2022-2023学年山东省临沂市费县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省临沂市费县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列式子为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.  有一个三角形两边长为和，要使三角形为直角三角形，则第三边长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 不确定

7.  实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  等边三角形的边长为，则它的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是，小正方形面积是，直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，四边形是菱形，，，于，则(    )

A.
B.
C.
D.  

12.  如图将个边长为和的长方形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长是(    )

A.
B.
C.
D.  

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  若二次根式有意义，则的取值范围是______．

14.  计算的结果是______．

15.  如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的表面爬行到点，则爬行的最短路程长是______ ．

16.  将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______ ．

 

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算题：

 

18.  本小题分
如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位．
求证：为直角三角形；
求点到的距离．

19.  本小题分
如图，，，，，．
求：四边形的面积．

20.  本小题分
如图，的中线，相交于点，已知，分别是，的中点求证：四边形是平行四边形．

21.  本小题分
如图四边形是一个正方形花园，、是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．
 
 

22.  本小题分
如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．
求证：；
若，求的大小．

23.  本小题分
如图，四边形是正方形，是边上的一点，是的中点，平分．
判断与的数量关系，并说明理由；
求证：；
若，求的长．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据二次根式的性质进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故D错误；
故选：．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、，是最简二次根式；
D、不是最简二次根式；
故选：．
根据二次根式的性质化简，判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查算术平方根的非负性，解答本题的关键是求出和的值．
首先根据算术平方根的非负性求出的值，然后代入式子求出的值，最后求出的值．
【解答】
解：要使二次根式有意义，则
解得，
故，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，能构成直角三角形；
，能构成直角三角形；
，能构成直角三角形；
，不能构成直角三角形；
故选：．
根据勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解；当和为直角边时，第三边长为，
当为斜边时，第三边长为：，
故选：．
此题要分两种情况进行讨论：；当和为直角边时；当为斜边时，再分别利用勾股定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出是解题关键．
根据数轴上点的位置关系，可得，根据二次根式的性质，绝对值的性质，可得答案．
【解答】
解：由数轴上点的位置关系，得，
所以


，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：过作于，

是等边三角形，边长为，
，
在中，由勾股定理得：，
的面积是，
故选：．
过作于，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，能求出高的长是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故选C．
由，，利用三角形的三边关系，即可求得，然后由四边形是平行四边形，求得的取值范围．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，
即，，
所以，
解得，，
则．
解法，因为个三角形的面积和为，
所以每个三角形的面积为；
则，
所以
故选：．
根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得、，求即可．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程组并求解是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，，
，，，
，
，
，
解得：．
故选：．
根据菱形的面积公式及勾股定理直接列式求解即可得到答案．
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形面积等于两对角线之积的一半及对角线互相垂直平分．
 

12.【答案】 

【解析】解：过作，
长方形纸片折叠，使点与点重合，
，，，，
，
，
，
在中，设，根据勾股定理可得，
，
解得：，
，
，
，
，
，
故选：．

根据折叠得到，，，结合正方形性质得到，从而得到，即可得到，得到，根据勾股定理求出，即可得到答案．
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是根据折叠及矩形的性质得到线段关系结合勾股定理求出线段．
 

13.【答案】 

【解析】解：当二次根式有意义时，，
解得，
的取值范围是，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数必须是非负数．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则即可求出答案．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离，
，
圆柱体的底面圆周长为，高为，
，
，
故答案为：．
将圆柱展开根据图象得到，两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案；
本题考查勾股定理中最小路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，D.

正方形的边上为．
，，，
，
≌，
，
个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为：，
故答案为：，
连接，，根据正方形性质可得，，，即可得到，即可得到≌，即可得到一个图形重叠的面积，即可得到答案；
本题考查正方形的性质与三角形全等的性质与判定，解题的关键是得到≌．
 

17.【答案】解：原式

；

原式

． 

【解析】直接化简二次根式进而合并得出答案；
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：由勾股定理得，，，
即
即为直角三角形；       
如图，作高，

由
得，
解得，
点到的距离为． 

【解析】此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．
根据勾股定理以及逆定理解答即可；
根据三角形的面积公式解答即可．
 

19.【答案】解：，，，
，
，，
，
三角形是直角三角形，
． 

【解析】根据，，得到，结合，得到三角形是直角三角形，根据三角形面积公式即可得到答案；
本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，解题的关键是根据勾股定理及勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形．
 

20.【答案】证明：，是的中线，
，，
，，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据，是的中线，即可得到，，即可得到，，根据，分别是，的中点得到，，即可得到，，即可得到证明．
本题考查三角形中位线定理及平行四边形的判定，解题的关键是根据中位线得到平行及线段关系．
 

21.【答案】解：，；
理由：四边形是正方形，
  
，
，
，
又，，
≌
，，
，，
，

．
故BE，． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握相关知识是解题关键．
由可得，进而证明≌，然后根据全等三角形的性质可得出与的关系．
 

22.【答案】证明：菱形，
，，
又，
，，
四边形是平行四边形，
；

解：平行四边形，
，
，
又菱形，
丄，
． 

【解析】根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，从而证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示：

与的数量关系：，
理由如下：
，
，
平分，
，
．
如图所示：

过点作交于点，连接．
平分，，，
，
在和中，

≌，
，
又是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
．
设，则，
，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：
，
，解得：，
． 

【解析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识的综合运用，重点掌握判定两个三角形全等的方法，难点是作垂线，构建角平分线和两个三角形全等，以及证明不在同一条直线上的两条线段的和等于另一条线段方法是将该两条线段转换到同一条直线上．
由，得，，又因平分，得，等量代换得；
因平分，得，证明≌，推出，根据是的中点，再证明≌，得出，即可证明；
由和，在中，由勾股定理可求得的长．