高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合精品课后练习题

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6.2.3组合+6.2.4组合数（精练）A夯实基础   B能力提升   C综合素养A夯实基础  一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（    ）A．14种 B．15种 C．16种 D．17种【答案】C【详解】解：由题意得：物理或历史中选一门：种选法；物理和历史都选：种选法；物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ）A．6 B．9 C．12 D．24【答案】A【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种.第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种.共计6种赠送方案.故选：A.3．（2022·高二课时练习）小明参加真人比赛，规定每队5人，小明为了赢得比赛，和队友商量对策，准备集中火力先消灭（至少1人击中）对方队长小蓝，消灭小蓝的方法种数为（    ）A．32 B．31 C．25 D．10【答案】B【详解】因为消灭小蓝至少需要1人击中，1人击中有种方法，2人击中有种方法，3人击中有种方法，4人击中有种方法，5人全击中有种方法，根据分类加法计数原理，得不同的击中方法有种.故选：B.4．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，综上：则不同的种植方法的种数为种，故选：.5．（2022春·四川成都·高三统考期中）某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是（    ）A．81 B．72 C．48 D．36【答案】D【详解】先将4位学生分为三组（其中一组2人，另两组每组各1人），再分配到三所敬老院，则有种分配方法，故选：D．6．（2022春·湖北·高三校联考期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（    ）A．1176 B．2352 C．1722 D．1302【答案】A【详解】由题可知把7名工作人员分别分为三种情况，把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有：种，把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有：种，把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有：种，综上，不同的安排方式共有种，故选：A．7．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ）A．20条 B．21条 C．22条 D．23条【答案】D【详解】由题意知从A到的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有种，又因为经过段的走法有种，故不经过段的最短路径有条.,故选:D8．（2023·全国·高三专题练习）2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（       ）A．17 B．29 C．56 D．13【答案】A【详解】由题意，任意安排的方法数有种，甲被安排到张家口有种，同理乙被安排到延庆有种，甲被安排到张家口，同时乙被安排到延庆有种，所以甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数为种.故选：A二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（    ）A．甲乙都不选的方案共有432种B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种【答案】ABC【详解】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班甲乙都不选的方案共有种，A正确选甲不选乙的方案共有种，B正确甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一乙排星期一的方案共有种乙不排星期一的方案共有种∴甲乙都选的方案共有96种，C正确这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选选乙不选甲的方案共有种∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D错误故选：ABC．10．（2023·全国·高三专题练习）信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（    ）A．如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列B．如果是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列C．如果是合法括号序列，则A也是合法括号序列D．长度为8的合法括号序列共有14种【答案】AD【详解】出题意知如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列,A正确;对于B,AB为（（））（）为合法括号序列，但取A为（（，B为））（）显然都不是合法括号序列，故B错误；对于C, 如果是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，但A为）（，不是合法括号序列，故C错误；对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，分类考虑：（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列有1个；（2）当前4个位置有3个左括号时，则第2，3，4个位置任取两个位置是左括号，第5，6，7个位置任取一个位置是右括号，故满足条件序列共有个；（3）当前4个位置有2个左括号时，则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第6，7个位置有一个为左括号，满足条件序列共有个，综上，共有个，D正确，故选：AD．三、填空题11．（2022春·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）冬季供暖就要开始，现分配出4名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有__________种.【答案】36【详解】由题意将4名水暖工分成3组，即为形式，分组的方法有种，再将这3组分配到3个小区，则分配方案有种.故答案为：36.12．（2022·高二课时练习）如图，用5种不同的颜色给图中的、、、、、6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.【答案】1920【详解】依题意，完成涂色问题，至少用3种颜色，则计算不同的涂色方法种数可以有3类办法：用5种颜色涂，有一组2点同色，在点中任取1点，与其同色的点有2种情况，不同涂色方法种数为，用4种颜色涂，有两组2点同色，在点中任取2点，与其同色的点有3种情况，不同涂色方法种数为，用3种颜色涂，有三组2点同色，点全部取出，与其同色的点有2种情况，不同涂色方法种数为，由分类加法计数原理得不同的涂色方法种数共有：.故答案为：1920四、解答题13．（2022春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）（1）①计算：；②.已知，求.（2）一场小型晚会有2个唱歌节目和3个相声节目，要求排出一个节目单.①.3个相声节目要排在一起，有多少种排法？（结果用数值表示）②.2个唱歌节目不相邻，有多少种排法？（结果用数值表示）（3）如图，     从左到右共有5个空格，用4种不同颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？（结果用数值表示）【答案】（1）①；②；2或3（2）①36；②72；（3）324【详解】（1）①：②或解之：或（2）①将三个相声节目看成一个整体，总共三个节目排列：（种）；②先将相声节目排好，然后再将唱歌节目插入其中的空中：（种）；（3）从左往右依次涂色：（种）14．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.15．（2022春·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C，3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂.(1)问有多少种不同的分配方案？(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结果全部用数字作答）【答案】(1)81(2)36(3)14【详解】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有（种）.（2）先把4个同学分3组，有种方法；再把这3组同学分到A，B，C，3个工厂，有种方法，则不同的分配方案有（种）.（3）同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：①另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有（种）情况；②另外2名同学中有一名去工厂A，有（种）情况.所以不同的分配方案共有2＋12＝14（种）. B能力提升  16．（2022春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？（3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？【答案】（1）10；（2）65；（3）1560.【详解】（1）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，所以不同的放法种数为；（2）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，所以不同的放法种数为；（3）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，所以不同的放法种数为．17．（2022·全国·高三专题练习）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．【答案】(1)60；(2)360；(3)15.【详解】（1）根据题意，第一组3本有种分法，第二组2本有种分法，第三组1本有1种分法，所以共有种分法.（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分法，再将分好的三组分给3人，有种情况，所以共有种分法.（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有15种不同的分法．C综合素养18．（2022秋·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）名同学简记为、、、、、到甲、乙、丙三个场馆做志愿者(1)一天上午有个相同的口罩全部发给这名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法种数？(3)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？【答案】(1)126种；(2)60种；(3)114种.(1)个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种.(2)求不同的安排方法分三步：人中选一人去甲场馆，剩下的人中选人去乙场馆，最后剩下人去丙场馆，所以不同的安排方法有 种.(3)把视为一人，相当于把个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：第一类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，第二类，，，去掉在一组的情况，有()种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，所以不同的安排方法有种方法.19．（2022·高二课时练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分给甲、乙、丙三人；(5)平均分成三堆.【答案】(1)60种(2)60种(3)360种(4)90种(5)15种(1)先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.(2)由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种.(3)由（1）知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种分配方法，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有种.(4)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的取法有种，乙再从余下的4本书中取2本书，有种取法，丙从余下的2本中取2本书，有种取法，所以一共有种取法.(5)把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书平均分成三堆后，再把书分给甲、乙、丙三人，因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种.所以，则.