秋千的绳索始终拉直,则绳索AD的长是      m31.(2021秋•秦都区校级月考)如图,已知钓鱼竿AC的长为3m,露在水面上的鱼线BC长为3m,某钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC转动到AC′的位置,此时露在水面上的鱼线BC′为m,则BB′的长为      m.(结果保留根号)32.(2021秋•溧阳市期中)如图,小明家(A)在小亮家(B)的正北方,某日,小明与小亮约好去图书馆(D),小明行走的路线是ACD,小亮行走的路线是BCD,已知AB=3kmBC=4kmCD=5km,∠ABC=90°,已知小明骑自行车速度为akm/分钟,小亮走路速度为0.1km/分钟.小亮出发30分钟后小明再出发,若小明在路上遇到小亮,则带上小亮一起去图书馆,为了使小亮能坐上小明的顺风车,则a的取值范围是            33.(2021秋•青岛期末)如图1,青岛创建文明城市期间,路边设立了一块宣传牌,图2为从此场景中抽象出的数学模型,宣传牌(AB)顶端有一根绳子(AC),自然垂下后,绳子底端离地面还有0.7m(即BC=0.7),工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m处(即点EAB的距离为3m),绳子正好拉直,已知工作人员身高(DE)为1.7m,求宣传牌(AB)的高度. 34.(2021秋•迁安市期末)某校预建如图1所示自行车棚,钢架已完成,现需要棚顶覆盖铁皮,图2是自行车棚顶的示意图.已知ADBDCDAB,棚宽AB=6米,棚高CD=1.6米,棚长BE=20米,学校打算在校园的不同角落修建一模一样的车棚5个.(1)求一个车棚顶需要的铁皮面积(车棚顶铁皮褶皱忽略不计,车棚最顶端梁脊不用铁皮);(2)某加工厂承包了生产棚顶铁皮任务,在加工过程中由于学校有检查,要求比原定的工期提前1天完成,为此加工厂将工作效率提高了20%,因此,在学校规定的时间内完成任务.求加工厂与学校原定用几天完成车棚顶铁皮的生产任务.   35.(2022春•代县期末)如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目,工作人员告诉小敏,该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造,总长度为26米,长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面,点GAB上,点CGF上,点DAE上,经过现场测量得知:CD=1米,AD=15米.(1)小敏猜想立柱AB段的长为10米,请判断小敏的猜想是否正确?如果正确,请写出理由,如果错误,请求出立柱AB段的正确长度;(2)为加强游戏安全性,俱乐部打算再焊接一段钢索BF,经测量DE=3米,请你求出要焊接的钢索BF的长.(结果不必化简成最简二次根式)    36.(2022春•梁平区期末)交通安全是社会关注的热点问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验.如图,先在笔直的公路1旁选取一点P,在公路l上确定点OB,使得POlPO=100米,∠PBO=45°.这时,一辆轿车在公路l上由BA匀速驶来,测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒,并测得∠APO=60°.此路段限速每小时80千米,试判断此车是否超速?请说明理由(参考数据:=1.41,=1.73).   37.(2015春•大石桥市校级期末)如图,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处,以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动,距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.(1)A市是否会受到台风的影响?写出你的结论并给予说明;(2)如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?    38.(2021春•甘井子区校级期中)由于大风,山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断,如图,其树恰好落在另一棵树乙的根部C处,已知AB=1米,BC=5米,已知两棵树的水平距离为3米,请计算出这棵树原来的高度(结果保留根号)

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