2022-2023学年山东省临沂市经开区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省临沂市经开区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式化简后，能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

3.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它往水平方向向前推进米即米，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为．(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边上，连接若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，延长至，使得，过中点作点位于点右侧，且，连接若，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图是一个长为，宽为，高为矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分的长度范围是牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计(    )

A.  B.  C.  D.

11.  用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，矩形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  当时，化简： ______ ．

14.  如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______

15.  如图，菱形的边长为，对角线，点、分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则 ______ ．

16.  如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：；；；的最小值为其中正确结论的序号为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．

已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．

19.  本小题分
由于大风，山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示，已知米，米，两棵树的水平距离是米，求甲树原来的高度．

20.  本小题分
如图，在中，，．
求边的长的取值范围？
若是的中线，求取值范围？

21.  本小题分
如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，点是中点，连结并延长到，且，连接，．
试判断四边形的形状，说明理由；
求证：；
当时，求的长．
 

22.  本小题分
如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

23.  本小题分
如图，中，，，为上一动点，为延长线上的动点，始终保持，连接和，以为边作正方形，连接．

请判断四边形的形状，并说明理由；
当时，求的度数；

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
因为、、与的被开方数不相同，不能合并；
化简后的被开方数与相同，可以合并．
故选：．
先把各根式化简，与的被开方数相同的，可以合并．
本题考查了同类二次根式的概念．注意同类二次根式是在最简二次根式的基础上定义的．
 

2.【答案】 

【解析】A、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；
D、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．
故选：．
根据勾股定理的逆定理得出选项A、、不能构成直角三角形，选项能构成直角三角形，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．据此解答．
【解答】
解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
的取值范围是：．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：、，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，计算错误，不符合题意，选项错误；
C、，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，计算正确，符合题意，选项正确，
故选：．
根据二次根式的运算法则即可得到答案．
本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

根据题意得：，，
由勾股定理可得，
，
，
此时木马上升的高度为米，
故选：．
作，根据勾股定理求得的长，可得的长度．
本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】
解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，
，
，，
空白部分的面积

．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，，
，，
和大小、形状完全相同，
，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理计算．
本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．
由已知条件得到，，根据勾股定理得到，再根据的长度进而即可得出结论．
【解答】
解：由题意得：，，
，
，，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是解答本题的关键．
取的中点，连接，根据三角形的中位线定理得：，设，则，证明四边形是平行四边形，可得．
【解答】
解：取的中点，连接，

是的中点，
是的中位线，
，
设，则，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用以及学生的空间想象力，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识．最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最大，用勾股定理即可解答．
【解答】
解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为，
由题意知：牛奶盒底面对角长为，
当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为，
即吸管在盒内部分的长度范围是，
故选D．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的判定和作图复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．根据菱形的判定和作图根据解答即可．
A、由作图可知，，且平分，即一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
B、由作图可知，，即四边相等的四边形是菱形，正确；
C、由作图可知，，只能得出四边形是平行四边形，错误；
D、由作图可知，，对角线平分对角，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
故选：．
【解答】
解：如图，由作图过程可知：，

，
，，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
根据线段的垂直平分线的性质可知，
所以一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；
且，
四边形是平行四边形，
，
，
根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；
如图，由作图过程可知：，，

四边形是平行四边形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不是菱形，不符合题意；
如图，根据作图过程可知：
，，
，
≌，
，，
，

四边形是平行四边形，
，，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：是的中点，
，
沿折叠后得到，
，，
，
在矩形中，
，
，
在和中，，
≌，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
即；
故选：．
根据点是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
原式．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质，二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用的取值范围化简是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，
将图展开，图形长度增加，
原图长度增加米，则，
连接，
四边形是长方形，，宽，
，
蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程．
故答案为：．
连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接交于，
四边形是菱形，且边长为，
，，，

在中，由勾股定理得，
，
点、分别是边，的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
如图所示，连接交于，利用菱形的性质和勾股定理先求出，再证明是的中位线，得到，进而证明四边形是平行四边形，则．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，如图，

，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
≌．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
≌，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上，正确的结论为：．
故答案为：．
连接，易知四边形为矩形，可得；由≌可得，所以；
由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；
由中的结论可得；
由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则计算即可；
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

18.【答案】解：点、是线段的勾股分割点．
理由：，，，
，，
，
以、、为边的三角形是一个直角三角形．
点、是线段的勾股分割点．．

设，，，
则，
当为最大线段时，依题意，
即，解得；
当为最大线段时，依题意．
即，解得．
综上所述的长为或． 

【解析】本题考查勾股定理的逆定理，新定义，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
根据勾股定理逆定理即可判断．
设，则，分两种情形当为最大线段时，依题意；当为最大线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题．
 

19.【答案】解：如图所示，过点作交延长线于，

由题意得：米，米，米，
在中米，
米，
在中米，
米，
甲树原来的高度是米． 

【解析】如图所示，过点作交延长线于，则根据题意可以得到米，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到的长．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
 

20.【答案】解：由三角形的三边关系可知：，
，，
；
延长至，使，连接，
在中，，，，
≌，
，
由三角形的三边关系：，
，
．
 

【解析】根据三角形三边的关系求解即可；
延长至，使，连接，证明≌，得到，由三角形三边关系得到，则．
本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
理由如下：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
证明：是的垂直平分线，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
；
解：连接，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
，，
，
在和中，
，
≌
，
在中，． 

【解析】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理证明结论；
根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明；
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理求出，得到的长，证明≌，根据全等三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
 

22.【答案】证明：由题意可得，
≌，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
矩形中，，，，
，，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
四边形的面积是：． 

【解析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质．
根据题意和翻折的性质，可以得到≌，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积．
 

23.【答案】解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，延长交于点，
四边形是正方形，
，，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
；
又，
四边形是平行四边形；

，
，
，
垂直平分，
，
，
，，
，
．
 

【解析】如图，延长交于点，由正方形的性质得到，，证明≌得到，，再证明，即可证明四边形是平行四边形；
根据等面积法得到，则垂直平分，推出，得到，求出，则．
本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．