2022-2023学年广西南宁市兴宁区天桃实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市兴宁区天桃实验学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  在▱中，如果，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若函数是正比例函数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点和点都在直线的图象上，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法判断

8.  一次函数的图象不经过下列哪个象限(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9.  如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位与注水时间之间的变化情况的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，，，点在上，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃读，门槛的意思一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图、图为图的平面示意图，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺尺寸，则的长是(    )

 

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸

12.  如图，菱形的对角线，相交于点，且，，点是边上一动点不与点，点重合，于点，于点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若有意义，则的取值范围是          ．

14.  在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位后所得直线的解析式为______ ．

15.  如图，在中，是斜边上的中线，，则______

 

16.  如图，直线经过点，则不等式的解集为______．

17.  如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为______．

18.  在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
．

21.  本小题分
已知：如图，在▱中，，，，分别为垂足．
求证：；
求证：四边形是矩形．
 

22.  本小题分
已知一次函数的图象直线：如图所示．
在图中的坐标系中画出一次函数的图象直线要求：先列表，再描点，最后连线

设直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线与相交于点，求的面积．

23.  本小题分
某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了次投篮试投比赛，试投每人每次投球个两人次试投的成绩统计图如图所示．

甲同学次试投进球个数的众数是多少？
求乙同学次试投进球个数的平均数；
不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？
学校投篮比赛的规则是每人投球个，记录投进球的个数由往届投篮比赛的结果推测，投进个球即可获奖，但要取得冠军需要投进个球请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．

24.  本小题分
广西壮族自治区柳州市申报的柳州螺蛳粉制作技艺经国务院批准列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录，其中预包装柳州螺蛳粉出口额每年都在增加，某商店准备购进原味、小龙虾味两种预包装柳州螺蛳粉，小龙虾味螺蛳粉每箱的进价比原味螺蛳粉每箱的进价多元，用元购进小龙虾味螺蛳粉和用元购进原味螺蛳粉的数量相同．
小龙虾味螺蛳粉每箱的进价和原味螺蛳粉每箱的进价各是多少元？
商店计划用不超过元的资金购进原味和小龙虾味两种预包装柳州螺蛳粉共件，其中小龙虾味螺蛳粉的数量不低于原味螺蛳粉数量的，该商店有几种进货方案？不用写出具体方案
若商店将小龙虾味螺蛳粉每箱售价定为元，原味螺蛳粉每箱售价定为元，在的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？

25.  本小题分
在正方形中：
已知：如图，点、分别在、上，且，垂足为，求证：．
如图，如果点、、分别在、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论．
如图，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足，那么、相等吗？证明你的结论．

 

26.  本小题分
如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，以，为边在第一象限内作矩形．

点的坐标为______ ，点的坐标为______ ．
如图，将对折，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，折痕，求线段的长度和直线的解析式；
在第的条件下，在坐标平面内，是否存在点点除外，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因式或因数，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合要求；
B、，不能构成直角三角形，故不符合要求；
C、，不能构成直角三角形，故不符合要求；
D、，能构成直角三角形，故符合要求；
故选：．
根据构成直角三角形的三边长，，满足，，，且，进行计算判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于熟练掌握构成直角三角形的三边长应满足的条件．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
利用平行四边形的对角相等可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线的长分别为和，
菱形的面积为：，
故选：．
根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，计算求值即可．
本题考查了菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数是正比例函数，
，
解得：，
故选：．
根据正比例函数的定义得出，再求出即可．
本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数，叫一次函数，当时，函数叫正比例函数．
 

6.【答案】 

【解析】解：由平行四边形的性质可知，为中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
故选：．
由平行四边形的性质可知，为中点，则是的中位线，即，求即可．
本题考查了平行四边形的性质，中位线等知识．解题的关键在于说明是的中位线．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又，
．
故选：．
由题意，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据一次函数的解析式判断出、的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当时，函数图象经过第二、四象限，当时，函数图象与轴相交于正半轴．
【解答】
解：解析式中，，，
图象过第一、二、四象限，
图象不经过第三象限．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，
当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．
故选：．
根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象．
此题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理．同时涉及三角形外角的性质．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
【解答】
解：，，
，
，
在中，
，
．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
构造直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过作于，如图所示：

由题意得：，
设，
则，寸，寸，寸，
在中，
，即，
解得：，
，
寸，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是菱形，
，且，
，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
当取得最小值时，也最小，
当时，最小，
，，，
，，，
，
，
的最小值为，
故选：．
连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，即可得到，当时，最小，然后根据三角形的面积公式即可求得最小值．
本题考查了矩形的判定定理和性质，菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数向上平移个单位后所得直线的解析式为．
故答案为：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，是斜边上的中线，，则，
，是斜边上的中线，
，
，
故答案为．
根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出和的度数是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察图象知：当时，，
所以不等式的解集为，
故答案为：．
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】解：是的中位线，
，，
，为的中点，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：当时，有，
解得：，
点的坐标为．
四边形为正方形，
点的坐标为．
同理，可得出：，，，，，
，，，，，
为正整数，
点的坐标是．
故答案为：．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、及、、、、的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“为正整数”，依此规律代入即可得出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】先利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式．
本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：原式
． 

【解析】先用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在和中，，
；
证明：，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
由平行四边形的性质得出，，，由已知得出，由证明≌即可；
证出，即可得出结论．
 

22.【答案】解：列表：

描点：在平面直角坐标系中描出两点、，
连线：过点、画直线，得出一次函数的图象；

令，则，解得，
，
令，则，解得，
，
，
由，解得，
，
的面积． 

【解析】利用描点法画出一次函数的图象；
根据图象写出它们的交点坐标，即可得到关于的方程的解．
本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，求两直线交点，三角形的面积，正确求出交点坐标是解题的关键．
 

23.【答案】解：甲同学次试投进球的个数分别为：，，，，，
众数是；
乙同学次试投进球的个数分别为：，，，，，
；
由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，故，
甲同学的投篮成绩更加稳定；
推荐甲同学参加学校的投篮比赛，
理由：由统计图可知，甲同学次试投进球的个数分别为：，，，，，
乙同学次试投进球的个数分别为：，，，，，
甲获奖的机会大，而且，甲同学的投篮成绩更加稳定，
推荐甲同学参加学校的投篮比赛． 

【解析】本题考查折线统计图、平均数、中位数、众数和方差，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据成绩统计图得出甲同学次试投进球的个数及众数的定义即可求解；
根据成绩统计图得出乙同学次试投进球的个数及平均的定义即可求解；
根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定；
本题答案不唯一，说理符合实际即可．
 

24.【答案】解：设小龙虾味螺蛳粉每箱的进价是元，则原味螺蛳粉每箱的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：小龙虾味螺蛳粉每箱的进价是元，原味螺蛳粉每箱的进价是元；
设购进小龙虾味螺蛳粉件，则购进原味螺蛳粉件，
由题意得：，
解得：，
可以取，，，，，，，
该商店有种进货方案；
设利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，最大，最大值，
此时，，
答：购进小龙虾味螺蛳粉件，原味螺蛳粉件时，获利最大，最大利润为元． 

【解析】设小龙虾味螺蛳粉每箱的进价是元，则原味螺蛳粉每箱的进价是元，根据用元购进小龙虾味螺蛳粉和用元购进原味螺蛳粉的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购进小龙虾味螺蛳粉件，则购进原味螺蛳粉件，根据商店计划用不超过元的资金购进原味和小龙虾味两种预包装柳州螺蛳粉共件，其中小龙虾味螺蛳粉的数量不低于原味螺蛳粉数量的，列出一元一次不等式组，解不等式组即可；
设利润为元，由题意得出一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组；找出数量关系，正确列出一次函数关系式．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；

．
证明：如图，过点作，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
由可得≌，
，
；

．
证明：如图，分别过点、作，，
，，
四边形、四边形为平行四边形，
，，
，
，
由可得≌，
，
． 

【解析】根据正方形的性质，得到，，进而得到，则≌，进一步根据全等三角形的性质进行证明；
过点作，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，由的结论可知，所以；
分别过点、作，，可证四边形、四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，，由的结论可知，所以．
本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，熟练掌握正方形性质确定三角形全等的条件是解题的关键，两题通过作辅助线构造成的形式是得解的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：当时，，
，
当时，，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：，；
由折叠可知，，，
在中，，
，
解得，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
存在点，使得与全等，理由如下：
过点作轴交于点，延长交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，，
，
解得，
，
；
由对称性可知，还有一个点关于线段的中点对称，
、的中点为，
点关于点对称的点为，
当另一个点的坐标是，
综上所述：点坐标为或
分别求出、点坐标，再由矩形的性质确定点坐标；
由折叠可知，，，在中，根据勾股定理可得，求出，能进一步得到，从而确定点，再由待定系数法求直线的解析式即可；
过点作轴交于点，延长交于点，证明∽，根据全等的性质可得，则，，又由，求出，，从而得到点；还有一个点关于线段的中点对称，由中点的性质求出点
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，矩形的性质是解题的关键．