高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动4 单摆精品同步测试题

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第05讲 实验：用单摆测量重力加速度

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课程标准
课标解读
1．掌握用单摆测定重力加速度的原理
2．掌握用单摆测定重力加速度的方法．
3．能够对单摆测定重力加速度的实验进行误差分析
1．理解用单摆测定重力加速度的实验原理．
2．掌握用单摆测定重力加速度的实验器材．
3．能灵活掌握用单摆测定重力加速度的实验步骤．
4．掌握用单摆测定重力加速度的数据处理．
5．能够以科学的态度，用科学的方法对单摆测定重力加速度的实验进行误差分析

知识精讲


知识点01 实验原理、实验器材、实验步骤
1．实验原理：由T＝2π知g＝.
2．实验器材：带孔小钢球一个，细线一条(约1 m长)、铁架台、毫米刻度尺、秒表、游标卡尺(也可不用)．
3．实验步骤
(1)做单摆
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结．
②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．

(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米，则l＝l′＋，即为单摆的摆长．
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°角度，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间．计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T.
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T.
【即学即练1】(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________．
A．1 m长的细线　　 B．1 m长的粗线
C．10 cm长的细线 D．泡沫塑料小球
E．小铁球 F．秒表
G．时钟 H．厘米刻度尺
I．毫米刻度尺 J．游标卡尺
(2)在该实验中，单摆的摆角θ应________，从摆球经过________开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g＝________.
【解析】　(1)做摆长的细线要用不易伸长的细线，一般不应短于1米，选A；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E；计时仪器宜选用秒表F；测摆长应选用毫米刻度尺I，用游标卡尺测摆球的直径．
(2)根据单摆做简谐运动的条件知θ＜5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时．
根据T＝2π，又T＝，l＝L＋
得g＝.
【答案】　(1)AEFIJ　(2)小于5°　平衡位置
知识点02 数据处理
1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下表所示实验表格
实验次数
摆长l(m)
周期T(s)
加速度g(m/s2)
g平均值
1



g＝
2



3



2．图象法：由T＝2π得T2＝l作出T2­l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴．如图所示，其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g.

【即学即练2】(1)物理课外小组研究“用单摆测重力加速度”实验，他们依照教材实验直接测量的物理量应为________、________、________，其公式为________。
(2)他们测出不同的摆长(l)所对应的周期(T)，在进行数据处理时：①如果甲同学以摆长(l)为横坐标、周期(T)的二次方为纵坐标作出了T2－l图象，若他测得的图象的斜率为k，则测得的重力加速度g＝________。若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径，则他用图象法求得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。
②乙同学根据公式：T＝2π得出g＝，并计算重力加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，则他测得的重力加速度________(选填“偏小”“偏大”或“准确”)。
(3)甲同学测量5种不同摆长下单摆的振动周期，记录结果如表所示。
l/m
0.5
0.8
0.9
1.0
1.2
T/s
1.42
1.79
1.90
2.00
2.20
T2/s2
2.02
3.20
3.61
4.00
4.84
以摆长(l)为横坐标、周期(T)的二次方为纵坐标，作出T2－l图象，请你替他在虚线框中作出T2－l图象，利用此图象求出的重力加速度为________。

【解析】　(1)本实验是利用单摆的周期公式T＝2π得出g＝，即只要测出摆长l和周期T就能求出当地的重力加速度g，而l＝l0＋，T＝。显然，本实验直接测量的物理量应为摆线长l0、摆球直径d以及完成n次全振动所用的时间t。其公式为g＝。
(3)建立如图坐标系，并标出适当的标度，依据数学描点法画出T2－l图象如图所示，则图象的斜率大约为k＝4.0。依据图象求出重力加速度为g＝≈9.86 m/s2。

【答案】　(1)摆线长l0　摆球直径d　n次全振动的时间 t　g＝　
(2)①　准确　②偏小　(3)T2－l　图象见解析　9.86 m/s2
【归纳总结】 用单摆测定重力加速度的5个注意
(1)选择材料时应选择细且不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选密度较大、直径较小的．
(2)线应夹在铁夹的下面，防止因摆动而改变摆线的长度．
(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．
(4)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．
(5)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，在摆球从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期．
知识点03 注意事项、误差分析
1．注意事项
(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数．
(2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变．
(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长．
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响．
(5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T＝2π就不再适用．
(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆．
(7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时．
(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记．
2．误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值．
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．
【即学即练3】在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议：
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
其中对提高测量结果精确度有利的是________．
【解析】 单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适当加大摆线长度，有利于把摆球看成质点，在摆角小于10°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，A对．摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，B错．摆角应小于10°，C对．本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，D错．
【答案】 AC

能力拓展


考法01 简单的数据处理
【典例1】在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中．
(1)测量小球直径时游标卡尺的读数(图1)为________cm.
(2)某同学在处理数据的步骤中，以 为纵坐标，周期T为横坐标，做出如图2所示的图象，已知该图线的斜率为k＝0.500，则重力加速度为________m/s2(结果保留3位有效数字，π＝3.14)．

【解析】 (1)根据游标卡尺的读数规则可知，游标卡尺主尺读数为0.8 cm.
游标尺上第18个刻度与主尺上某一刻度对齐，游标读数为0.05×18＝0.90 mm.
最终读数为0.8 cm＋0.090 cm＝0.890 cm.
(2)单摆的周期公式T＝2π，
变形得 ＝·T.
­T图线的斜率k＝.
代入数据解得重力加速度g＝4π2k2≈9.86 m/s2.
【答案】 (1)0.890　(2)9.86
考法02 通过T2－l图像求加速度
【典例2】在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝。只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图象，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2－l图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图象如图所示。

(1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________。
(2)由图象求出的重力加速度g＝____________m/s2。(取π2＝9.87)
【解析】　(1)既然所画T2－l图象与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径。
(2)图象的斜率k＝＝4，则g＝＝9.87 m/s2。
【答案】　(1)测摆长时漏掉了摆球半径　(2)9.87
考法03 用单摆测定重力加速度的误差分析
【典例3】(2020-2021学年辽宁省实验中学高二(上)期末)在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验时
(1)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材为______
A．20cm长的结实的细线、小木球、秒表、米尺、铁架台
B．100cm长的结实的细线、小钢球、秒表、米尺、铁架台
C．100cm长的结实的细线、大木球、秒表、50cm量程的刻度尺、铁架台
D．100cm长的结实的细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架
(2)为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最______(填“高”或“低”)点的位置时开始计时，并计数为1，摆球每次通过该位置时计数加1，当计数为63时，所用的时间为t秒，则单摆周期______秒；
(3)实验时某同学测得的g值偏大，其原因可能是______
A．实验室的海拔太高
B．摆球太重
C．测出n次全振动时间为t，误作为(n+1)次全振动时间进行计算
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现了松动，使摆线长度增加了
【解析】 (1)[1]根据实验要求，摆长1m左右，用米尺测量，体积较小的实心金属球，选小钢球，测量周期用秒表，故选B；
(2)[2]摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测的周期误差最小，所以为了减小测量周期的误差，摆球应选经过最低点的位置时开始计时；
[3]由题分析可知，单摆全振动的次数为，周期为；
(3)[4]单摆的周期公式为，得
A．海拔太高时，重力加速度较小，这肯定不是测量结果偏大的原因，故A错误；
B．摆球的重力越重，误差越小；故B错误；
C．实验中误将n次全振动计为n+1次，则测量周期变小，g偏大，故C正确；
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，测得的单摆周期变大，故由可知得到的g值偏小，故D错误。故选C。
【答案】 (1)B (2)低 (3) (4)C


题组A 基础过关练
1．在“用单摆测重力加速度”的实验中，若测得的g值比当地的标准值偏小，可能因为(　　)
A．测摆长时摆线拉的过紧
B．测摆长时用摆线长代替摆长而漏加小球半径
C．测量周期时，将n次全振动误记成n＋1次全振动
D．开始记时时，小球通过平衡位置时秒表按下的时刻滞后于小球通过平衡位置的时刻
【解析】　根据T＝2π，g＝推理得B对．
【答案】 B
2．(多选)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于摆球形状不规则，无法准确测量摆长，但摆线的长度l′可以准确测量．现使用同一摆球，多次改变摆线长度l′并测得每一次相应的摆动周期T，对于数据处理方法，下列说法中正确的是(　　)
A．l′与T2不是直线关系
B．摆长可以利用l′­T2图线求出
C．l′与T2是直线关系，在理论上，l′­T2直线的斜率与l­T2直线的斜率相同
D．l′与T2是直线关系，在理论上，l′­T2直线的斜率与l­T2直线的斜率不同
【解析】 设摆球的重心到摆线与摆球结点的距离为r，则摆长l＝l′＋r，振动周期T＝2π＝2π，化简后有，l＝T2，l′＝T2－r，可见，l′与T2是直线关系，l′­T2图线在纵轴上的截距表示－r，据此可求出r，进而可求出摆长，选项A错误，B正确；
l′与T2是直线关系，在理论上，l′­T2直线的斜率与l­T2直线的斜率相同，均是，C正确，D错误．
【答案】 BC
3．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为____．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一个小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”)，图乙中Δt将________(填“变大”“不变”或“变小”)．

【解析】　一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为t1＋2t0－t1＝2t0；小球的直径变大后，摆长变长，周期变大；使得每次经过最低点的时间变长．
【答案】　2t0　变大　变大
4．在利用单摆测定重力加速度的实验中：
(1)实验中，需要用到绳子、球、计时器以及尺子等，下列给出了一些选择，你认为相对合适的器材是________．(填写序号)
A．1米长细线 B．1米长粗线
C．10厘米细线 D．泡沫塑料小球
E．小铁球 F．秒表
G．时钟 H．厘米刻度米尺
I．毫米刻度米尺
(2)实验中，测出不同摆长L对应的周期值T，作出T2­L图象，如图所示，T2与L的关系式是T2＝________，利用图线上任两点A，B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)可求出图线斜率k，再由k可求出g＝________.

(3)根据(2)中的方法进行实验，若测得的g值偏小，可能是下列原因中的________．
A．计算摆长时，只考虑悬线长度，而未加小球半径
B．测量周期时，将n次全振动误记为n＋1次全振动
C．计算摆长时，将悬线长加小球直径
D．测量周期时，将n次全振动误记为n－1次全振动
【解析】 (1)为了减少实验误差，摆线选择1米左右的长细线，摆球选择质量大一些，体积小一些的铁球，测量时间用秒表，测量摆长用毫米刻度尺，选择AEFI.
(2)根据单摆的周期公式T＝2π，解得T2＝.
对此图象可知，斜率k＝.解得g＝.
(3)根据(2)中的求解方法，摆长的测量不影响T2­L图象的斜率，即摆长测量偏大或偏小，g值不变，A、C选项错误；测量周期时，将n次全振动误记为n＋1次全振动，则周期测量值偏小，导致重力加速度测量值偏大，B选项错误；测量周期时，将n次全振动误记为n－1次全振动，则周期测量值偏大，导致重力加速度测量值偏小，D选项正确．
【答案】 (1)AEFI　(2)　　(3)D
5．(2020-2021学年成都外国语学校高二(下)期中)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：

(1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图中可知单摆的摆长为___________。
(2)若用表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g=___________。
(3)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变。”这两个学生中___________。
A.甲说得对 B.乙说得对 C.都说得不对
【解析】 (1)[1]从图中可知单摆的摆长为99.65cm；
(2)[2]根据，可得重力加速度的表达式为
(3)[3]考虑到空气浮力，浮力的方向始终与重力方向相反，相当于等效的重力场的重力加速度变小，甲的说法正确，故A正确；
【答案】 (1)99.65cm (2) (3)A
题组B 能力提升练
1．在“利用单摆测重力加速度”的实验中
(1)以下做法中正确的是(　　)
A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长
B．测量周期时，从小球到达最大位移位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间
C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动
D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°
(2)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图所示为________ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2.


(3)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径．具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________.
【解析】 (1)单摆的摆长应为摆线长再加上摆球的半径，A选项错；选择计时起点应以通过平衡位置(速度最大处)为起点可以减小计时误差，B选项错误；单摆振动过程中摆角要小于10°，D选项错误，故C选项正确．
(2)摆球直径为21＋5×0.05＝21.25 mm＝2.125 cm.
摆长为97.43＋2.125/2＝98.49 cm.
秒表读数为90＋10.0＝100.0 s
周期T＝＝2 s．而g＝4π2＝9.75 m/s2.
(3)设摆线底端到重心的距离为r，
则有T1＝2π，T2＝2π，
由两式，得g＝4π2.
【答案】 (1)C　(2)2.125　98.49　100.0　2.0　9.75 (3)4π2
2．(2020-2021学年扬州中学高二(下)期中)在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中。

(1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径，测量的示数如图所示，则摆球直径_______。
(2)摆球摆动稳定后，当它到达_________(填“最低点”或“最高点”)时启动秒表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数，当时刚好停表。停止计时的秒表读数为，该单摆的周期为______(周期要求保留三位有效数字)；

(3)测出多组单摆的摆长和运动周期，作出图像。理论上图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示，造成图像不过坐标原点的原因可能是___________，由图像求出的重力加速度__________。(取)
【解析】 (1)[1]由图甲所示游标卡尺可知，游标尺是10分度的，游标尺的精度是0.1mm，摆球直径
d=18mm+4×0.1mm=18.4mm=1.84cm
(2)[2]为减小实验误差，摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动秒表开始计时；
[3]秒表读数为，单摆周期为
[4]图象不通过坐标原点，将图象向右平移1cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1cm，故可能是漏加小球半径，有可能将线长当做摆长，从而当线长为零时，振动周期不为零；
[5]由单摆的周期公式，可得，则图象的斜率表示为，解得重力加速度为
【答案】 (1)1.84 (2)最低点 (3)2.25 (4)有可能将线长当做摆长，从而当线长为零时，振动周期不为零 (5)9.87
3．(2020-2021学年河南省实验中学高二(下)期中)甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。

(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。
A．该组同学先测出悬点到小球球心的距离L，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t.请写出重力加速度的表达式g=_____(用所测物理量表示)。
B．在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值_____(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示．将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，得到如图丙所示的v－t图线。
A．由图丙可知，该单摆的周期T=_____s；
B．更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2－L(周期平方—摆长)图线，并根据图线拟合得到方程T2=4.04L＋0.035.由此可以得出当地的重力加速度g=______m /s2.(取π2=9.86，结果保留三位有效数字)
【解析】 (1)[1]根据单摆周期公式，因为单摆完成n次全振动所用的时间为t，所以可得，联立可得
[2] 测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，由可知测得的重力加速度偏小；
(2)[3]由图丙所示的v－t图线，可知该单摆的周期T=2.0s；
[3]根据得，根据表达式可知图线的斜率，解得
【答案】 ① ②偏小 ③2.0 ④9.76
4．(2020-2021学年北京四中高二(下)期中)甲乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。

(1)甲组同学采用图1甲所示的实验装置。
A．为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用___________；(用器材前的字母表示)
a、长度接近1m的细绳
b、长度为30cm左右的细绳
c、直径为1．8cm的塑料球
d、直径为1．8cm的铁球
e、最小刻度为1cm的米尺
f、最小刻度为1mm的米尺
B．用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图2所示，读数为___________mm。

C．甲同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期。以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正：___________
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图1乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v-t图线。

A．由图丙可知，该单摆的
I、周期T=___________s；
II、根据图像，估算小球能摆到的最大高度___________m(保留一个有效数字)
B．乙同学采取了图像方法处理数据，如图。
I、请在图上将各数据点拟合成一条直线___________；
II、他能得到的当地重力加速度为___________m/s2(保留三位有效数字，π2=9．86)

【解析】 (1)A．[1]根据实验要求，摆长应选长度接近1m的细绳；
为减小空气阻力的影响，应选用体积较小的实心金属球，故选直径为1.8cm的铁球；
根据得，可知需要测量摆长，所以需要最小刻度为1mm的米尺。故选adf。
B．[2]游标卡尺主尺读数为1.8cm，游标尺上第6个刻度与主尺上某一刻度对齐，因此游标读数为
0.1×6mm=0.6mm，所以最终读数即小钢球直径为d=1.8×10mm+0．06mm=18.6mm
C．[3]①为减小测量误差，应在摆球通过平衡位置时开始计时；②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值。
(2)A．I、[4]由图丙可知，该单摆的周期T=2.0s
II、[5]根据得
由图丙可知，该单摆的最大速度v=100cm/s=1m/s
根据机械能守恒有
解得小球能摆到的最大高度
B．[6]I、在图上将各数据点拟合成一条直线如图：

II、[7]根据得，知图线的斜率，解得g=9.86m/s2
【答案】 ①adf②18.6③见解析④2.0⑤0.05⑥见解析⑦9.86

题组C 培优拔尖练
1．(2020-2021学年山东师范大学附属中学高二(下)期中)(多选)有两位同学利用假期分别去参观位于天津市的“南开大学”和上海市的“复旦大学”，他们各自利用那里的实验室中系统探究了单摆周期T和摆长L的关系。然后通过互联网交流实验数据，并用计算机绘制了如图甲所示的图像。另外，去“复旦大学”做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)

A．甲图中“南开大学”的同学所测得的实验结果对应的图线是A
B．甲图中图线的斜率表示对应所在位置的重力加速度的倒数
C．由乙图可知，a、b两摆球振动周期之比为2：3
D．由乙图可知，t=1s时b球振动方向沿y轴负方向
【解析】 AB．根据单摆的周期公式，得，图线的斜率，因为随着维度的增大，重力加速度增大，故 ，由甲图可知，图线B的斜率较小，则对应的重力加速度较大，故甲图中“南开大学”的同学所测得的实验结果对应的图线是B，AB错误
C．周期指完成一次全振动所需的时间，由图乙可知，，a、b两摆球振动周期之比为2：3，C正确；
D．由乙图可知，t=1s时b球处于平衡位置向y轴负方向振动，D正确。故选CD。
【答案】 CD
2．(2020-2021学年天津市第一中学高二(下)期末)小明同学在做“探究单摆周期与摆长的关系”实验中。
(1)将摆球悬挂于铁架台上，下列各图中悬挂方式正确的是___________：测量小球直径时游标卡尺如图所示，其读数为___________cm。

(2)测单摆周期时，当摆球经过平衡位置时开始计时并开始计1次，测出经过该位置N次所用时间为t，则单摆周期为T=___________；
(3)改变几次摆长L并测出相应的周期T，作出T2-l图像，求出重力加速度g，三位同学分别作出的T2-l图像的示意图如图所示，图线a对应的g值较接近当地重力加速度值，图像b与a平行，则( )
A．出现b的原因可能是误将摆线长记为摆长
B．出现c的原因可能是每次测量时均将40次全振动记为39次
C．利用图像c计算得到的g值大于a对应的g值
【解析】 (1)[1] 探究单摆周期与摆长的关系时，悬点要固定，故AB错误，C正确；
[2]游标卡尺的读数为2cm+0.1mm×6=2.06cm
(2)[3] 测单摆周期时，当摆球经过平衡位置时开始计时并计1次，测出经过该位置N次所用时间为t，摆球每半个周期经过平衡位置一次，则时间t内单摆共摆动 次，则单摆周期为
(3)[4]A．由图示图像可知，对图线b，当T2为零时，l不为零，所测摆长偏大，可能是误将摆线长与摆球的直径之和记为摆长，故A错误；
BC．每次测量时均将40次全振动记为39次，周期测量值变大，由，可知，图线斜率变大，即，变大，所以利用图像c计算得到的g值小于a对应的g值，故B正确，C错误。故选B。
【答案】 ①C ②2.06 ③ ④B
3．用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示．

(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为30 cm左右的细线
C．直径为1.8 cm的塑料球
D．直径为1.8 cm的铁球
(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)．
(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并作了部分计算处理．
组次
1
2
3
摆长L/cm
80.00
90.00
100.00
50次全振动时间t/s
90.0
95.5
100.5
振动周期T/s
1.80
1.91

重力加速度g/(m·s－2)
9.74
9.73

请计算出第3组实验中的T＝________s，g＝________m/s2.
(4)用多组实验数据作出T2­L图像，也可以求出重力加速度g.已知三位同学作出的T2­L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)．

A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
(5)某同学在家里测重力加速度．他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示．由于家里只有一根量程为30 cm的刻度尺．于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2.由此可得重力加速度g＝________(用l1、l2、T1、T2表示)．

【解析】 (1)单摆模型需要满足的条件是摆线的长度远大于小球直径，小球的密度越大越好，这样可以忽略空气阻力．(2)周期T＝，结合T＝2π，可得g＝.(3)周期T＝＝＝2.01 s，由T＝2π，解得g＝9.76 m/s2.(4)由T＝2π，两边平方后可知T2­L
是过原点的直线，b为正确的图线，a与b相比，周期相同时，摆长更短，说明a对应测量的摆长偏小；c与b相比，摆长相同时，周期偏小，可能是多记录了振动次数．(5)设A到铁锁重心的距离为l，则第1、2次的摆长分别为l＋l1、l＋l2，由T1＝2π，T2＝2π，联立解得：g＝.
【答案】　(1)AD　(2)　(3)2.01　9.76　(4)B　(5)