数学选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优秀课后测评

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 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 利用分类加法计数原理解题题型2：利用分步乘法计数原理解题题型3：两个计数原理的综合应用题型4：选（抽）取与分配问题题型5：用计数原理解决组合数问题题型6：用计数原理解决涂色（种植）问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：分类加法计数原理（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.（2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.知识点2：分步乘法计数原理（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.（2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.知识点3：两个计数原理的联系与区别联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事.②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.二、重点题型分类研究题型1: 利用分类加法计数原理解题典型例题例题1．（2022秋·天津河东·高二统考期中）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有(    )A．3种 B．6种 C．9种 D．24种例题2．（2022秋·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）某班有男生13人，女生17人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（    ）A．121 B．13 C．30 D．17例题3．（2022春·上海嘉定·高二校考期中）已知，，若满足，则称，“心有灵犀”．则，“心有灵犀”的情形共有_______．例题4．（2022·全国·高三专题练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．  同类题型演练1．（2022秋·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（    ）A．10种 B．21种 C．24种 D．36种2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ）A．40种 B．20种 C．15种 D．11种3．（2022秋·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，共有_____一种不同选法.4．（2022秋·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种．  题型2：利用分步乘法计数原理解题典型例题例题1．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ）A． B． C．20 D．9例题2．（2022·全国·高三专题练习）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（    ）种.A． B． C． D．例题3．（2022·高二单元测试）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有（    ）A．120 B．90 C．48 D．12例题4．（2022·全国·高三专题练习）现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．  同类题型演练1．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ）A．120种 B．720种 C．840种 D．960种2．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．3．（2022·高二课时练习）若，则符合条件的二次函数的解析式有______个．4．（2022·高二课时练习）将4封信投入3个不同的信箱，不同的投信方法有______种.  题型3：两个计数原理的综合应用典型例题例题1．（2022秋·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ）A．65 B．73 C．70 D．60.例题2．（2022秋·山东菏泽·高二统考期中）如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（    ）A．3 B．6 C．7 D．8例题3．（2022秋·广东深圳·高二翠园中学校考期中）从不大于9的自然数中抽3个不同的数可以组成______个能被5整除的三位数．例题4．（2022·高二课时练习）假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日~4月29日）内选择一天出游，在①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择4月27日出游；③丙不选择4月24日出游；④甲与乙不选择同一天出游，从这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法的种数.未来六天空气质量预报4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日优优优优良良  同类题型演练1．（2022秋·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种2．（2022·高二课时练习）甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（    ）A．64 B．80 C．96 D．1203．（2022·全国·高三专题练习）某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（    ）A．18 B．24 C．36 D．724．（2022·全国·高三专题练习）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）      题型4：选（抽）取与分配问题典型例题例题1．（2022·高二课时练习）电路如图所示，在，间有四个开关，若发现，之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有（    ）A．3种 B．8种 C．13种 D．16种例题2．（2022·全国·高三专题练习）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（    ）A．50种 B．60种 C．80种 D．90种例题3．（2022·高二课时练习）（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？       例题4．（2022·高二课时练习）某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？   同类题型演练1．（2022秋·全国·高二期末）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有，两种运输方式，第2，3，5个环节有，两种运输方式，第4个环节有，，，四种运输方式，则快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有不同的方法种数是（    ）A．58 B．60 C．77 D．782．（2022秋·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有______种推选方法．3．（2022秋·陕西西安·高二统考期末）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）246现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.(1)若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？(2)若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？    4．（2022·全国·高二假期作业）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．（1）如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？（2）如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？题型5：用计数原理解决组合数问题典型例题例题1．（2022秋·江苏镇江·高二校考期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（    ）A．125种 B．100种 C．64种 D．60种例题2．（多选）（2022秋·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考阶段练习）（多选题）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（    ）A．组成可以有重复数字的四位数有500个B．组成无重复数字的四位数有96个C．组成无重复数字的四位偶数有66个D．组成百位是奇数的四位偶数有28个例题3．（2022·高二课时练习）位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）例题4．（2022·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．   同类题型演练1．（2022·高二课时练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（    ）A．64 B．56 C．53 D．512．（2022秋·甘肃酒泉·高二校考期中）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数有________ 个.（用数字回答）3．（2022·全国·高二专题练习）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？     4．（2022秋·山西运城·高二芮城中学校考阶段练习）如果一个整数的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数.例:1 234 321，123 321等.显然，两位数的对称数有9个，即11，22，33，…，99，则三位数的对称数有______个，位数的对称数有_______个.  题型6：用计数原理解决涂色（种植）问题典型例题例题1．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（    ）A．36 B．400 C．420 D．480例题2．（2022秋·江苏苏州·高二校考期中）现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ）A．180 B．200 C．240 D．260例题3．（2022·全国·高三专题练习）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（　　）种A．36        B．48       C．54      D．72例题4．（2022秋·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种．例题5．（2022秋·山东聊城·高二统考期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是_________．（用数字填写答案）  同类题型演练1．（2022秋·甘肃张掖·高二高台县第一中学校联考期中）某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有（    ）种不同的涂色方案.自由平等公正法制A．24 B．256 C．108 D．722．（2022·高二单元测试）某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（    ）A．96 B．114 C．168 D．240 3．（2022春·江苏南京·高三校联考阶段练习）如图，用种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（    ）种A． B． C． D．4．（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）如图，现在用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法有___________种． 三、高考（模拟）题体验1．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（    ）A．144 B．96 C．72 D．602．（2022·山东济南·统考三模）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ）A．648个 B．720个 C．810个 D．891个3．（2022·广东广州·校联考三模）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）A． B． C． D．4．（2022·全国·校联考模拟预测）如图．5个完全相同的圆盘用长度相同的线段连接成十字形．将其中两个圆盘染上红色．三个圆盘染上蓝色．并规定：若一种染色方法经过旋转后与第二种染色方法一致．则认为这两者是同一种染色方法．则不同的染色方法共有（    ）A．2种 B．3种 C．6种 D．10种5．（2022·山东泰安·统考模拟预测）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.