2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

3.  已知四边形是平行四边形，再从，，，四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(    )

A. 选 B. 选 C. 选 D. 选

4.  如图所示，给出下列条件：；；；其中能够判定∽的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设，则可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7.  如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图所示，点、、分别位于的三边上，且，如果的面积为，的面积为，那么四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，、分别是的边、上的点，且，若，则的值(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，下列结论：
；；≌；若，则，其中结论正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  已知，则______．

12.  设、是方程的两个根，且，则 ______ ．

13.  如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则______度．

14.  有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了______人．

15.  如图，是▱的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点连接，，，与交于点，则下列结论：
四边形是菱形；
；
：：；
：：．
其中正确的结论有          填写所有正确结论的序号
 

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16.  小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，点、、在同一直线上已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高结果精确到

四、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算

 

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
如图，矩形的对角线、相交于点，点、在上，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
 

20.  本小题分
已知关于的方程．
若该方程的一个根是，求的值及该方程的另一个根；
求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

21.  本小题分
用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过米围栏宽忽略不计
若生态园的面积为平方米，求生态园垂直于墙的边长；
生态园的面积能否达到平方米？请说明理由．

 

22.  本小题分
已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
求证：∽；
如果，求证：．

 

23.  本小题分
操作与证明：如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连接取中点，的中点，连接、．
连接，求证：是等腰三角形；
猜想与发现：
在的条件下，请判断、的数量关系和位置关系，得出结论．
结论：、的数量关系是______；
结论：、的位置关系是______；
拓展与探究：
如图，将图中的直角三角板绕点顺时针旋转，其他条件不变，则中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、被开方数能开方，不是最简二次根式，故A错误；
B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故B错误；
C、被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，故C错误；
D、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D是最简二次根式；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得，，
二次项系数，
且．
故选：．
一元二次方程有实数根，则根的判别式，且二次项系数不为零．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定方法：
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．
根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．
【解答】
解：、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形是正方形，错误，故本选项符合题意．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：，再加上为公共角，可以根据两角分别相等的两个三角形相似来判定；
，再加上为公共角，可以根据两角分别相等的两个三角形相似来判定；
中不是已知的比例线段的夹角，不正确；
可以根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；
能够判定∽的有，共个．
故选：．
由图可知与中为公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可解答．
此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
 

5.【答案】 

【解析】解：






故选：．
首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．
本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
因为，
所以三角形三边为、、，
所以的周长为．
故选：．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
先利用一元二次方程解的定义把代入方程得，则方程化为，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

，点为的中点，
，
又，
，
由折叠知，对应点的连线必垂直于对称轴，
，
则，
，
，
．
故选：．
连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．
本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，，
，
∽．
，
而，，
：：，
设，则，．
则：：：，
设；
，
∽，
，
即，
解得：，
即四边形的面积为．
故选：．
根据已知条件证明∽相似三角形面积比等于相似比的平方可得：：，设，则，再证明∽，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．
考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理、解答．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
证明：：，进而证明：：；证明∽，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】
解：：：，
：：；
：：；
，
∽，∽
，
：，
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，，
，，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，故正确；
为等腰直角三角形，为的中点，
，，
在和中，，
≌，
，
，故正确；
为等腰直角三角形，为的中点，
，，
在和中，，
≌，故正确；
，
，
为等腰直角三角形，为的中点，
，，
，
在和中，，
≌，
，，，
为等腰直角三角形，
过点作垂直于于点，如图所示：
设，则，，，
则，，
，故正确；
故选：．
根据题意可知，则，即可求解；
由证明≌，得到，从而；
同证明≌即可；
若，则，可以证明≌，则且，则，为等腰直角三角形，过点作垂直于于点，设，则，，，则，．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】
解：，
，
解得，
，
原式．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个根，
，．
，
，
解得．
故答案为：．
由根与系数的关系可得，，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
首先证明是等腰直角三角形，求出，即可．
本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了人．
依题意，得，
即，
解方程，得，舍去．
答：每轮传染中平均每人传染了人．
设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为，根据这个等量关系列出方程．
共有人患了流感，是指患流感的人和被传染流感的人的总和，和细胞分裂问题有区别．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
根据平行四边形的性质、菱形的判定方法、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质等知识一一判断即可．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，，
，
，故正确，
，
，，
，故错误，
与面积比是：，
设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，
四边形的面积为，的面积为，
：：故正确，
故答案为．  

16.【答案】解：过点作，分别交、于点、，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
由题意，知，
，解得，，
．
楼高约为米． 

【解析】此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
 

17.【答案】解：原式

；

原式

． 

【解析】直接利用平方差公式计算得出答案；
首先化简二次根式进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：；
，，，
，
，
该方程的解为：，．
．
方程右边提公因式得，

移项得，
，
或，
解得，． 

【解析】利用求根公式，根据公式法步骤求解即可．
可先将方程右边因式分解，再利用因式分解法求解方程即可．
本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键在于根据所给的方程选择合适的方法求解即可．
 

19.【答案】解：在矩形中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
由可知：，
，
，
，
． 

【解析】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于基础题型．
根据平行四边形的判定即可求出答案．
根据矩形的性质以及含度角的直角三角形的性质即可求出答案．
 

20.【答案】解：将代入方程，
得，
，
设另外一个根为，
由根与系数的关系可知：，
，即另一个根为；
由题意可知：，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 

【解析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及判别式，属于基础题．
将代入方程，可求出的值，然后根据根与系数的关系即可求出另外一根；
根据判别式即可求出答案．
 

21.【答案】解：设生态园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意，得，
整理，得，
解得，．
由于，所以不合题意，舍去．
所以符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为米；
依题意，得．
整理，得．
因为．
所以该方程无解．
答：生态园的面积不能达到平方米． 

【解析】设生态园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答；
根据矩形的面积公式列出方程，由一元二次方程根的判别式符号判定所列方程是否有解，据此进行判定．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
≌，
，
，
，
，
，
∽．

证明：，
，
，
，
，
，，
，
即． 

【解析】本题考查相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
想办法证明即可解决问题．
利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
即，
在和中，

≌，
，
是等腰三角形；
相等；垂直；
解：中的两个结论还成立，理由如下：
连接，交于点，

点为的中点，点为的中点，
，，
由同理可证，≌，
，
在中，
点为的中点，
，
，
≌，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．
解：见答案
在中是斜边的中线，
，
是的中位线，
，，
，
；
，，
，
，
，

；
故答案为相等；垂直；
见答案．