数学八年级下册19.2.2 一次函数精品达标测试

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2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
19.2.2 一次函数

1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．

知识点01：一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
知识要点：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
知识点02：一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：

3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
知识点03：待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
知识要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
知识点04：分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
知识要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.




【典例分析01】（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）关于一次函数，下列说法中正确的是（    ）
A．该函数的图像一定不经过第一象限
B．当时，若x的取值增加2，则y的值也增加2
C．该函数的图像向下平移3个单位后一定经过坐标原点
D．若该函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积是，则
【答案】C
【思路点拨】根据一次函数的图像和性质，一次函数图像的平移，与坐标轴的交点行一一分析．
【规范解答】解：一次函数，当时，，
∴图像经过，
∴图像一定经过第一象限，故A错误，不合题意；
当时，，
若x的取值增加2，则，即y值增加4，故B错误，不合题意；
该函数的图像向下平移3个单位后，得，为正比例函数，
则必经过原点，故C正确，符合题意；
在中，令，则，令，则，
∴函数图像与坐标轴的交点为，，
∴，解得：或，故D错误，不合题意；
故选：C．
【考点评析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数图像的平移，与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握这些知识点，对选项作出判断．
【变式训练01】（2022秋·广西崇左·八年级统考阶段练习）直线与轴、轴分别交于、两点，为原点，则的面积为____________．
【答案】4
【思路点拨】分别求出A、B的坐标即可得到答案．
【规范解答】解：当时，，即点B的坐标为，
∴；
当，，则，即点A的坐标为，
∴，
∴，
故答案为：4．
【考点评析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的围成的图形面积，正确求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
【变式训练02】（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为________．

【答案】3或
【思路点拨】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．
【规范解答】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当时，即，
解得：．
当时，，
∴．
∴．
∴．
∵，点C在射线上，
∴，即．
∵，
∴．
若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．
如图1所示，当时，，

∴；
如图2所示，当时，，

∴．
综上所述，的长为3或．
故答案为：3或．
【考点评析】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式训练03】（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知点N的坐标为，M点在坐标轴上，点M绕着点N逆时针旋转90°后正好落在直线上，则M点坐标为_______．

【答案】或
【思路点拨】根据题意分点M在x轴上和点M在y轴上两种情况讨论，然后设出点M的坐标，表示出点M旋转后的坐标，然后代入求解即可．
【规范解答】当点M在x轴上时，设点M的坐标为，
∵点N的坐标为，
∴点M绕着点N逆时针旋转90°后的坐标为
∵点M绕着点N逆时针旋转90°后正好落在直线上，
∴，解得，
∴点M的坐标为，
当点M在y轴上时，设点M的坐标为，
如图所示，设点M绕着点N逆时针旋转90°后得到点B，过点B作轴交x轴于点A，

∵，
∴
∴在和中

∴
∴，
∴
∴点B的坐标为
∵点M绕着点N逆时针旋转90°后正好落在直线上，
∴，解得，
∴点M的坐标为．
综上所述，点M点坐标为或．
故答案为：或．
【考点评析】此题考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

【典例分析02】（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为（  ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】过点作轴于点，根据，利用勾股定理，可求出点的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点在平移的直线，即可．
【规范解答】过点作轴于点，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在，，
∴，
点；
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴；
设向右平移个单位长度得到，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴向右平移个单位长度得到，
∴点．
故选：A．

【考点评析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握函数平移的性质，勾股定理的运用．
【变式训练04】（2022秋·贵州·八年级统考期中）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，且，点B的坐标为，过点A的直线与y轴交于点，将直线AC向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为___________．

【答案】1
【思路点拨】根据，点B的坐标为，，得出=2，，再由直线的平移得出平移后的直线为且经过点，代入确定，，即可求解．
【规范解答】解：∵，点B的坐标为，，
∴=2，，
则直线向上平移2个单位长度后的新直线经过原点，
，
且经过点，

，，

故答案为：1．
【考点评析】本题考查坐标与图形与一次函数的平移问题，根据平移条件求出新直线的解析式是关键．
【变式训练05】（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积；
(3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)4

【思路点拨】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）分别令，，求出点A，B的坐标，即可求解；
（3）根据一次函数的图象平移的性质可得平移后的解析式为，再把代入，即可求解．
【规范解答】（1）解：设一次函数表达式为，
将代入，得
，    解得 ，  
所以一次函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，
∴，
当时，，
∴，
所以的面积为；
（3）解：根据题意得∶ 将一次函数的图象向上平移个单位后为，
∵平移后经过，
∴，
解得∶．
故答案为∶4
【考点评析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式训练06】（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）（1）先填表（图①），再根据图①在图②坐标系中画出一次函数的图象；
（2）画出把一次函数的图象向左平移3个单位长度后的函数图象，请求平移后的函数的表达式．
x
0



0


【答案】（1）表格与图象见详解；（2）平移后的图象见详解；平移后函数表达式为：
【思路点拨】（1）当时，，当时，，由此画出函数图象即可；
（2）先画出平移的函数图象，再根据函数图象上的点求出函数的解析式即可．
【规范解答】（1）解：当时，，
当时，，
故补全表格为：
x
0
2

4
0

根据表格画出图象为：

（2）解：函数的图象向左平移3个单位长度后的函数图象如下所示：
，
有图象可知平移后函数图象经过点，代入函数解析式中得：
，解得，
故平移后函数表达式为：．
【考点评析】本题考查一次函数图象，以及一次函数的平移，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．


【典例分析03】（2023秋·山东济南·八年级统考期末）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线：与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，若对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为（    ）

A．1.5 B．1.75 C．1.875 D．2
【答案】A
【思路点拨】分别求出，，，根据规律得出，则，所以当时，S的值最小，求出S的最小值即可．
【规范解答】把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴
∴
把代入得，
∴
把代入得，
∴
∴
以此类推，得，，，，……，，
，
∵若对任意大于1的整数n恒成立，
∴时，S的值最小，
∵
∴S的最小值为
故选：A
【考点评析】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律．
【变式训练07】（2023秋·陕西榆林·八年级校考期末）正方形按如图的方式放置点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】根据直线解析式先求出，进而证明都是等腰直角三角形，则可得的纵坐标是1，再求出的纵坐标是2，的纵坐标是，得出规律，即可得出结果．
【规范解答】解：设直线与x轴的交点为D，
∵直线与x轴，y轴的交点坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵正方形，
∴都是等腰直角三角形，
∴ …，
∴点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
…
点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，
∴
故选：A．

【考点评析】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【变式训练08】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论．
【规范解答】点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，
∴的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
故选：D．
【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的找出规律是解题的关键．
【变式训练09】（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为_______

【答案】
【思路点拨】先求出，可得点的纵坐标为1，再求出点，即点的横坐标为，同理点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，……，由此发现，再由，即可求解．
【规范解答】解：∵点，点在直线a：上，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标为1，
∵点在直线b：上，
∴，解得：，
∴点，即点的横坐标为，
同理点的横坐标为，
点的横坐标为
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
……，
∴，
∵，
∵点的横坐标为，
∴点的横坐标为．
故答案为：
【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．


【典例分析04】（2022春·吉林长春·八年级校考阶段练习）等腰直角三角形的腰，如图所示，建立平面直角坐标系．点P、Q分别是线段、上的一点，点P的坐标是，．记的面积为S，解答下列问题：

(1)写出S与y之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)写出y与x之间的函数关系．
(3)写出S与x之间的函数关系式，并求出当时，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)y与x的函数关系式为
(3)，点P的坐标为（1，5）

【思路点拨】（1）过点P作轴于点C，根据点，利用三角形面积公式，求出S与y之间的函数关系式即可；
（2）过点P作轴于点C，根据点，得出，，证明，利用，即可得出，即；
（3）先用x表示出S，然后再根据，列出关于x的方程，解方程即可得出结果．
【规范解答】（1）解：过点P作轴于点C，如图所示：

∵点，
∴，，
∵，
∴，
即；
（2）解：过点P作轴于点C，如图：

∵点，
∴，，，
∵是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴，
∵即，
∴y与x的函数关系式为；
（3）解：∵，
∴，
即，
∴当时，即，
解得：，此时，
∴此时点P的坐标为．
【考点评析】本题主要考查了求函数关系式，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握等腰直角三角形的性质．
【变式训练10】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

(1)请在图中作出关于y轴对称的，点A的对应点是，点B、C的对应点分别是、；
(2)写出点的坐标，并求出的面积；
(3)点P是y轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)或

【思路点拨】(1)利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于y轴的对称点即可；
(2)利用(1)所画图形写出、、三点的坐标，然后用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得的面积；
(3)分两种情况，通过画图及一次函数与y轴的交点，即可解答．
【规范解答】（1）解：如图：

（2）解：由图可知：，，，

（3）解：与关于y轴对称，
，
如图：当点P在x轴上方时，过点C作交y轴于点P，

由图可知：，四边形是平行四边形，
，此时点P的坐标为，
如图：当点P在x轴下方时，过点B作交y轴于点，

设直线的解析式为，
把点A、C的坐标分别代入解析式，得

解得
故直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
把点B的坐标代入解析式，得，
解得，
故直线的解析式为，
令，则，
故的坐标为，
综上，点P的坐标为或．
【考点评析】本题考查了画轴对称图形，坐标变换轴对称，求不规则图形面积，求一次函数的解析式，画出图形，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
【变式训练11】（2023春·八年级课时练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，．点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），连接．设点F的横坐标为x．

(1)求一次函数的解析式；
(2)求的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当的面积．
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第四象限内是否存在一点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点P的坐标为或．

【思路点拨】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式求出k，b的值即可；
（2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
②根据全等三角形的判定和性质求解．
【规范解答】（1）解：将点，代入一次函数得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点F是线段上的一个动点（不与A，B重合），
设点F的横坐标为x，过点F作轴，

∴F点坐标为，
∴的面积：
，
∴的面积S与x之间的函数关系式为；
（3）解：①．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
∴F点坐标为，
∴，
∵，
∴；
②存在，点P的坐标为或．
过点F作轴交x轴于点E，过点作于点N，过点作轴于点M，分两种情况：

情况一：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
情况二：∵是等腰直角三角形，
同理，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
【考点评析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
【变式训练12】（2023秋·江西九江·八年级统考期末）甲、乙两车间同时开始加工一批零件，从开始加工到加工完这批零件，甲车间工作了8个小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批零件的加工任务为止．设甲车间加工的时间为x（时），甲、乙两车间各自加工零件的数量为y（个），y与x之间的函数图象如图所示．

(1)甲车间每小时加工零件的个数为________个；乙车间每小时加工零件个数为________个；
(2)乙车间维护设备用了________时；甲、乙两车间加工零件的总个数为________个；
(3)乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式为________；
(4)在加工这批零件的过程中，当甲、乙两车间共同加工完860个零件时，求甲车间所用的时间．
【答案】(1)个，个
(2)1小时，个
(3)
(4)7小时

【思路点拨】（1）由函数图可知甲车间8小时加工了个，乙车间2小时加工了个，据此即可作答；
（2）维修期间时间变化，加工的零件个数不变，即可知从2时－3时期间，零件个数不增加，据此可得检修时间，利用总时间减去检修时间，再乘以加工速度即可求出乙车间加工的个数，据此即可求解；
（3）由图可知，3时的时候加工了个，8时的时候加工的个数（2）中已求，据此利用待定系数法即可求解；
（4）先求出甲车间的函数关系式，根据甲乙两车间加工的时间已知，根据题意列出方程即可求解．
【规范解答】（1）解：由图可知：甲车间8小时加工了个，乙车间2小时加工了个，
每小时加工的数量为：甲车间：（个），乙车间：（个），
故答案为：个，个；
（2）解：维修期间时间变化，加工的零件个数不变，
由图可知：从2时-3时期间，乙车间零件个数不增加，
即乙车间此时在检修，
即乙车间检修时间为：（时），
∴乙车间加工的时间为：（时），
∴乙车间加工的总数为：（个），
即两个车间加工的总数为：（个），
故答案为：，；
（3）解：设乙车间此时数量y与x之间的函数关系式为：，
∵3时的时候加工了个，8时的时候加工个，
即有：，
解得：，
乙车间此时数量y与x之间的函数关系式为：；
（4）解：∵甲车间每小时加工的数量为：（个），
∴甲车间此时数量y与x之间的函数关系式为：，
∵3时的时候，甲乙两车间加工的总数为：（个），
∴甲、乙两车间共同加工完860个零件时，时间在3时之后，
∴，
解得：，
即甲车间加工的时间为小时．
【考点评析】本题主要考查了函数图形信息的读取，利用待定系数法求解一次函数解析式，解一元一次方程等知识，正确从函数图象中获取信息是解答本题的关键．

一、选择题
1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）下表中列出的是一个一次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

…



…

…
0


…

下列各选项中，正确的是（    ）A．y随x的增大而增大
B．该函数的图像不经过第四象限
C．该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积为
D．该函数图像关于x轴对称的函数的表达式为
【答案】D
【思路点拨】设一次函数解析式为，将表中两点代入求出解析式，再根据一次函数性质逐个判断即可得到答案．
【规范解答】解：设一次函数解析式为，
将点 ，代入可得，
，
解得：，
∴，
∴该函数图像关于x轴对称的函数的表达式为，
故D正确，符合题意，
由解析式可得y随x的增大而减小，图像不经过第一象限，故A、B错误，不符合题意；
当时，，
当时，，
∴故C错误，不符合题意，
故选D．
【考点评析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是根据表找点利用待定系数法解出函数解析式．
2．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）直线与在同一平面直角坐标系内，其位置可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据一次函数的性质分，两种情形分别分析即可．
【规范解答】解：因为时，的直线过第一、三、四象限，可以排除C、D选项；
当时，经过第一，二，四象限，的图象经过第一，三，四象限，只有选项B正确，
故选：B．
【考点评析】本题考查了一次函数的图象四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，0时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
3．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（　　）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
【答案】A
【思路点拨】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可．
【规范解答】解：一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
A、x满足，则当时，函数y有最大值，选项错误，符合题意；
B、当时，，当时，，
∴与坐标轴的两个交点分别为，，
∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，选项正确，不符合题意；
C、与，k都为，图象相互平行，选项正确，不符合题意；
D、当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，选项正确，不符合题意；
故选：A．
【考点评析】题目主要考查确定一次函数解析式的方法、与坐标轴的交点问题，围成的三角形面积等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．
4．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是(    )
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】设直线l的解析式为，根据直线l过点，，和，得出k的表达式，再根据经过二、三、四象限判断出k的符号，由此即可得出结论．
【规范解答】解：如图，设直线l的解析式为，

∵直线l经过二、三、四象限，
∴随x的增大而减小，
A选项，∵随x的增大而减小，∴,故该选项不符合题意；
B选项，∵，y随x的增大而减小，∴，故该选项不符合题意；
C选项，∵，y随x的增大而减小，∴，故该选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形，利用数形结合找出m，n的取值范围是解题的关键．
5．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点、点，将直线绕点顺时针旋转与轴交于点，则的面积为（    ）

A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【思路点拨】如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，根据解析式求出，，由勾股定理求得，结合旋转可知，设，由勾股定理，代入点的坐标有，解得，即，
结合解得不合题意舍去，所以，设过，直线解析式为：代入法求出直线方程，从而得到利用三角形面积公式求解即可．
【规范解答】解：如图，过A作交于E，过A、E分别作y轴、x轴的平行线交于F，交y轴于D，
直线与轴、轴交于点、点，
则，，
，
顺时针旋转，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
解得，
，
，
即，
解得：或，
当时（舍去），
当时，
，
设过，直线解析式为：
，
则有：，
解得，
，
与x轴交点为：，
，
，
故选：A．

【考点评析】本题考查了旋转、勾股定理、等腰直角三角形的性质、一次函数解析式与交点坐标以及三角形面积公式；解题的关键勾股定理求边长，用代入法求直线解析式．

二、填空题(共0分)
6．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）规定：是一次函数（a，b为实数，且）的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点所在的象限是第_________象限．
【答案】二
【思路点拨】根据“特征数”的定义得到，解得或，再根据y随x的增大而减小得到，进一步得到点的坐标，即可判断点所在的象限．
【规范解答】解：∵“特征数”为的一次函数是正比例函数，
∴，
解得或，
∵y随x的增大而减小，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，，
∴即点在第二象限．
故答案为：二
【考点评析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）已知正比例函数的图象经过点，那么正比例函数解析式是______．
【答案】
【思路点拨】把点代入函数解析式，即可求解．
【规范解答】解：把点代入函数解析式，得
，
解得，
故正比例函数解析式是，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握和运用求解析式的方法是解决本题的关键．
8．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校联考期末）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为_____．

【答案】或或或
【思路点拨】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【规范解答】解：过作于F，如图：

∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图：

∵，；
∴直线为，
令得，
∴，
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或；
当P在y轴上时，如图：

∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或，
综上所述，P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【考点评析】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．
9．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知直线与直线y＝kx＋6相交于点M，M的横坐标为4，分别交y轴于点A、B，当点P为直线上的一个动点时，将AP绕点A顺时针旋转90°得到AQ，连接．则的最小值为 _________ ．

【答案】
【思路点拨】由交点M求出直线l2的解析式，得到点B，A的坐标，设P（xP，-xP+6），过P作PC⊥y轴于C，过Q作QD⊥y轴于D，证明△PCA≌△ADQ(AAS)，得到OD，DQ的长度，利用勾股定理求出OQ求出最小值．
【规范解答】解：∵M的横坐标为4，且M为的交点，
∴当x=4时，y1=y2，则1+3=4k+6，
解得k=-，
∴l2的解析式为y=-x+6，
当x=0时，yB=6，∴B（0，6），
当x=0时，yA=3，∴A（0，3），
设P（xP，-xP+6），
过P作PC⊥y轴于C，过Q作QD⊥y轴于D，
则AC=，，
∵∠CAP+∠DAQ=，∠CAP+∠APC=，
∴∠DAQ=∠APC，
∵∠PCA=∠ADQ，AP=AQ，
∴△PCA≌△ADQ(AAS)，
∴DA=，DQ= AC=，
∴，
∴，
∴当时，OQ有最小值为，即为，
故答案为：．

【考点评析】此题考查了一次函数交点问题，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题的关键．
10．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，点C的坐标是(2，2)，A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y=kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为_________．

【答案】3或1
【思路点拨】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．
【规范解答】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，

∵AF平分∠DFE，
∴DF=AG=2   
在RT△ADF和RT△AGF中，

∴RT△ADF≌RT△AGF   
∴DF=FG   
∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE=1   
∴AE=    
∴    
∴   在RT△FCE中，EF2=FC2+CE2，即(DF+1)2=(2-DF)2+1，
解得，
∴点，
把点F的坐标代入y=kx得：2=，解得k=3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F(2,2)，
把点F的坐标代入y=kx得：2=2k，解得k=1．
故答案为：1或3．
【考点评析】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．
11．（2021春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推，按照图中反映的规律，第个正方形的边长是_______．

【答案】
【思路点拨】通过计算可得第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，……，通过探究规律，利用规律解决问题即可．
【规范解答】解：由题意，，，
，
第一个正方形的边长为2，
，
，，
，
第二个正方形的边长为6，
，
，，即：， ，
，
第三个正方形的边长为18，
，，即：， ，

，
可得，，，，
第2020个正方形的边长为．
故答案为： ．
【考点评析】本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
12．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），点C是x轴上的一个动点，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP．则DP长度的最小值是___．

【答案】
【思路点拨】过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，利用SAS证得△BOC△BMD，再证明M、D、A三点共线，推出四边形AMBO是正方形，当且仅当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，利用勾股定理即可求解．
【规范解答】解：过点B作BM⊥轴于点B，使BM=OB，连接DM，AD，

∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令，则；令，则；
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，
∴OA=OB=BM=2，
∵BM⊥轴，
∴∠OBM=90°，
∴点M的坐标为(2，2)，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠OBM=90°，
∴∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD，
∴∠CBO=∠DBM，
在△BOC和△BMD，
，
∴△BOC△BMD(SAS)，
∴∠BOC=∠BMD=90°，
∴BM⊥DM，
∴DM∥OB，
∵M、D、A三点的横坐标相同，都为2，
∴M、D、A三点共线，
∴四边形AMBO是正方形，
∴∠BAM=45°，
∵AB=，
点P是线段AB的三等分点（AP＞BP），
∴AP=AB=，
当且当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，
此时，△PAD为等腰直角三角形，
∴PD=AP=，
∴线段DP长度最小值为，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了一次函数的的图象与坐标轴的交点问题，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，证得四边形AMBO是正方形，以及当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值是解题的关键．

三、解答题(共0分)
13．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）甲、乙两人分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程（千米）随时间（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)A，B两地的路程为_______________千米；
(2)乙离A地的路程（千米）关于时间（时）的函数表达式是__________________．
(3)求当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程？
【答案】(1)30
(2)
(3)75千米

【思路点拨】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）设乙离A地的路程（千米）关于时间（时）的函数表达式是，把点、分别代入求解即可求解；
（3）先用待定系数法求出甲离A地的路程（千米）关于时间x(时)的函数表达式为，然后联立两函数解析式求出交点坐标，即可求解．
【规范解答】（1）解：由图象可得：A，B两地的路程为30千米；
（2）解：设乙离A地的路程（千米）关于时间（时）的函数表达式是，
由题意得，
解得：，
∴乙离A地的路程（千米）关于时间（时）的函数表达式是；
（3）解：设甲离A地的路程（千米）关于时间（时）的函数表达式为，
由图像知，得，
即甲离A地的路程（千米）关于时间（时）的函数表达式为；
建立方程组得，解得，
即当甲离开A地1.5时，此时离A地75千米．
【考点评析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
14．（2022秋·浙江金华·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．

(1)求和的值；
(2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴正方向运动．设点的运动时间为秒．当的面积为时，求的值；
【答案】(1)，
(2)或

【思路点拨】（1）将点代入，得，然后将点代入，即可求得的值；
（2）根据题意得出点)，点)，继而得出，根据三角形面积得出，分在点的左侧与右侧建立方程即可求解．
【规范解答】（1）解：将点代入，得
，
∴点，
将点代入，
∴
解得：，
∴，
（2）∵函数的图象与轴，轴分别交于点，，
令，得，令，得，
∴点)，点)，
∵函数的图象与轴交于点，
∴时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵的面积为，，
，
∴，
根据题意或，
∴或，
解得：或．
【考点评析】本题考查了一次函数的交点问题，三角形面积问题，动点问题，分类讨论是解题的关键．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)在图中作出关于y轴对称的，并写出顶点的坐标；
(2)求的周长；
(3)在x轴上求出点P坐标，使最小．
【答案】(1)作图见解析，，，；
(2)；
(3)点坐标为时，的值最小．

【思路点拨】（1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（2）利用勾股定理得出各边长解答即可．
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，求出直线的解析式即可求得点坐标．
【规范解答】（1）解：如图所示：

，，；
（2）由勾股定理可得：，，，
∴的周长；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，
则：，当，，在同一直线时，取得等号，

即：连接，交轴于点即为所求，由题意知，，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴，
当时，，解得，
∴，
即：点坐标为时，的值最小．
【考点评析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
16．（2022秋·广东梅州·八年级校考期末）如图，正方形的边长为，点在边上，且，点为边上一动点，且 ，以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．

(1)连接，求四边形的面积S关于的函数表达式；
(2)若直线将正方形分成面积相等的两部分，求此时直线对应的函数表达式；
(3)在正方形的边上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，，

【思路点拨】（1）根据图形可知，四边形是梯形，将的长度表示出来，再根据梯形的面积公式即可进行解答；
（2）直线将正方形分成面积相等的两部分，则四边形的面积是正方形面积的一半，求出正方形面积，代入求出m，即可得点F的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）根据题意，进行分类讨论，①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P，证明即可求出点P的坐标；②作的垂直平分线，交于点，交于点，根据勾股定理即可求出，的坐标．
【规范解答】（1）解：∵正方形的边长为，
∴，
∵，，
∴，
整理得：；

（2）∵正方形的边长为，
∴正方形面积，
∵直线将正方形分成面积相等的两部分，
∴四边形的面积，解得：，
∴点，
∵，
∴点
设直线的函数表达式为：，
把，代入得：
，解得：，
∴设直线的函数表达式为：；
（3）①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵正方形的边长为，，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；

②作的垂直平分线，交于点，交于点；
设，则，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
∴；
设，则，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
即，解得：，
∴；

综上：存在，点P的坐标为，，．
【考点评析】本题主要考查了列表达式，用待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确作出辅助线构造直角三角形，用勾股定理求解．
17．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点O是坐标原点，直线： 与直线：交于点A，两直线与x轴分别交于点和．

(1)求直线和的表达式．
(2)点P是y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
(3)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F，若为直角三角形，求点D坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或

【思路点拨】(1)把点的坐标分别代入相应的函数解析式求解即可．
(2) 作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，点P即所求，设直线表达式为，确定解析式，并求出与y轴的交点坐标即可．
(3) 分两种情况求解即可．
【规范解答】（1）将代入得，
解得，
故直线的解析式为；
把代入，得，
解得，
故直线的解析式为．
（2）作点C关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，则点P满足的值最小，
∵，，

∴，，
∴，，设直线表达式为，
∴，
解得，
∴直线表达式为，
令，
∴．
（3）设点，
如图，当时，过点A作于点G，

∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，
∴，
∴，，
解得，
故点；
如图，当时，过点D作于点G，

∵，，沿直线翻折得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，，
解得，
故点；
综上所述，点或．
【考点评析】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键．
18．（2022秋·八年级单元测试）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，．

(1)请直接写出直线的表达式 　　；
(2)请直接写出的面积为 　　；
(3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标 　　．
【答案】(1)
(2)
(3)或或．

【思路点拨】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式∶，即可求解；
（2）由为等腰直角三角形，则，根据勾股定理求出即可；
（3）分两种情况，分别求解即可．
【规范解答】（1）解：设直线所在的表达式为：，则，
解得，
故直线的表达式为：，
故答案为：；
（2）解：在中，
由勾股定理得：，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：；
（3）解：①时，如图，过点作轴于，

，，
，，
，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
同理：点的坐标为；
②时，如图，过点作轴于，

，，
，，
，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
【考点评析】本题考查了一次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定及性质等，熟练掌握一次函数的图像及性质、注意分类求解，避免遗漏是解题的关键．
19．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．

(1)求直线的函数表达式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q，连接．
①若，请直接写出点P的坐标______；
②若的面积为，请直接写出点M的坐标______；
③若点K为线段的中点，连接，如图2，若在线段上有一点F，满足，请直接写出点F的坐标______．
【答案】(1)
(2)①；②或；③

【思路点拨】（1）先根据坐标轴上点的特点求出A，B的坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）①设出点M的坐标，利用勾股定理求出，，，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出结论； ②设出点M的坐标，进而得出点P，Q坐标，即：得出，最后用面积公式即可得出结论； ③过点F作 交于H，过点H作轴于E，由得是等腰直角三角形，证明，可得， ，，设，则，，则，利用待定系数法求出直线的解析式，将点H的坐标代入即可求解．
【规范解答】（1）解：对于，令，，
∴，
令， ∴，
∴， ∴，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
设直线的解析式为，
∴ ， 解得：，
∴直线的解析式为．
（2）①设点，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设点，
∵点P在直线：上，
∴，
∵点Q在直线： 上，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴ ，
∴，
∴或；
③过点F作交于H，过点H作轴于E，

∵， ∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点K为线段的中点，，
∴，，
设，则，，则，
∵，，
设直线的解析式为，
∴ ，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点H在上，，
∴，解得：，
∴点F的坐标为．
【考点评析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理的应用，二次根式的化简，三角形的面积公式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
20．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）已知一次函数的图象与x轴和 y 轴分别交于 A、B两点

(1)如图1，当时，若点 A 到经过原点的直线l 的距离的长为 4，求点B到直线l的距离的长.
(2)如图2，当时，点 M 在第二象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标.
(3)当k的取值变化时，点 A随之在 x轴上运动，过点 B作的垂线交直线于点Q ，当时，求k 的值.

【答案】(1)的长为
(2)或
(3)或

【思路点拨】(1)首先可求得点A、B的坐标及，再根据可证得，，最后根据勾股定理即可求得；
(2)分两种情况，当时，过点M作轴于点E，根据可证得，据此即可求得点M的坐标；当，过点M作轴于点F，根据可证得，据此即可求得点M的坐标；
(3) 过点B直线轴，分别过点A、Q作、于点M、N，可得四边形是矩形，，，根据可证得，，，可得点Q的纵坐标为6或，，可得或，据此即可求得．
【规范解答】（1）解：当时，，
令，则，则，
令，则，则，
，
，，
，
，
，
在与中，

，
，
，
故点B到直线l的距离的长为；
（2）解：当时，，
令，则，则，
令，则，则，
，，
当时，如图：过点M作轴于点E，

，
，
，
在与中，

，
，，
，
此时点M的坐标为；
当，如图：过点M作轴于点F，

，
，
，
在与中，

，
，，
，
此时点M的坐标为；
综上，点M的坐标为或；
（3）解：如图：过点B直线轴，分别过点A、Q作、于点M、N，

四边形是矩形，，，
，
，
，
在与中，

，
，，
点Q的横坐标为8或，
点Q在直线上，
点Q的纵坐标为6或，
在中，令，则，
则，
或，
解得或，
经检验或都是原方程的解，
故当时，k 的值为或．
【考点评析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定及性质，勾股定理，坐标与图形，作出辅助线是解决本题的关键．