第02讲 向量数量积-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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第02讲 向量数量积【必备知识】向量数量积:已知两个非零向量和,它们的夹角为,把数量叫做和的数量积,记作,即.坐标表示:在平面直角坐标系下,给定非零向量,则. 夹角公式:已知两个非零向量和,它们的夹角为,则.夹角公式是根据向量数量积的定义推出的.坐标表示:设非零向量,则.注意的范围是,当时, 两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线. 向量的投影:向量在向量方向上的投影为,向量在向量方向上的投影为,其中 为向量的夹角。根据向量投影的定义可以知道,向量在向量方向上的投影为,同理可得向量在向量方向上的投影为,可以简记为:在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长, 在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长. 投影向量:对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量.对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量. 【典例剖析】题型一:定义法求向量数量积1．已知向量满足，且 与 的夹角为30°，那么等于（       ）A．1 B． C．3 D．3【答案】C【详解】由题意可得： ，故选：C2．已知，，且，的夹角为60°，如果，那么m的值为（　　）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意知，即因为，，，所以，解得.故选：C.3．已知是单位向量，与的夹角是，且， 则=（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题得所以或（舍去）.故选：D4．已知等边的边长为3，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，，故点为线段上靠近点的三等分点故故选：A 类型二:坐标法求向量数量积1．在中，若，且，点分别是的中点，则（       ）A． B． C．10 D．20【答案】C【详解】解：因为，所以，如图建立平面直角坐标系，则、、、，所以、、，所以，所以；故选：C2．如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（       ）A．1 B．C． D．【答案】D【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，则，，因为，所以，解得，即，设，，，则，，所以，所以的最小值为．故选：D.3．已知在边长为2的正三角形中，分别为边上的动点，且，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】以中点为原点，和其对应高线作为坐标轴，建系如图所示，则，，，则，，设()，则()，则，，∴，，∴，当时取最大值，故选：D.4．已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（       ）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】把△如下图放在直角坐标系中，由于△的边长为1，故，点分别是边的中点，，设，，，，.故选：B.  类型三:转化法求向量数量积1．在中，，，为的中点，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，因此，.故选：A.2．在菱形ABCD中，，，，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，所以．因为，，所以．故选：A3．在中，已知，，P是边BC垂直平分线上的一点，则（       ）A． B． C． D．3【答案】C【详解】在中,取BC中点M，做BC的垂直平分线MP，连接AM、AP.则，，故选：C4．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知条件,图形如下图所示： ,解得.故选：. 类型四:坐标法求向量夹角1．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设与的夹角为，因为，，所以．故选：B2．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（            ）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，由，共线得，得，故.故选:D.3．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求 的值；(2)若⊥（＋2），求实数k的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6.【解析】(1)解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．(2)解：因为＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．(3)解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．4．已知．(1)若θ为2与的夹角，求θ的值；(2)若2与k垂直，求k的值．【答案】(1)θ＝； (2)0.【解析】(1)解：（1）因为所以2，．所以cos θ＝＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.(2)解：，依题意,所以3k－3＋6k＋3＝0. 所以k＝0. 类型五:数量积和模求向量夹角1．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，是单位向量，若，∴，，,∴.∴，∴，∴,由∴与的夹角为,故选:B.2．已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，可得，所以，即，所以，设的夹角为，则,故选：B.3．已知向量，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意，设与的夹角为，若不等式对任意实数恒成立，即恒成立，即恒成立，又，, 则有恒成立，必有，故有，即，又由，则；故选：C．4．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．(1)求的值；(2)用，表示；(3)求 的值．【答案】(1)  (2)  (3)【解析】(1)解：由题意，得；(2)解：因为平面向量加法的平行四边形法则，且BD，AC相交于点O，M为BO中点，所以即；(3)解：由（1），得，且，由（2），得，则，所以. 类型六:坐标法求向量的模1．已知向量，且，，则（       ）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】向量，由得：，即，由得：，即，于是得，，，所以.故选：B2．已知向量，，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得，所以，，故当时，取得最小值.故选：C.3．若向量，，，且，则的最小值为_________．【答案】【详解】由题设，，，又，∴，则，又，则，∴要求的最小值，即求定点到直线的距离，∴.故答案为：4．已知，（1）求；（2）设与的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】解：；故；因为向量与互相垂直，所以，即，因为，，所以 类型七:转化法求向量的模1．已知，，则(       )A．2 B．4 C． D．【答案】B【详解】∵，∴，则.∴，故.故选：B.2．已知则=（       ）A．4 B． C．10 D．16【答案】B【详解】由，可得，即，所以，故，故选：B3．已知单位向量，满足，则（       ）A． B．5 C．2 D．【答案】D【详解】由题意，，，对两边同时平方可得，，解得，故，得.故选：D.4．已知单位向量、满足，则的最小值为（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为、是单位向量，由可得，则，所以，，即，可得，所以，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选：C. 类型八:投影与投影向量1．已知向量，满足，，在方向上的投影为，则（       ）A．6 B．9 C． D．【答案】A【详解】由，得，所以，因为在方向上的投影为，所以，，所以，，故选：A2．已知向量，若在的投影为，则（       ）A．169 B．13 C．196 D．14【答案】B【详解】解：因为，所以，因为在的投影为，所以，所以，所以故选：B3．已知向量，则在方向上的投影是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题得，在方向上的投影是.故选：C4．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知点，，，，有， ，，.与同向的单位向量为.所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：B.5．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，则，，，则向量在向量上的投影向量为：，故选：D  【过关检测】一、单选题1．已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知知，，则故选：C.2．已知向量，，，，若在上的投影向量为（是与同向的单位向量），则（       ）A．169 B．13 C．196 D．14【答案】B【详解】因为在上的投影向量为，是与同向的单位向量，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以13，故选：B3．中，，，是边中垂线上任意一点，则的值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设中点为，，，；又，.故选：A.4．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（       ）.A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，∴，∴，故选：B.5．已知梯形ABCD 中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 因为，，，，所以，不妨设，，则，所以当时，取得最小值，故选：D6．在三角形ABC中，已知AB＝2，AC＝1，，，，若CD与BE交于O点，则AO的长为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为AB＝2，AC＝1，，则．设，，因为与不平行，所以，为一组基向量，因为B，O，E共线，，所以，因为C，O，D共线，，所以，所以，则，解得，所以，所以，所以AO的长为，故选：B．二、填空题7．已知平行四边形中，，，，M、N分别为BC、CD的中点，则___________.【答案】15【详解】，故答案为：158．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】由题意，与的夹角为锐角，故，即 ，即 ，当与共线时， ，解得 或，当与同向时，，此时， 但不符合与的夹角为锐角，故实数的取值范围是 ，故答案为：9．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________．【答案】【详解】如图建系，则、、，则，，设（），则（），则，，∴，∴，当时，取最大值．故答案为：三、解答题10．如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.(1)求线段，的长；(2)求的余弦值.【答案】(1)， (2)【解析】(1)解：由题意，，，又，所以，，即，                  =，，即；(2)解：，==，   与的夹角即为，.11．已知单位向量的夹角为，向量，向量.(1)若∥，求x的值；(2)若，求.【答案】(1) (2)【解析】(1)因为，所以存在实数，使得，即，则有，，解得；(2)由，有，即，解得，故，所以.12．设平面内三点，，.(1)求；(2)求向量在上的投影向量的坐标.【答案】(1)； (2).【解析】(1)由，，，得，，所以(2)，.设向量与的夹角为，则所以向量在上的投影向量为所以向量在上的投影向量的坐标为.