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小学人教版8 数学广角-----找次品精品综合训练题
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这是一份小学人教版8 数学广角-----找次品精品综合训练题，共22页。试卷主要包含了解决问题的多样性，运用优化策略解决问题等内容，欢迎下载使用。
第18讲 数学广角-找次品（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、解决问题的多样性。
在3瓶钙片中找到少了3片的那瓶钙片，至少要称量1次。
2、运用优化策略解决问题。
在找次品时，尽可能将待测物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，则使多的一份与少的一份个数相差1，这样找出次品需要称的次数最少。
从3瓶钙片中找出少了几片的那瓶钙片，至少称量1次。
【易错一】有2187个零件，其中有一个较重的次品，用天平称，保证找到这个次品的最少次数是
A．1084 B．7 C．3
【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。
【解答】解：把2187平均分成3份，每份729个，取其中的两份用天平称，如果平衡，剩下的一份里就有次品，如果不平衡，重的一方就有次品。把含有次品的一份，再分成3份，每份243个，重复上面的步骤，确定含有次品的一份。
同上，把含有次品的一份分成3份，每份1个，重复以上步骤，确定次品。
所以要称7次。
故选：。
【点评】本题主要考查找次品，关键根据物品的个数，对物品进行分份。
【易错二】有30盒饼干，其中的29盒质量相同，另外一盒少了几块。用天平秤。至少称 次可以保证找出这盒饼干。
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：第一次：把30盒饼干平均分成三份每份10盒，把任意分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，那么在没称的10份中，若不平衡，则在较轻的10份中；
第二次：把比较轻的10盒饼干平均分成，3，三份，把两个三份的分别放入天平秤两边，如平衡则在没称的4份中，如不平衡，则在轻的3份中；
第三次：如在轻的3份中，再把这3份分成，1，三份，任取两个放在天平上称，如平衡，则没称的是少装的饼干，如不平衡，则轻的一份是少装的饼干，如少装的饼干在4份中，则把分成两份，放在天平上称，找出少装的一份；
第四次：把这两个放在天平秤两边，可找出少装的饼干。
所以至少称4次可以保证找出这盒饼干。
故答案为：4。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
【易错三】太阳小卖店进来15包糖果，有1包的重量不足，你能用天平称找出这包重量不足的糖果吗？至少要称量几次？写出过程．
【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量：把质量不足的那一袋看做是次品：
（1）把15袋分成两组：7袋为1组，进行第一次称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中，
（2）由此再把7袋分成2组：3袋为1组，如此经过3次即可找出次品．
【解答】解：（1）把15袋分成两组：7袋为1组，进行第一次称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（2）由此再把较轻的一端的7袋分成2组：3袋为1组，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（3）由此再把较轻的一端的3袋分成2组：1袋为1组，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一袋；
答：至少称3次就能保证找出这袋糖来，称量过程如图所示：
【易错四】学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】将8袋盐分成3份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。
所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。
答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
【易错五】用天平找次品，称了三次，至少可以从多少个零件中找出次品？最多可以从多少个零件中找出次品？写出你的方案。
【分析】根据找次品的方法进行解答即可。
【详解】①用天平称次品，称了三次，至少可以从10个零件中找出次品。（次品的质量较轻）
把10个零件平均分成两份，每份5个，称这两份哪份轻；（第一次）
然后把轻的那5个随机拿出4个，平均分成两份，称这两份，如果一样重则次品是剩下的那份，如果不一样次品在较轻的那边；（第二次）
接着称次品所在那份的两个，轻的那个是次品。（第三次）。
②用天平称次品，称了三次，最多可以从27个零件中找出次品。（次品的质量较轻）
把27个零件平均分成3份，每份9个，取其中的两份称，轻一点的那份有次品。（第一次）
再把9个平均分成3份，每份3个，取其中的两份称，轻一点的那份有次品。（第二次）
把3个取其中两个称，轻一点那个是次品。（第三次）
答：至少可以从10个零件中找出次品，最多可以从27个零件中找出次品。
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。
【易错六】仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将16箱分成（5、5、6），先称（5、5），只考虑最不利的情况，平衡，次品在6箱中；再将6箱分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2箱；再称1次即可确定次品，共3次。
答：最少要称3次。
【点睛】关键是掌握找次品的最优策略。
一、选择题
1．24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成（ ）份，然后再称。
A．2 B．3 C．4 D．6
2．10瓶果汁，其中1瓶坏了，但不知道比另外9瓶轻还是重，请问用无砝码的天平至少称（ ）次能判断这瓶果汁的轻重。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．有4颗外表一模一样的玻璃珠，其中有1颗玻璃珠是次品（质量轻一些）。根据下面小华找次品的过程，可以知道（ ）号玻璃珠是次品。
A．④ B．③ C．② D．①
4．某公司生产的8个产品中有1个产品为较轻的次品，称一次就可以将次品确定在更小的范围内的分法是（ ）。
A． B．
C． D．
5．王阿姨买了5袋瓜子，其中4袋质量相同，是合格的，另有一袋质量较轻，是不合格的。她至少用天平称（ ）次能保证找出不合格的。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．有20盒饼千，其中19盒质量相同，另有一盒少了几块。用天平秤，至少称（ ）次就能保证找出这个饼干。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．有盒乒乓球，其中有一盒里有一个次品，已知次品偏重一些，如果借助天平，那么保证找出这盒次品至少要称（ ）次。
A． B． C．
8．土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称（ ）次才能保证找出这包土笋冻。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．福建茶叶闻名遐迩，人们对茶情有独钟。钟老板包好10袋茶叶准备送给顾客，可是其中有9袋每袋重50g，另1袋不足50g。如果用天平称，至少称( )次可以找出这袋茶叶。
10．有13瓶同样的口香糖，其中12瓶的质量相同，另有一瓶少了几颗。如果用天平称，至少称( )次就能保证找出较轻的这瓶来。
11．有81个机器零件，其中80个质量合格，另有一个稍重，不合格。如果用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件来。
12．有28个比赛用乒乓球，其中一个乒乓球质量较轻，不符合标准。如果用无砝码的天平称量，要保证找出较轻的那一个，至少要称( )次。
13．15瓶饮料中，有1瓶略重一些，假如用天平称至少称( )次能保证找出这瓶略重的饮料。
14．质检员要用尽可能少的次数找出次品（轻一些），表中有3种物品，请将剩余两种待测物品进行分组，并用最少的次数找出次品。
待测物品个数
首次分成
至少称几次
6
（2，2，2）
2
8
( )
( )
15
( )
( )
15．闽侯橄榄是福建珍果，营养丰富。林奶奶有5袋包装一样的橄榄，其中4袋质量都是1kg，另1袋质量不是1kg，但不知道比1kg重还是轻。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出这袋橄榄。
16．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。
三、判断题
17．8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。( )
18．81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
19．在检测13个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），用天平找次品的方法，我们至少称3次保证能找到这块芯片。( )
20．有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( )
四、解答题
21．有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。
22．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？
23．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
24．在9枚一模一样的金币中，有一枚比真金币轻的假金币。如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假金币？
25．一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？
26．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程）
27．在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？
28．一箱桔子有13袋，其中12袋质量相同，另外一袋质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这袋桔子来？请用图示法表示过程。
29．有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？
30．有5袋盐，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你如何用天平称出来？
31．一箱橙子有25袋，其中有24袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，如果用天平称至少称几次能保证找出这袋橙子来？
32．有29瓶同样的纯净水，向其中一瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的纯净水？
参考答案
1．B
【分析】如果分成两份，每份的数量多，相对来就需要称的次数多；如果分成四份，最少要称4次，才能找出次品。所以最好是分成3份，这样能用最少的次数找出次品所在的位置。具体做法是先把24个零件分成（8，8，8），把两个8个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组。再把8分成（3，3，2），可找出有次品的一组。再把3分成（1，1，1），可找出次品。据此解答。
【详解】根据分析得，24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成3份，然后再称。
故答案为：B
【点睛】本题运用了找次品中最基本的方法，应让学生掌握平均分成3份再称是最快的方法。
2．C
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】将10瓶分成3、3、4，两个3如果平衡就在4瓶里；
4分成2、2，再称两次，两个3不平衡，在轻的里面，3分成1、1、1，再称1次能保证找到，则用天平至少称3次能判断这坏果汁的轻重。
故答案为：C
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放个数相等的果汁。
3．C
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】次品质量轻一些，观察左图次品在①②中，观察右图次品是②。
故答案为：C
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
4．C
【分析】把8个产品分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3个产品分成（1，1，1），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品是剩下的那一个。至少称2次就一定能找到这个次品。
【详解】称一次就可以将次品确定在更小的范围内的分法是：
故答案为：C
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
5．B
【分析】把5袋瓜子分成三组（2，2，1），先称数量相同的两组，如果天平平衡，那么剩下的一袋是质量不合格的那袋瓜子，如果天平不平衡，那么质量不合格的那袋瓜子在天平上翘的那组里面，称质量不合格的那袋瓜子所在的组，天平上翘那端为质量不合格的那袋瓜子，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
所以，她至少用天平称2次能保证找出不合格的。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
6．B
【分析】第一次：把20个饼干分成（7、7、6）三组，在天平两边各放7盒，若天平平衡，则剩下的6盒里有次品，把这6盒再分成三份（2，2，2），在天平两边各放2盒，若天平平衡，次品在剩下的2盒中，再称1次即可；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品，再称1次即可；同理，若第一次不平衡，则天平较高端的那一组里有次品，把7盒分成三份（2，2，3），在天平两边各放2盒，若天平平衡，次品在剩下的3盒中，把3盒分成三份（1，1，1），同理，再称1次即可。
【详解】由分析可知：
用天平秤，至少称3次就能保证找出这个饼干。
故答案为：B
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
7．B
【分析】称第一次，把个乒乓球分成三组，天平每边各放一组，若平衡，次品在未称的一组，不平衡，次品在轻的一组；
称第二次，再把有次品的一组个乒乓球分成，天平每边各放一组，次品在轻的一边；
称第三次，再把有次品的个分成，天平每边各放个，轻的就是次品。
用天平秤，至少次才能保证找出次品。
【详解】由分析可知：
如果借助天平，那么保证找出这盒次品至少要称3次。
故答案为：B
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
8．D
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】将28包分成3份：9，9，10；第一次称重，在天平两边各放9包，手里留10包；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的10包分为3，3，4，在天平两边各放3包，手里留4包，
a.如果天平平衡，则次品在手里4包中，接下来，将手里的4包分为1，1，2，在天平两边各放1包，手里留2包，
①如果天平平衡，则次品在手里的2包，将这2包分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的一边；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9包中，将这9包分成三份：3，3，3，在天平两边各放3包，手里留3包，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的3包中。
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
综上可得：至少称4次能就能保证可以找出这一包。
故答案为：D
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
9．3/三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，如果用天平称，至少称3次可以找出这袋茶叶。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
10．3/三
【分析】将13瓶分成3份：4，4，5；第一次称重，在天平两边各放4瓶，手里留5瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5瓶分为2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留l瓶，
A．如果天平平衡，则次品在手里；此时共称了2次。
B．如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；此时共称了2次。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4瓶中，将这4瓶中的2瓶在天平两边各放1瓶，手里留2瓶，
A．如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；此时共称了2次。
B．如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。此时共称了3次。
【详解】根据分析得，在13瓶口香糖中，要找出那瓶较轻的口香糖，如果用天平称，至少称3次就能保证找出较轻的这瓶来。
【点睛】此题主要考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
11．4/四
【分析】第一次：把81个零件分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27个分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：
如果用天平称，至少称4次能保证找出这个不合格的零件来。
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
12．3/三
【分析】第一次称重，先把28个乒乓球平均分成（9，9，10），3组，天平两边各放9个，如果平衡，次品就是剩下的10个里，如果不平衡，把含有次品的9个分成（3，3，3） 3组；如果次品是在10个的那一份，就分成（3,3,4）三组，然后进行第二次称重，天平两端各放3个，如果平衡，次品在剩下的3个里，如果不平衡，把不平衡的3个分成（1，1，1），进行第三次称重，天平两端各放1个，如果平衡，剩下的就是次品，如果不平衡，天平哪端轻，那个就是次品；最少称3次，据此解答。
【详解】根据分析可知，有28个比赛用乒乓球，其中一个乒乓球质量较轻，不符合标准。如果用无砝码的天平称量，要保证找出较轻的那一个，至少要称3次。
【点睛】本题考查找次品的问题，根据天平的原理进行解答。
13．3/三
【分析】找次品时尽量把所有的瓶数平均分成3份，如果不能平均分，也要把多或少的那份比其它的多或少1，这样称一次就会把次品所在的范围缩小到最小。
【详解】第一次，先在天平两端各放5瓶，如果平衡，略重的那瓶就在剩下的5瓶中；如果不平衡，天平下沉的一端的5瓶中就有略重的那瓶；
第二次，把略重的那组所在的5瓶分成2瓶、2瓶、l瓶，在天平两端各放2瓶，如果平衡，剩下的一瓶就是略重的那瓶；如果不平衡，下沉那端的2瓶中有一瓶是略重的；
第三次，把略重的那组所在的2瓶在天平两端各放l瓶，下沉那端的1瓶就是略重的那瓶。
综上，用天平称至少称3次能保证找出这瓶略重的饮料。
【点睛】本题主要考查找次品的问题，依据是天平秤平衡原理。
14． （3，3，2） 2 （5，5，5） 3
【分析】把8个物品分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3个物品分成（1，1，1），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品是剩下的那一个。所以至少称2次保证能找到次品。
把15个物品平均分成3份，即（5，5，5），第一次称，天平两边各放5个，如果天平不平衡，次品就在较轻的5个中；如果天平平衡，次品在剩下的5个中；再把有次品的5个物品分成（2，2，1），第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就在较轻的2个中；如果天平平衡，次品就是剩下的那一个；最后把有次品的2个物品分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证能找出次品。
【详解】
待测物品个数
首次分成
至少称几次
6
（2，2，2）
2
8
（3，3，2）
（ 2 ）
15
（5，5，5）
（ 3 ）
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
15．3
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把5袋橄榄分成2、2、1三组，分别表示为ab、cd、e。
先用ab和cd称，有以下可能：①一样重，则次品就是e，仅用了1次；
②不一样重，则次品就在ab、cd中。
假设ab轻，可以把a和c互换位置，
如果质量没变，那么次品是b或d，再称1次即可；
如果质量变了，次品就是a或c，再称1次即可。共需3次。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
16． 10 27
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻）
观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次；……据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。
【详解】3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
3×3×3
＝9×3
＝27（个）
所以这堆物品最少有10个，最多有27个。
【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。
17．√
【分析】把这8瓶钙片分成三份（3，3，2），在天平两边各放3瓶，若平衡，则次品在剩下的2瓶中，再称1次即可；若不平衡，次品在上升的3瓶中，把这3瓶分成三份（1，1，1），在天平两边各放1瓶，若平衡，剩下的那瓶就是次品，若不平衡，上升的那瓶就是次品。
【详解】由分析可知：
8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查找次品，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
18．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
19．√
【分析】利用用天平找次品的原则解决问题。
【详解】从13个零件中取出12个，分成（6，6）两组；
第一次：把这两组放在天平上称，如果平衡，则轻的是没称那个；如果不平衡，则次品在较轻的那一组里；
第二次：把较轻的那组再分成（2，2，2）三组，把其中的任意两组放在天平上称，如果平衡，则轻的就是没称的一组；
第三次：如果不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的，所以至少称3次就能找出这块芯片。
故答案为：√
【点睛】解答本题的关键是理解和掌握找次品的原理。
20．√
【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。
【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7；
先将第一组和第二组进行称量：
（1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
（2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
综上所述，至少称2次能保证把次品找出来；
故答案为：√。
【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。
21．3次，过程见详解
【分析】根据题意，一个次品比正品略重一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。
【详解】要由分析可得：
第一次：在天平左右两端各放4个，如果天平平衡，说明次品在剩下的三个中；如果不平衡，天平较低的一端的零件中有次品；
第二次：如果次品在三个中，天平左右两端各放一共，如果平衡，剩下的一个就是次品，如果不平衡，较低的那端的零件就是次品；如果次品在四个中，天平左右两端各放两个，次品在较低的两个零件中；
第三次：把次品所在的两个零件分别放在天平左右两端，较低的一端的那个零件就是次品。
所以至少称3次就一定能找出这个次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量重的零件是次品。
22．3次
【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。
【详解】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中；
第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中；
第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品；
因此，至少称3次可以保证找出次品。
【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。
23．2次
【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。
【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次）
答：至少称2次能保证找出次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。
24．2次
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】①第一次把9枚金币平均分成三份，每份3枚，任取其中两份，分别放在天平两端；
②
a若天平不平衡，则第二次从天平较高端的3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，
若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，
若天平不平衡，则天平较高端的是假金币；
b若第一次天平平衡，则第二次从未取的那3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，
若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，
若天平不平衡，则天平较高端的是假金币。所以至少称2次能保证找出这枚假金币。
答：至少称2次能保证找出这枚假金币。
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
25．3次
【分析】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两边的质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点把15盒药品分成5盒、5盒、5盒三份，先称其中的两份，若平衡，则次品在剩余的一份中，若不平衡，则次品在天平的较高一端；进而继续将较高端分成2盒、2盒、1盒，利用上面方法继续比较，直至找出质量不足的那一盒药品。
【详解】把15这盒分成5盒，5盒，5盒三份。
第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤较高端的一份继续；
第二次：把在天平秤较高端5盒，任取4盒，平均分成两份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那盒即为质量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤较高端的一份继续；
第三次：把天平秤较高端的两盒，分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为质量不足的。
答：至少称3次能保证找出那盒质量不足的。
【点睛】本题主要考查找次品，关键是注意每次取药品的盒数。
26．3次
【分析】分成每6箱一组，用天平称，因有一箱质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3箱分成一组用天平称，再找出轻的一组，再任取2箱用天平称，若天平平衡，则没称的1箱是次品，若不平衡测轻的是次品，据此解答。
【详解】把12箱分成两组：6箱为1组，进行第一次称量，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
由此再把较轻的一端的6箱分成2组：3箱为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
由此再把较轻的一端的3箱分成3组：1箱为1组，取两箱称量，如果左右相等，那么说明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一箱；
答：至少称3次就能能保证找出这箱轻一些的脐橙，称量过程如下图所示：
【点睛】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。
27．5次
【分析】根据找次品的方法，将玻璃球不断分堆称重，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出超重的玻璃球。
【详解】第一次：将100个玻璃球分成3堆，前两堆各33个，后一堆34个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第二次：将含有超重球的34个球分成3堆，前两堆各11个，后一堆12个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第三次：将含有超重球的12个球分成3堆，每堆4个，任选两堆放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第四次：将含有超重球的4个球平均分成两堆，每堆2个，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第五次：将含有超重球的2个球放在天平两端，哪端较重哪端就是超重的球。
答：最少称5次，就一定能把这个超重的球找出来。
【点睛】本题考查了找次品，会利用天平找次品是解题的关键。
28．3次
【分析】将13袋桔子分组，要考虑最不利的情况，利用天平的平衡性进行称量，保证找到质量较轻的一袋。
【详解】（1）把13袋分成两组：6袋为1组，进行第一次称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（2）由此再把较轻的一端的6袋分成2组：3袋为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（3）由此再把较轻的一端的3袋分成3组：1袋为1组，取两袋称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一袋；
答：至少称3次就能保证找出这袋桔子来，称量过程如下图所示：
【点睛】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。
29．3次；过程见解析
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】第一次：把12袋饼干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤较低端的4袋分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端；
第三次：把在天平秤较低端的2袋分别放在天平秤两端，较低端的那袋即为较重的。
答：至少称3次才能保证找到这袋有奖品的饼干。
【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。
30．见详解
【分析】根据找次品的方法，结合题意，分析解题即可。
【详解】答：（1）第一次称量：先把其中4袋拿出来分成2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右两边平衡，那么说明剩下的那1袋是次品；如果左右不等，那么说明次品就在其中一边；
（2）第二次称量：把左边的2袋分别放在天平的左右两边称量，如果相等，那么次品在右边一组的2袋中，如果不等，那么说明这两袋中1袋是次品；
（3）第三次称量：把确定有次品的2袋盐，分别与其它3袋中的任意1袋继续称量，相等的是500克，不等的就是次品，由此也可以根据天平的平衡原理得出它的质量是大于500克或者是小于500克。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
31．3次
【分析】先把25袋橙子分成9个，9个，7个三份，第一次称，确定次品所在；再把次品所在的那一份，平均分成三份，第二次称，确定次品所在；第三次称，确定质量较轻的这袋橙子。
【详解】第一次：先把25袋橙子分成9个，9个，7个三份，把其中两份9个的分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，则较轻的橙子，在未取的7个中（再分成3个，3个，1个三份，按照下面方法操作即可），若天平秤不平衡：天平秤较高的一边，即是质量轻的橙子，在的一边，第二次：把较高端的9个橙子，平均分成三份，每份3个，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的橙子在未取的3个中，若天平秤不平衡；第三次：从较高的三个橙子，中任取1个，分别放在天平秤两端，较高的即为质量较轻的，若天平秤平衡，未取那个橙子即为较轻的。
答：如果用天平称至少称3次能保证找出这袋橙子来。
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的计算方法。
32．4次
【分析】注意盐水的质量比水的质量重。找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。
【详解】把29瓶分成10瓶、10瓶、9瓶；
第一次：两端各放10瓶，如果平衡次品就在9瓶中；如果不平衡，次品在下沉的那10瓶中；
第二次：①把9瓶平均分成3份，每份3瓶；称1次找出次品所在的3瓶，再称1次找出次品；共称3次；
②把次品所在的10瓶分成3、3、4，称1次找出次品所在的4瓶；再称1次找出次品所在的2瓶，再称1次找出次品，共称4次。
答：至少称4次能保证找出加盐的纯净水。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
第18讲 数学广角-找次品（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、解决问题的多样性。
在3瓶钙片中找到少了3片的那瓶钙片，至少要称量1次。
2、运用优化策略解决问题。
在找次品时，尽可能将待测物品平均分成3份，如果不能平均分成3份，则使多的一份与少的一份个数相差1，这样找出次品需要称的次数最少。
从3瓶钙片中找出少了几片的那瓶钙片，至少称量1次。
【易错一】有2187个零件，其中有一个较重的次品，用天平称，保证找到这个次品的最少次数是
A．1084 B．7 C．3
【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。
【解答】解：把2187平均分成3份，每份729个，取其中的两份用天平称，如果平衡，剩下的一份里就有次品，如果不平衡，重的一方就有次品。把含有次品的一份，再分成3份，每份243个，重复上面的步骤，确定含有次品的一份。
同上，把含有次品的一份分成3份，每份1个，重复以上步骤，确定次品。
所以要称7次。
故选：。
【点评】本题主要考查找次品，关键根据物品的个数，对物品进行分份。
【易错二】有30盒饼干，其中的29盒质量相同，另外一盒少了几块。用天平秤。至少称 次可以保证找出这盒饼干。
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】解：第一次：把30盒饼干平均分成三份每份10盒，把任意分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，那么在没称的10份中，若不平衡，则在较轻的10份中；
第二次：把比较轻的10盒饼干平均分成，3，三份，把两个三份的分别放入天平秤两边，如平衡则在没称的4份中，如不平衡，则在轻的3份中；
第三次：如在轻的3份中，再把这3份分成，1，三份，任取两个放在天平上称，如平衡，则没称的是少装的饼干，如不平衡，则轻的一份是少装的饼干，如少装的饼干在4份中，则把分成两份，放在天平上称，找出少装的一份；
第四次：把这两个放在天平秤两边，可找出少装的饼干。
所以至少称4次可以保证找出这盒饼干。
故答案为：4。
【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
【易错三】太阳小卖店进来15包糖果，有1包的重量不足，你能用天平称找出这包重量不足的糖果吗？至少要称量几次？写出过程．
【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量：把质量不足的那一袋看做是次品：
（1）把15袋分成两组：7袋为1组，进行第一次称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中，
（2）由此再把7袋分成2组：3袋为1组，如此经过3次即可找出次品．
【解答】解：（1）把15袋分成两组：7袋为1组，进行第一次称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（2）由此再把较轻的一端的7袋分成2组：3袋为1组，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（3）由此再把较轻的一端的3袋分成2组：1袋为1组，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一袋；
答：至少称3次就能保证找出这袋糖来，称量过程如图所示：
【易错四】学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】将8袋盐分成3份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。
所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。
答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
【易错五】用天平找次品，称了三次，至少可以从多少个零件中找出次品？最多可以从多少个零件中找出次品？写出你的方案。
【分析】根据找次品的方法进行解答即可。
【详解】①用天平称次品，称了三次，至少可以从10个零件中找出次品。（次品的质量较轻）
把10个零件平均分成两份，每份5个，称这两份哪份轻；（第一次）
然后把轻的那5个随机拿出4个，平均分成两份，称这两份，如果一样重则次品是剩下的那份，如果不一样次品在较轻的那边；（第二次）
接着称次品所在那份的两个，轻的那个是次品。（第三次）。
②用天平称次品，称了三次，最多可以从27个零件中找出次品。（次品的质量较轻）
把27个零件平均分成3份，每份9个，取其中的两份称，轻一点的那份有次品。（第一次）
再把9个平均分成3份，每份3个，取其中的两份称，轻一点的那份有次品。（第二次）
把3个取其中两个称，轻一点那个是次品。（第三次）
答：至少可以从10个零件中找出次品，最多可以从27个零件中找出次品。
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。
【易错六】仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将16箱分成（5、5、6），先称（5、5），只考虑最不利的情况，平衡，次品在6箱中；再将6箱分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2箱；再称1次即可确定次品，共3次。
答：最少要称3次。
【点睛】关键是掌握找次品的最优策略。
一、选择题
1．24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成（ ）份，然后再称。
A．2 B．3 C．4 D．6
2．10瓶果汁，其中1瓶坏了，但不知道比另外9瓶轻还是重，请问用无砝码的天平至少称（ ）次能判断这瓶果汁的轻重。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．有4颗外表一模一样的玻璃珠，其中有1颗玻璃珠是次品（质量轻一些）。根据下面小华找次品的过程，可以知道（ ）号玻璃珠是次品。
A．④ B．③ C．② D．①
4．某公司生产的8个产品中有1个产品为较轻的次品，称一次就可以将次品确定在更小的范围内的分法是（ ）。
A． B．
C． D．
5．王阿姨买了5袋瓜子，其中4袋质量相同，是合格的，另有一袋质量较轻，是不合格的。她至少用天平称（ ）次能保证找出不合格的。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．有20盒饼千，其中19盒质量相同，另有一盒少了几块。用天平秤，至少称（ ）次就能保证找出这个饼干。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．有盒乒乓球，其中有一盒里有一个次品，已知次品偏重一些，如果借助天平，那么保证找出这盒次品至少要称（ ）次。
A． B． C．
8．土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称（ ）次才能保证找出这包土笋冻。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．福建茶叶闻名遐迩，人们对茶情有独钟。钟老板包好10袋茶叶准备送给顾客，可是其中有9袋每袋重50g，另1袋不足50g。如果用天平称，至少称( )次可以找出这袋茶叶。
10．有13瓶同样的口香糖，其中12瓶的质量相同，另有一瓶少了几颗。如果用天平称，至少称( )次就能保证找出较轻的这瓶来。
11．有81个机器零件，其中80个质量合格，另有一个稍重，不合格。如果用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件来。
12．有28个比赛用乒乓球，其中一个乒乓球质量较轻，不符合标准。如果用无砝码的天平称量，要保证找出较轻的那一个，至少要称( )次。
13．15瓶饮料中，有1瓶略重一些，假如用天平称至少称( )次能保证找出这瓶略重的饮料。
14．质检员要用尽可能少的次数找出次品（轻一些），表中有3种物品，请将剩余两种待测物品进行分组，并用最少的次数找出次品。
待测物品个数
首次分成
至少称几次
6
（2，2，2）
2
8
( )
( )
15
( )
( )
15．闽侯橄榄是福建珍果，营养丰富。林奶奶有5袋包装一样的橄榄，其中4袋质量都是1kg，另1袋质量不是1kg，但不知道比1kg重还是轻。如果用天平称，至少称( )次就可以保证找出这袋橄榄。
16．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有( )个，最多有( )个。
三、判断题
17．8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。( )
18．81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
19．在检测13个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），用天平找次品的方法，我们至少称3次保证能找到这块芯片。( )
20．有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。( )
四、解答题
21．有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。
22．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？
23．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
24．在9枚一模一样的金币中，有一枚比真金币轻的假金币。如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假金币？
25．一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？
26．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程）
27．在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？
28．一箱桔子有13袋，其中12袋质量相同，另外一袋质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这袋桔子来？请用图示法表示过程。
29．有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？
30．有5袋盐，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你如何用天平称出来？
31．一箱橙子有25袋，其中有24袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，如果用天平称至少称几次能保证找出这袋橙子来？
32．有29瓶同样的纯净水，向其中一瓶中加入一些盐，如果用天平称，至少称几次能保证找出加盐的纯净水？
参考答案
1．B
【分析】如果分成两份，每份的数量多，相对来就需要称的次数多；如果分成四份，最少要称4次，才能找出次品。所以最好是分成3份，这样能用最少的次数找出次品所在的位置。具体做法是先把24个零件分成（8，8，8），把两个8个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组。再把8分成（3，3，2），可找出有次品的一组。再把3分成（1，1，1），可找出次品。据此解答。
【详解】根据分析得，24个外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果用天平找出这个次品，最好的方法是先把这些零件平均分成3份，然后再称。
故答案为：B
【点睛】本题运用了找次品中最基本的方法，应让学生掌握平均分成3份再称是最快的方法。
2．C
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】将10瓶分成3、3、4，两个3如果平衡就在4瓶里；
4分成2、2，再称两次，两个3不平衡，在轻的里面，3分成1、1、1，再称1次能保证找到，则用天平至少称3次能判断这坏果汁的轻重。
故答案为：C
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放个数相等的果汁。
3．C
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】次品质量轻一些，观察左图次品在①②中，观察右图次品是②。
故答案为：C
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
4．C
【分析】把8个产品分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3个产品分成（1，1，1），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品是剩下的那一个。至少称2次就一定能找到这个次品。
【详解】称一次就可以将次品确定在更小的范围内的分法是：
故答案为：C
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
5．B
【分析】把5袋瓜子分成三组（2，2，1），先称数量相同的两组，如果天平平衡，那么剩下的一袋是质量不合格的那袋瓜子，如果天平不平衡，那么质量不合格的那袋瓜子在天平上翘的那组里面，称质量不合格的那袋瓜子所在的组，天平上翘那端为质量不合格的那袋瓜子，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
所以，她至少用天平称2次能保证找出不合格的。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
6．B
【分析】第一次：把20个饼干分成（7、7、6）三组，在天平两边各放7盒，若天平平衡，则剩下的6盒里有次品，把这6盒再分成三份（2，2，2），在天平两边各放2盒，若天平平衡，次品在剩下的2盒中，再称1次即可；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品，再称1次即可；同理，若第一次不平衡，则天平较高端的那一组里有次品，把7盒分成三份（2，2，3），在天平两边各放2盒，若天平平衡，次品在剩下的3盒中，把3盒分成三份（1，1，1），同理，再称1次即可。
【详解】由分析可知：
用天平秤，至少称3次就能保证找出这个饼干。
故答案为：B
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
7．B
【分析】称第一次，把个乒乓球分成三组，天平每边各放一组，若平衡，次品在未称的一组，不平衡，次品在轻的一组；
称第二次，再把有次品的一组个乒乓球分成，天平每边各放一组，次品在轻的一边；
称第三次，再把有次品的个分成，天平每边各放个，轻的就是次品。
用天平秤，至少次才能保证找出次品。
【详解】由分析可知：
如果借助天平，那么保证找出这盒次品至少要称3次。
故答案为：B
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
8．D
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】将28包分成3份：9，9，10；第一次称重，在天平两边各放9包，手里留10包；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的10包分为3，3，4，在天平两边各放3包，手里留4包，
a.如果天平平衡，则次品在手里4包中，接下来，将手里的4包分为1，1，2，在天平两边各放1包，手里留2包，
①如果天平平衡，则次品在手里的2包，将这2包分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的一边；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9包中，将这9包分成三份：3，3，3，在天平两边各放3包，手里留3包，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的3包中。
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
综上可得：至少称4次能就能保证可以找出这一包。
故答案为：D
【点睛】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
9．3/三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，如果用天平称，至少称3次可以找出这袋茶叶。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
10．3/三
【分析】将13瓶分成3份：4，4，5；第一次称重，在天平两边各放4瓶，手里留5瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5瓶分为2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留l瓶，
A．如果天平平衡，则次品在手里；此时共称了2次。
B．如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；此时共称了2次。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4瓶中，将这4瓶中的2瓶在天平两边各放1瓶，手里留2瓶，
A．如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；此时共称了2次。
B．如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。此时共称了3次。
【详解】根据分析得，在13瓶口香糖中，要找出那瓶较轻的口香糖，如果用天平称，至少称3次就能保证找出较轻的这瓶来。
【点睛】此题主要考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
11．4/四
【分析】第一次：把81个零件分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27个分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较低端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：
如果用天平称，至少称4次能保证找出这个不合格的零件来。
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
12．3/三
【分析】第一次称重，先把28个乒乓球平均分成（9，9，10），3组，天平两边各放9个，如果平衡，次品就是剩下的10个里，如果不平衡，把含有次品的9个分成（3，3，3） 3组；如果次品是在10个的那一份，就分成（3,3,4）三组，然后进行第二次称重，天平两端各放3个，如果平衡，次品在剩下的3个里，如果不平衡，把不平衡的3个分成（1，1，1），进行第三次称重，天平两端各放1个，如果平衡，剩下的就是次品，如果不平衡，天平哪端轻，那个就是次品；最少称3次，据此解答。
【详解】根据分析可知，有28个比赛用乒乓球，其中一个乒乓球质量较轻，不符合标准。如果用无砝码的天平称量，要保证找出较轻的那一个，至少要称3次。
【点睛】本题考查找次品的问题，根据天平的原理进行解答。
13．3/三
【分析】找次品时尽量把所有的瓶数平均分成3份，如果不能平均分，也要把多或少的那份比其它的多或少1，这样称一次就会把次品所在的范围缩小到最小。
【详解】第一次，先在天平两端各放5瓶，如果平衡，略重的那瓶就在剩下的5瓶中；如果不平衡，天平下沉的一端的5瓶中就有略重的那瓶；
第二次，把略重的那组所在的5瓶分成2瓶、2瓶、l瓶，在天平两端各放2瓶，如果平衡，剩下的一瓶就是略重的那瓶；如果不平衡，下沉那端的2瓶中有一瓶是略重的；
第三次，把略重的那组所在的2瓶在天平两端各放l瓶，下沉那端的1瓶就是略重的那瓶。
综上，用天平称至少称3次能保证找出这瓶略重的饮料。
【点睛】本题主要考查找次品的问题，依据是天平秤平衡原理。
14． （3，3，2） 2 （5，5，5） 3
【分析】把8个物品分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3个物品分成（1，1，1），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品是剩下的那一个。所以至少称2次保证能找到次品。
把15个物品平均分成3份，即（5，5，5），第一次称，天平两边各放5个，如果天平不平衡，次品就在较轻的5个中；如果天平平衡，次品在剩下的5个中；再把有次品的5个物品分成（2，2，1），第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就在较轻的2个中；如果天平平衡，次品就是剩下的那一个；最后把有次品的2个物品分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证能找出次品。
【详解】
待测物品个数
首次分成
至少称几次
6
（2，2，2）
2
8
（3，3，2）
（ 2 ）
15
（5，5，5）
（ 3 ）
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
15．3
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把5袋橄榄分成2、2、1三组，分别表示为ab、cd、e。
先用ab和cd称，有以下可能：①一样重，则次品就是e，仅用了1次；
②不一样重，则次品就在ab、cd中。
假设ab轻，可以把a和c互换位置，
如果质量没变，那么次品是b或d，再称1次即可；
如果质量变了，次品就是a或c，再称1次即可。共需3次。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
16． 10 27
【分析】用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻）
观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次；……据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。
【详解】3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
3×3×3
＝9×3
＝27（个）
所以这堆物品最少有10个，最多有27个。
【点睛】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。
17．√
【分析】把这8瓶钙片分成三份（3，3，2），在天平两边各放3瓶，若平衡，则次品在剩下的2瓶中，再称1次即可；若不平衡，次品在上升的3瓶中，把这3瓶分成三份（1，1，1），在天平两边各放1瓶，若平衡，剩下的那瓶就是次品，若不平衡，上升的那瓶就是次品。
【详解】由分析可知：
8瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查找次品，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
18．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
19．√
【分析】利用用天平找次品的原则解决问题。
【详解】从13个零件中取出12个，分成（6，6）两组；
第一次：把这两组放在天平上称，如果平衡，则轻的是没称那个；如果不平衡，则次品在较轻的那一组里；
第二次：把较轻的那组再分成（2，2，2）三组，把其中的任意两组放在天平上称，如果平衡，则轻的就是没称的一组；
第三次：如果不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的，所以至少称3次就能找出这块芯片。
故答案为：√
【点睛】解答本题的关键是理解和掌握找次品的原理。
20．√
【分析】7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。
【详解】将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，第三组5~7；
先将第一组和第二组进行称量：
（1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
（2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；
综上所述，至少称2次能保证把次品找出来；
故答案为：√。
【点睛】本题考查的是找次品的问题，若n个商品中只有一个次品，且比正品轻，当时，至少需要1次，当时，至少需要2次，当时，至少需要3次，依此类推。
21．3次，过程见详解
【分析】根据题意，一个次品比正品略重一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。
【详解】要由分析可得：
第一次：在天平左右两端各放4个，如果天平平衡，说明次品在剩下的三个中；如果不平衡，天平较低的一端的零件中有次品；
第二次：如果次品在三个中，天平左右两端各放一共，如果平衡，剩下的一个就是次品，如果不平衡，较低的那端的零件就是次品；如果次品在四个中，天平左右两端各放两个，次品在较低的两个零件中；
第三次：把次品所在的两个零件分别放在天平左右两端，较低的一端的那个零件就是次品。
所以至少称3次就一定能找出这个次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量重的零件是次品。
22．3次
【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。
【详解】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中；
第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中；
第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品；
因此，至少称3次可以保证找出次品。
【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。
23．2次
【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。
【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次）
答：至少称2次能保证找出次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。
24．2次
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】①第一次把9枚金币平均分成三份，每份3枚，任取其中两份，分别放在天平两端；
②
a若天平不平衡，则第二次从天平较高端的3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，
若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，
若天平不平衡，则天平较高端的是假金币；
b若第一次天平平衡，则第二次从未取的那3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，
若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，
若天平不平衡，则天平较高端的是假金币。所以至少称2次能保证找出这枚假金币。
答：至少称2次能保证找出这枚假金币。
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
25．3次
【分析】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两边的质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点把15盒药品分成5盒、5盒、5盒三份，先称其中的两份，若平衡，则次品在剩余的一份中，若不平衡，则次品在天平的较高一端；进而继续将较高端分成2盒、2盒、1盒，利用上面方法继续比较，直至找出质量不足的那一盒药品。
【详解】把15这盒分成5盒，5盒，5盒三份。
第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤较高端的一份继续；
第二次：把在天平秤较高端5盒，任取4盒，平均分成两份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那盒即为质量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤较高端的一份继续；
第三次：把天平秤较高端的两盒，分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为质量不足的。
答：至少称3次能保证找出那盒质量不足的。
【点睛】本题主要考查找次品，关键是注意每次取药品的盒数。
26．3次
【分析】分成每6箱一组，用天平称，因有一箱质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3箱分成一组用天平称，再找出轻的一组，再任取2箱用天平称，若天平平衡，则没称的1箱是次品，若不平衡测轻的是次品，据此解答。
【详解】把12箱分成两组：6箱为1组，进行第一次称量，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
由此再把较轻的一端的6箱分成2组：3箱为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
由此再把较轻的一端的3箱分成3组：1箱为1组，取两箱称量，如果左右相等，那么说明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一箱；
答：至少称3次就能能保证找出这箱轻一些的脐橙，称量过程如下图所示：
【点睛】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。
27．5次
【分析】根据找次品的方法，将玻璃球不断分堆称重，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出超重的玻璃球。
【详解】第一次：将100个玻璃球分成3堆，前两堆各33个，后一堆34个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第二次：将含有超重球的34个球分成3堆，前两堆各11个，后一堆12个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第三次：将含有超重球的12个球分成3堆，每堆4个，任选两堆放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第四次：将含有超重球的4个球平均分成两堆，每堆2个，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第五次：将含有超重球的2个球放在天平两端，哪端较重哪端就是超重的球。
答：最少称5次，就一定能把这个超重的球找出来。
【点睛】本题考查了找次品，会利用天平找次品是解题的关键。
28．3次
【分析】将13袋桔子分组，要考虑最不利的情况，利用天平的平衡性进行称量，保证找到质量较轻的一袋。
【详解】（1）把13袋分成两组：6袋为1组，进行第一次称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，考虑最差情况，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（2）由此再把较轻的一端的6袋分成2组：3袋为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中；
（3）由此再把较轻的一端的3袋分成3组：1袋为1组，取两袋称量，如果左右相等，那么说明剩下的1袋就是次品，如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一袋；
答：至少称3次就能保证找出这袋桔子来，称量过程如下图所示：
【点睛】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。
29．3次；过程见解析
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】第一次：把12袋饼干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡；
第二次：把天平秤较低端的4袋分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端；
第三次：把在天平秤较低端的2袋分别放在天平秤两端，较低端的那袋即为较重的。
答：至少称3次才能保证找到这袋有奖品的饼干。
【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。
30．见详解
【分析】根据找次品的方法，结合题意，分析解题即可。
【详解】答：（1）第一次称量：先把其中4袋拿出来分成2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右两边平衡，那么说明剩下的那1袋是次品；如果左右不等，那么说明次品就在其中一边；
（2）第二次称量：把左边的2袋分别放在天平的左右两边称量，如果相等，那么次品在右边一组的2袋中，如果不等，那么说明这两袋中1袋是次品；
（3）第三次称量：把确定有次品的2袋盐，分别与其它3袋中的任意1袋继续称量，相等的是500克，不等的就是次品，由此也可以根据天平的平衡原理得出它的质量是大于500克或者是小于500克。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
31．3次
【分析】先把25袋橙子分成9个，9个，7个三份，第一次称，确定次品所在；再把次品所在的那一份，平均分成三份，第二次称，确定次品所在；第三次称，确定质量较轻的这袋橙子。
【详解】第一次：先把25袋橙子分成9个，9个，7个三份，把其中两份9个的分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，则较轻的橙子，在未取的7个中（再分成3个，3个，1个三份，按照下面方法操作即可），若天平秤不平衡：天平秤较高的一边，即是质量轻的橙子，在的一边，第二次：把较高端的9个橙子，平均分成三份，每份3个，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的橙子在未取的3个中，若天平秤不平衡；第三次：从较高的三个橙子，中任取1个，分别放在天平秤两端，较高的即为质量较轻的，若天平秤平衡，未取那个橙子即为较轻的。
答：如果用天平称至少称3次能保证找出这袋橙子来。
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的计算方法。
32．4次
【分析】注意盐水的质量比水的质量重。找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。
【详解】把29瓶分成10瓶、10瓶、9瓶；
第一次：两端各放10瓶，如果平衡次品就在9瓶中；如果不平衡，次品在下沉的那10瓶中；
第二次：①把9瓶平均分成3份，每份3瓶；称1次找出次品所在的3瓶，再称1次找出次品；共称3次；
②把次品所在的10瓶分成3、3、4，称1次找出次品所在的4瓶；再称1次找出次品所在的2瓶，再称1次找出次品，共称4次。
答：至少称4次能保证找出加盐的纯净水。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
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