【重难点讲义】浙教版数学七年级上册-第06讲 规律题方法总结与例题专训

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第6讲 规律题方法总结与例题专训
【知识点睛】
常见规律题类型
v 周期性循环
特点：常以3个或4个数据为一周期，以此循环往复；总数比较大，常和年份结合考察
处理方法步骤：1.找出第一周期的几个数，确定周期数
2.算出题目中的总数和待求数
3.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
4.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
v 周期性递变循环
特点：常以2个或3个一周期，后边的每组，周期数不变，但是数据的大小会以相同的关系递增或递减；
处理方法：同周期性循环基本一致，最后一步需要加入递变的关系
v 递变增减型
特点：分以此递增和以此递减，通常是数据之间的直接变化，偶尔借助图形；常和年份结合考察
处理方法：熟记单独数据规律，直接应用于考察问题；
v 算式类比性
特点：常给出几个算式或等式，先算简单的，再从简单的类比到复杂题目的计算
处理办法：1.正确计算出前面简单算式的答案
2.找出数字间的规律
3.将简单数字间的关系推导到字母n的关系中
v 常见数字间固定规律识记：
项数
第1项
第2项
第3项
第4项
……
第n项
前n项和
①
1
2
3
4
……
n

②
1
3
5
7

2n-1
n²
③
3
5
7
9

2n+1
n（n+2）
④
2
4
6
8

2n
n（n+1）
⑤
2
4
8
16

2n
2n+1-2
⑥
2
6
12
20

n（n+1）
/
⑦
1
3
6
10


/
v 规律题解题思想：
1. 裂项相消法：将一项拆分成多项，前后保持相等，然后利用某些项相消的原则简化运算；
2. 错位相减法：适用于两个式子间有相同项的题目，两式相减直接抵消掉中间项，剩余首项、尾项再计算；
3. 倒序求和发：如：计算1+2+3+……+50，可以设S=1+2+3+……+50，则亦有S=50+49+48+……+1，
∴2S=51×50，∴S=51×25=…
裂项法公式：
【类题训练】
1．根据图中数字规律，若第n个图中a＝39，则b，c的值为（　　）

A．1261和399 B．1259和399 C．1261和401 D．1239和401
【分析】每个图形中，左边三角形上的数字a＝2n﹣1，右边三角形上的数字为b＝3n（n+1）+1，下面三角形上的数字c＝n2﹣1，先把a＝39代入求出n的值，再进一步求出b和c的值．
【解答】解：通过观察可得规律：a＝2n﹣1，b＝3n（n+1）+1，c＝n2﹣1．
∵a＝39，
∴n＝20，
∴b＝3n（n+1）+1＝1261，c＝n2﹣1＝399．
故选：A．
2．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示的数为（　　）
A．﹣2022 B．2022 C．﹣1011 D．1011
【分析】由题意可知第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，由此规律可求解．
【解答】解：∵第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，
∴第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，
∵2022÷2＝1011，
∴它跳第2022次落下时，向左1011个单位，
故选：C．
3．有一列数a1，a2，a3，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2022为（　　）
A． B．2 C．﹣1 D．2022
【分析】分别求出a1＝2，a2＝，a3＝﹣1，a4＝2，可得规律每3个数循环一次，则a2022＝a3＝2．
【解答】解：∵a1＝2，
∴a2＝1﹣＝，
a3＝1﹣2＝﹣1，
a4＝1+1＝2，
……
∴每3个数循环一次，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3＝﹣1，
故选：C．
4．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2020将与圆周上的哪个数字重合（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题．
【解答】解：由题意得：圆滚动一周，将沿着数轴滚动4个单位长度．
∵（2020﹣2）÷4＝504…2，
∴数轴上的数﹣2020将与圆周上的2重合．
故选：C．
5．将一个按红黄绿蓝紫的顺序依次循环排列的纸环链，截去中间的一部分后，剩下的部分如图所示，则被截去的中间一部分的纸环总数可能是（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12＝5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．
【解答】解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），
当5n+3＝2020，解得n＝，不符合题意，
当5n+3＝2021时，n＝，不符合题意，
当5n+3＝2022时，n＝，不符合题意，
当5n+3＝2023时，n＝404，符合题意，
故选：D．
6．将正整数按如图所示的位置顺序排列：

根据排列规律，则2022应在（　　）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【分析】规律：在A位置的数被4除余2，在B位置的数被4除余3，在C位置的数被4整除，在D位置的数被4除余1；由2022÷4＝505……2，即可得出结果．
【解答】解：由题意得：在A位置的数被4除余2，在B位置的数被4除余3，在C位置的数被4整除，在D位置的数被4除余1；
2022÷4＝505……2，
∴2022应在2的位置，也就是在A处．
故答案为：A．
7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　）

A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据正好能整除可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【解答】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，

∵2023÷3＝674…1，
∴翻转2023次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．
故选：B．
8．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（　　）

A．﹣190 B．﹣66 C．62 D．64
【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为a＝（﹣1）n•2n，右边三角形上的数字为b＝（﹣1）n•2n+2，下面三角形上的数字为c＝（﹣1）n•2n，先把n＝7代入求出a、b、c的值，再进一步求出a﹣b﹣c的值．
【解答】解：通过观察可得规律：
左边三角形上的数字为a＝（﹣1）n•2n，
右边三角形上的数字为b＝（﹣1）n•2n+2，
下面三角形上的数字为c＝（﹣1）n•2n，
∵n＝7，
∴a＝（﹣1）×27＝﹣128，b＝﹣128+2＝﹣126，c＝（﹣128）＝﹣64，
∴a﹣b﹣c＝﹣128+126+64＝62．
故选：C．
9．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（　　）
A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣1009
【分析】根据前几个数可以发现：从第2个数开始，如果顺序数为偶数，最后的数值为an＝﹣，如果顺序数为奇数，最后的数值为an＝﹣，再根据规律求解即可．
【解答】解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，
a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，
a7＝﹣|a6+6|＝﹣3，
…
∴当n为偶数时，an＝﹣，当n为奇数时，an＝﹣，
∴a2022＝﹣＝﹣1011，
故选：C．
10．观察以下一列数：3，，，，，…则第10个数是 　　．
【分析】分析该列数的特点和顺序的关系即可找到规律．
【解答】解：观察数字3，，，，，…
可发现：
3＝，
＝，
＝，
……
第n个数为：，
∴第10个为：．
故答案为：．
11．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 　2　．

【分析】根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第2021次输出的结果．
【解答】解：由题意可得，
第一次输出的结果是4，
第二次输出的结果是2，
第三次输出的结果是1，
第四次输出的结果是4，
第五次输出的结果是2，
…，
由上可得，输出结果依次以4，2，1循环出现，
∵2021÷3＝673……2，
∴第2021次输出的结果是2，
故答案为：2．
12．如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是 　313．
【分析】通过观察可知，25＝a+b，b＝a+1，x＝25a+b，求解即可．
【解答】解：由题可知，25＝a+b，b＝a+1，
∴a＝12，b＝13，
∵x＝25a+b，
∴x＝25×12+13＝313，
故答案为：313．
13．从下面的关系中归纳出规律，然后进行计算：
1×3＝3，而3＝22﹣1；
3×5＝15，而15＝42﹣1；
5×7＝35，而35＝62﹣1；
…
根据如上的规律，第n行式子是：　（2n﹣1）×（2n+1）＝（2n）2﹣1　（n为正整数）；
并按此规律计算：29×31＝　899　．
【分析】通过观察所给的式子可得第n行为：（2n﹣1）×（2n+1）＝（2n）2﹣1，再利用规律运算即可．
【解答】解：∵1×3＝3，而3＝22﹣1；
3×5＝15，而15＝42﹣1；
5×7＝35，而35＝62﹣1；
…
∴第n行为：（2n﹣1）×（2n+1）＝（2n）2﹣1，
∴29×31＝302﹣1＝899，
故答案为：（2n﹣1）×（2n+1）＝（2n）2﹣1，899．
14．观察图，找出规律．
，则的值为　﹣8　．
【分析】由图形中的数字排列可知：三角形顶点的数字加上左下角的数字再减去右下角的数字就是运算的结果，由此方法计算得出答案即可．
【解答】解：∵﹣5﹣2﹣3＝﹣10，
﹣6+6﹣（﹣4）＝4，
﹣7﹣10﹣（﹣17）＝0，
∴11﹣12﹣7＝﹣8．
故答案为：﹣8．
15．观察以下等式：
第1个等式：×（2﹣）＝1+；
第2个等式：×（2﹣）＝1+；
第3个等式：×（2﹣）＝1+；
第4个等式：×（2﹣）＝1+；
第2021个等式：　×（2﹣）＝1+　．
【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：第1个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；
第2个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；
第3个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；
第4个等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；
..．
第2021个等式：×（2﹣）＝1+，
即：×（2﹣）＝1+，
故答案为：×（2﹣）＝1+．
16．如图．某大学学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮就餐时顺利地连接到了网络，那么他输入的密码是 　143549　．

【分析】根据题中wif密码规律确定出所求即可．
【解答】解：原式＝7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）
＝140000+3500+7×7
＝140000+3500+49
＝143549．
故答案为：143549．
17．先阅读下列内容，然后解答问题．
因为．
所以．
请解答：
（1）应用上面的方法计算：…．
（2）类比应用上面的方法计算：…．
【分析】（1）对所求式子的各加数进行拆项，从而可求解；
（2）仿照所给的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）…
＝1﹣+﹣++…+
＝1﹣
＝；
（2）…
＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）
＝×（1﹣++…+）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
18．观察以下图案和算式，解答问题：

（1）1+3+5+7+9＝　25　；
（2）1+3+5+7+9+…+19＝　100　；
（3）请猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝　n2　；
（4）求和号是数学中常用的符号，用表示，例如，其中n＝2是下标，5是上标，3n+1是代数式，表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：
＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46
请求出的值，要求写出计算过程，可利用第（2）（3）题结论．
【分析】（1）根据连续n个奇数的和等于n2即可得；
（2）利用所得规律计算可得；
（3）利用（1）中所得规律计算可得；
（4）由＝21+23+25+……+47+49＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19），利用所得规律计算可得．
【解答】解：（1）1+3+5+7+9＝52＝25，
故答案为：25；

（2）1+3+5+7+9+…+19＝102＝100，
故答案为：100；

（3）1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝n2，
故答案为：n2；

（4）＝21+23+25+……+47+49
＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19）
＝252﹣102
＝525．
19．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：
加数m的个数
和S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和为　42　；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：　S　＝　m（m+1）　．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+200；
②202+204+206+…+300．
【分析】（1）仔细观察给出的等式可发现从2开始连续两个偶数和1×2，连续3个偶数和是2×3，连续4个，5个偶数和为3×4，4×5，从而推出当m＝6时，和的值；
（2）根据分析得出当有m个连续的偶数相加是，式子就应该表示成：2+4+6+…+2m＝m（m+1）．
（3）根据已知规律进行计算，得出答案即可．
【解答】解：（1）∵2+2＝2×2，
2+4＝6＝2×3＝2×（2+1），
2+4+6＝12＝3×4＝3×（3+1），
2+4+6+8＝20＝4×5＝4×（4+1），
∴m＝6时，和为：6×7＝42；
故答案为：42；
（2）∴和S与m之间的关系，用公式表示出来：2+4+6+…+2m＝m（m+1）；
故答案为：S，m（m+1）；
（3）①2+4+6+…+200
＝100×101，
＝10100；
②∵2+4+6+…+300＝150×151＝22650，
∴202+204+206+…+300．
＝22650﹣10100，
＝12550．
20．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……
（1）请根据你发现的规律填空：7×9+1＝（　8　）2；
（2）用含n的等式表示上面的规律：　n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）　；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：
【分析】（1）利用有理数的混合运算求解；
（2）利用题中的等式得到n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；
（3）先通分得到原式＝××××…××，再利用（2）中的结论得到原式＝××××…××，然后约分即可．
【解答】解：（1）7×9+1＝82；
故答案为8；

（2）n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；
故答案为：n•（n+2）+1＝（n+1）2（n为正整数）；

（3）原式＝××××…××
＝××××…××
＝
＝．
21．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 　1　；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝　18　，an＝　n　；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n❶，将①式右边顺序倒置，得S＝n+…+4+3+2+1❷，由❷式+❶式，得2S＝　n（n+1）　；∴S＝　　；由结论求1+2+3+4+…+55＝　1540　；
（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　2　；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝　218　，an＝　2n　；
②为了求1+3+32+33+…+32018的值，可令M＝1+3+32+33+…+32018❶，则3M＝3+32+33+…+32019❷，由❷式﹣❶式，得3M﹣M＝32019﹣1，∴M＝，即1+3+32+33+…+32018＝．
仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+551．
【分析】（1）①根据数列中每一项与前一项之差是1求解可得；
②将对应位置的数相加，其和为n+1，共n个数，再将两边除以2即可得；
（2）①根据数列中每一项与前一项之比是2求解可得；
②令M＝1+5+52+53+……+551，将等式两边乘以5后相减，再进一步求解可得．
【解答】解：（1）①数列1，2，3，4，5，…中，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是1，
如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝18，an＝n；
②令S＝1+2+3+4+…+n…①
将①式右边顺序倒置，得S＝n+…+4+3+2+1…②
由②加上①式，得2S＝n（n+1），
∴S＝，
由结论求1+2+3+4+…+55＝＝1540，
故答案为：①1，18，n；②n（n+1），，1540；
（2）①数列2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，
如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝218，an＝2n，
故答案为：2，218，2n；
②令M＝1+5+52+53+……+551，
则5M＝5+52+53+……+552，
∴5M﹣M＝552﹣1，
∴4M＝552﹣1，
∴M＝，即1+5+52+53+…+551＝．