【易错精编讲义】人教版数学四年级下册-第13讲 三角形的内角和 知识梳理讲义+易错练习

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 第13讲 三角形的内角和（讲义） （知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练） 1、三角形的内角和。三角形的内角和是180°。2、 三角形内角和的应用。在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”求第三个角的度数。3、四边形的内角和。四边形的内角和是360°。4、多边形的内角和公式。多边形的内角和=（边数-2）×180°。  1、任意一个三角形的内角和都是180°。2、不管把四边形分成几个三角形，四边形的内角和总是360°。  【易错一】能组成三角形的三个角的是（       ）。A．80°、20°、70° B．100°、20°、80° C．25°、65°、90°【分析】根据“三角形的内角和是180°”，分别求出各个选项中三个角的和，再找出判断选择即可。【详解】A．80°＋20＋70°＝170°，80°、20°、70°，不能组成一个三角形；B．100°＋20°＋80°＝200°，100°、65°、90°，不能组成一个三角形；C．25°＋65°＋90°＝180°，25°、65°、90°，能组成一个三角形。故答案为：C【点睛】熟记：三角形的内角和是180°，是解答此题的关键。【易错二】如下图，一块三角形纸片被撕去了一个角，原来这块纸片的形状是(        )三角形。【分析】根据三角形内角和为180°，和图中的两个内角度数，即可求出撕去角的度数，再根据三角形的分类即可作出判断。【详解】因为三角形内角和为180°所以撕去的角的度数＝180°－46°－67°＝134°－67°＝67°又因为这三个角都是锐角，且有两个角相等，所以原来这块纸片的形状是锐角三角形，也是等腰三角形。【点睛】此题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°；同时考查了三角形的按角分类，关键明确：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②三个角都为锐角的三角形是锐角三角形；③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。【易错三】已知三角形的内角和是180°。求四边形ABCD的内角和多少度？思考过程：连接AD，AD将四边形ABCD分成两个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是180°×2＝360°。已知一个三角形的内角和是180°。求：五边形的内角和是多少度？（请仿照方法，画图并将你的思考过程写下来。）思考过程：【分析】根据求四边形内角的度数，关键是从一个顶点出发将四边形分成多个三角形，三角形的内角和是180°，有几个三角形就有几个180°。【详解】思考过程：连接AC，AD，将五边形分成三个三角形，因为一个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是180°×3＝540°。答：五边形的内角和是540度。【点睛】本题考查的是多边形内角和的探究，关键是将多边形转化为三角形来进行计算。【易错四】爸爸为小红制作一个等腰三角形的风筝。这个风筝的一个顶角是40°，它的底角是多少度？【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形内角度数和是180度，然后用180度减去底角，再除以2就是底角的度数，据此解答。【详解】答：它的底角是70度。【点睛】熟练掌握等腰三角形的特征并灵活运用是解答本题的关键。【易错五】小明家有一块三角形的菜地，菜地的最大角是120°，是最小角的4倍。（1）这块三角形菜地其它角的度数是多少？（2）如果从小明家到菜地，有如图三条路线，你会选择哪一条？为什么？【分析】（1）先根据“菜地的最大角是120°，是最小角的4倍”，求出最小角的度数，再根据三角形内角和是180°，即可求出第三个角的度数。（2）观察图形可知，第②条路线最短，因为两点间线段最短。【详解】（1）120°÷4＝30°180°－120°－30°＝30°答：这块三角形菜地其它角的度数都是30°。（2）根据分析可知，如果从小明家到菜地，有如图三条路线，我会选择路线②，因为两点间线段最短，所以第②路线最短。【点睛】正确理解三角形内角和是180°、两点间线段最短，是解答此题的关键。  一、选择题1．把两个完全一样的三角形拼成一个四边形，这个四边形内角和是（    ）。A．360° B．180° C．90°2．如图，一张三角形纸被撕掉了一个角，原来的三角形是（    ）。A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形3．下面说法错误的是（    ）。A．梯形四个内角的和是360°B．平行线延长也不能相交C．长方形相邻的两条边互相平行4．下图是一个四边形，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于（    ）。A．180° B．540° C．360° D．720°5．下面描述的这些三角形，是钝角三角形的是（    ）。A．三条边都一样长。 B．其中两个角的度数之和是75°。C．三个角中最小的是50°。 D．其中两个角的度数之和等于第三个角的度数。6．一个三角形中至少有几个角是锐角（    ）。A．1个 B．2个 C．3个7．等腰三角形中有一个角是50度，另外两个内角是（    ）。A．都是65度 B．50度和80度 C． 50度和80度或都是65度8．一个等腰三角形的一个底角是65度，其顶角是（    ）度。A．70 B．115 C．50二、填空题9．△ABC中∠ACB是最大的角，沿其所对的边上的高对折后得到两个大小不同的三角形。这两个三角形中较小的两个角的和等于第三个角。那么△ABC是(        )三角形。10．一个等腰三角形，它的一个底角是70°，它的顶角是(        )°，这个三角形还是个(        )三角形。11．一个等腰三角形的顶角是50°，它的另一个底角是(        )°。12．在一个三角形中，∠1＝41°，∠2＝29°，∠3＝(      )。这是一个(      )三角形。13．一个直角三角形，它的一个底角是45度，它的顶角是(        )度，按边分类，这个三角形还是一个(        )三角形。14．一个等腰三角形的一个底角是70度，它的顶角是(        )度，一个直角三角形的一个锐角是30度，另一个锐角是(        )度。15．如下图，一张三角形纸片被撕去了一个角。这个角是(          )°，按角分，原来这张纸片的形状是(          )三角形。16．如图，把两张长方形纸随意交叉摆放，重叠部分的图形是(        )，这个图形中的4个角的和是(        )。三、判断题17．锐角三角形的内角和小于钝角三角形的内角和。(        )18．一个三角形中，有一个角是65°另外的两个角可能是95°和20°。(        )19．任意一个三角形中，最大的一个内角一定比60°大。(        )20．如果一个三角形有两个内角是锐角，那么它一定是锐角三角形。(          )四、作图题21．画出下面三角形ABC的一条高，并在图上标出∠B的度数。五、解答题22．等腰三角形的一个底角是75度，它的顶角是多少度？   23．李叔叔给小芳买了一个等腰三角形的风筝。它的一个底角是72度，这个风筝的顶角是多少度？   24．你能不能根据三角形的内角和推算五边形、六边形的内角和，画一画，并写一写你的思路吧！   25．一个等腰三角形，它的一个底角是70度。它的顶角是多少度？   26．一个多边形的内角和是900°，你知道它是几边形吗？请简要写出你的思路。   27．胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔，塔的其中一个侧面是一个等腰三角形，顶角约76°。这个侧面的一个底角约是多少度？   28．小棒AC长14厘米，小明第一次将小棒从B点剪开，得到两根小棒AB、BC，量得AB长6厘米。接着小明把其中一根小棒剪成两根，现在一共是3根小棒，可围成一个等腰三角形。（1）请你在图中用“点D”标出小明第二次剪的位置。（2）小明用3根小棒围成等腰三角形后，量得等腰三角形的顶角是98°，求这个三角形中一个底角的度数。          参考答案1．A【分析】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，据此解答。【详解】这个四边形内角和是360°。故答案为：A【点睛】本题考查四边形的内角和，任何一个四边形，无论形状和大小，内角和都是360°。2．A【分析】根据三角形的内角和是，先求出第三个角，再判断三角形的形状即可。【详解】＝＝这个三角形三个角都是锐角，所以这是一个锐角三角形。故答案为：A【点睛】熟练掌握三角形的内角和是解答本题的关键。3．C【分析】先对每个选项中的说法进行分析并判断，然后选择错误的一项即可。A．多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算。B．同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，依此判断。C．长方形对边相等，有4个直角；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，依此判断。【详解】A．梯形有4条边，（4－2）×180°＝2×180°＝360°，即梯形四个内角的和是360°，即题干说法正确。B．平行线延长也不能相交，即题干说法正确。C．长方形相邻的两条边互相垂直，即题干说法错误。故答案为：C【点睛】此题考查了多边形的内角和，平行与垂直的特点，以及长方形的特点，应逐项进行判断。4．C【分析】把该四边形作出对角线，可将四边形分成2个三角形，所以该四边形的内角和等于三角形内角和的2倍，而三角形内角和为180°，据此解答。【详解】根据分析，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°×2＝360°故答案为：C【点睛】本题考查多边形的内角和，可把多边形分为若干个三角形，结合三角形内角和为180°进行计算。5．B【分析】A．三条边都相等，三个角都相等的三角形是等边三角形，三角形的内角和为180°；B．三角形的内角和为180°，因此用180°减去另外两个角的度数之和，即可得到第三个角的度数，然后再根据角的分类标准判断即可。C．有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三角形的内角和为180°，因此用180°减50°，从而计算出另外两个角的度数之和，然后再判断。D．三角形的内角和为180°，因此可将第三个角的度数看成1份，则另外两个角的度数之和也为1份，依此计算出第三个角的度数再判断。【详解】A．三条边都一样长的三角形，是等边三角形，180°÷3＝60°，等边三角形也是锐角三角形。B．180°－75°＝105°，即其中两个角的度数之和是75°的三角形一定是钝角三角形。C．180°－50°＝130°，130°－50°＝80°；80°＜90°，所以最大角是80°即三个角中最小的是50°的三角形，是锐角三角形。D．180°÷（1＋1）＝180°÷2＝90°，即其中两个角的度数之和等于第三个角的度数的三角形，是直角三角形。故答案为：B【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。6．B【分析】由三角形内角和为180度可知，若一个三角形中只有一个锐角，另外两个角的和一定大于或等于180度，就不符合三角形内角和定理，从而可以判断出一个三角形中至少有2个锐角；据此解答。【详解】假设一个三角形中至少有1个锐角，则另外两个内角的度数和就会等于或大于180度，那么三角形的内角和就大于180度，这与三角形的内角和是180度是相违背的，故假设不成立，所以一个三角形中至少有2个角是锐角。故答案为：B【点睛】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。7．C【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°，依此计算并选择即可。【详解】当50°为顶角时，则底角为：180°－50°＝130°130°÷2＝65°，此时两个底角都是65°。当50°为底角时，则另一个底角也是50°，此时顶角为：50°＋50°＝100°180°－100°＝80°，即顶角为80°。因此等腰三角形中有一个角是50度，另外两个内角是50度和80度或都是65度。故答案为：C【点睛】此题考查的是等腰三角形的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。8．C【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，由此可以求出另一个角的度数，从而做出正确选择。【详解】180°－65°－65°＝115°－65°＝50°即顶角是50°。故答案为：C【点睛】熟练掌握三角形的内角和知识和等腰三角形的特点，是解答此题的关键。9．钝角或直角【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形；三角形的内角和为180°，沿其所对的边上的高对折后得到两个大小不同的三角形，则两个小三角形中都有一个角是直角，依此画图并解答即可。【详解】如图：180°－90°＝90°；90°＝90°；由直角三角形的特征可知，在直角三角形中，两个锐角的度数和等于直角，说明这两个三角形都是直角三角形，所以△ABC是钝角三角形或直角三角形。【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。10．     40     锐角【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去2个70°，即可计算出顶角的度数，然后再根据三角形的分类标准分类即可。【详解】70°＋70°＝140°180°－140°＝40°，即它的顶角是40°。90°＞70°＞40°，即这个三角形还是个锐角三角形。【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，等腰三角形的特点，以及熟记三角形的内角和度数。11．65【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2，即可得到它的另一个底角的度数，依此计算。【详解】180°－50°＝130°130°÷2＝65°即它的另一个底角是65°。【点睛】熟记三角形的内角和度数以及等腰三角形的特点，是解答此题的关键。12．     110°##110度     钝角【分析】三角形的内角和是180°，则∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＝180°－∠1－∠2。再判断这个三角形属于什么三角形。【详解】∠3＝180°－41°－29°＝110°∠3是钝角，∠1和∠2是锐角，则这是一个钝角三角形。【点睛】解决本题的关键是明确三角形的内角和为180°。有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。13．     90     等腰【分析】直角三角形中有一个角是90°，三角形的内角和是180°，因此用180°减去另外两个角的度数之和，然后再根据三角形的分类标准分类即可。【详解】90°＋45°＝135°180°－135°＝45°45°＝45°即它的顶角是90度，按边分类，这个三角形还是一个等腰三角形。【点睛】此题考查的是等腰三角形、直角三角形的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。14．     40     60【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去两个底角的度数之和，即可得到顶角的度数；直角三角形中有一个角是90°，因此用180°减去90°后，再减去30°即可，依此计算。【详解】70°＋70°＝140°180°－140°＝40°180°－90°＝90°90°－30°＝60°即一个等腰三角形的一个底角是70度，它的顶角是40度，一个直角三角形的一个锐角是30度，另一个锐角是60度。【点睛】此题考查的是等腰三角形和直角三角形的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。15．     76     锐角【分析】三角形的内角和为180°，因此用180°减去另外两个角的度数之和，然后再根据三角形的分类标准分类即可。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，依此填空。【详解】52°＋52°＝104°180°－104°＝76°90°＞76°＞52°因此这个角是76°，按角分，原来这张纸片的形状是锐角三角形。【点睛】熟记三角形的内角和度数与三角形分类的标准是解答此题的关键。16．     平行四边形     360°##360度【分析】长方形的两组对边分别互相平行，两组对边分别相等，四个角都是直角；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；依此填空。多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算。【详解】重叠部分的图形是平行四边形。（4－2）×180°＝2×180°＝360°即这个图形中的4个角的和是360°。【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握长方形和平行四边形的特点，以及四边形的内角和的计算。17．×【详解】锐角三角形的内角和等于钝角三角形的内角和，且都是180°。故答案为：×18．√【分析】三角形的内角和是180°，据此把这三个角的度数相加，即可判断。【详解】65°＋95°＋20°＝160°＋20°＝180°所以，一个三角形中，有一个角是65°另外的两个角可能是95°和20°，原题说法正确。故答案为：√【点睛】熟记：三角形的内角和是180°，是解答此题的关键。19．×【分析】举个等边三角形的反例即可证明。【详解】在等边三角形中，三个内角都是60°，即最大的内角是60°，所以任意一个三角形中，最大的一个内角一定大于或等于60°，故原题干说法错误。故答案为：×【点睛】此题主要考查了三角形的内角和是180°的灵活运用，记住三角形中最大的一个角一定不小于60°，即等于或大于60°。20．×【分析】因为三角形的内角和是180°，三角形有两个内角是锐角，则另外一个内角可能为钝角、直角，也可能是锐角，所以可能为钝角三角形、直角三角形，也有可能是锐角三角形；进而判断即可。【详解】假设这两个锐角分别是65°和25°，那么第三个内角为：180°－65°－25°＝90°，此时是一个直角三角形；假设这两个锐角分别是75°和65°，那么第三个内角为：180°－75°－65°＝40°，此时是一个锐角三角形；假设这两个锐角分别是30°和20°，那么第三个内角为：180°－30°－20°＝130°，此时是一个钝角三角形；因此原题的说法错误，因为另一个内角可能是钝角、直角，也可能是锐角，所以这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形，也可能是锐角三角形。故答案为：×【点睛】解答此题用到的知识点：（1）三角形的内角和是180°；（2）三角形的分类。21．见详解【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；这条对边叫做三角形的底，依此画图；根据题意可知，125°＋∠ACB＝180°，因此∠ACB＝180°－125°；∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，因此∠B＝180°－∠ACB－∠A，依此计算。【详解】∠ACB＝180°－125°＝55°∠B＝180°－55°－70°＝125°－70°＝55°因此画图下图所示：【点睛】此题考查的是三角形的高的画法，平角的特点，以及三角形的内角和，应熟练掌握。22．30度【分析】根据等腰三角形的特征，两个底角相等，用75°×2即可计算出两个底角的度数，用180°减去两个底角的度数即可，据此解决。【详解】180°－75°×2＝180°－150°＝30°答：它的顶角是30度。【点睛】解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的特征。23．36度【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形；等腰三角形的两个底角相等。据此可知，用180度减去2个72度，即可求出这个风筝的顶角是多少度。【详解】180－72×2＝180－144＝36（度）答：这个风筝的顶角是36度。【点睛】熟练掌握等腰三角形的特征及三角形内角和是180度，是解答此题的关键。24．画图见详解；五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°；（思路见详解）【分析】先分别将五边形、六边形分成几个三角形（从多边形的一个顶点连接另一个顶点，使之构成1个三角形），1个三角形的内角和是180°，这个多边形能被分成几个三角形，则这个多边形的内角和就等于几个三角形的内角和，依此解答。【详解】画图如下：思路：我将五边形分成了3个三角形，1个三角形的内角和是180°，则五边形的内角和等于3个180°，180°×3＝540°，即五边形的内角和是540°。将六边形分成了4个三角形，则六边形的内角和等于4个180°，180°×4＝720°，即六边形的内角和是720°。【点睛】此题考查的是多边形的内角和，熟记三角形的内角和度数是解答此题的关键。25．40度【分析】在等腰三角形中，两个底角是相等的，根据三角形内角和是180度，用180度减去2个70度就是等腰三角形的顶角的度数。【详解】180－70×2＝180－140＝40（度）答：它的顶角是40度。【点睛】本题考查了三角形的内角和是180度和等腰三角形两个底角是相等的，运用内角和求角。26．七边形；思路见详解【分析】计算多边形的内角和度数时，可将多边形分成几个三角形，由于一个三角形的内角和是180°，则这个多边形能被分成几个三角形，它的内角和就是几个180°，一个多边形可被分成（它的边数－2）个三角形，即多边形的内角和度数＝（多边形的边数－2）×180°，因此边数＝内角和度数÷180＋2，依此解答。【详解】思路：先计算出900°里面含180°的个数，900°÷180°＝5（个），然后用三角形的个数加2就是这个多边形的边数，即5＋2＝7，因此它是一个七边形。答：它是一个七边形。【点睛】熟练掌握多边形内角和度数的计算方法是解答此题的关键。27．52°【分析】等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。【详解】（180°－76°）÷2＝104°÷2＝52°答：这个侧面的一个底角约是52°。【点睛】本题考查等腰三角形的特征和三角形的内角和定理。等腰三角形中，顶角＋2×底角＝180°。28．（1）见详解；（2）41°【分析】（1）根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等腰三角形是两个腰长相等，两个底角相等。由此解答即可。（2）因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，所以底角的度数＝（180°－顶角度数）÷2；代数计算即可。【详解】（1）如图：因为AB长6cm，可以把BC分成6厘米和2厘米或4厘米和4厘米。（2）（180°－98°）÷2＝82°÷2＝41°答：底角是41°。【点睛】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征及等腰三角形的特征解决问题。