【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第09讲 直角三角形的性质与判定

第9讲  直角三角形的性质与判定

考点一  直角三角形的性质

【知识点睛】

        直角三角形的性质：

两锐角互余；

斜边上的中线=½斜边长

    30°角所对的直角边=½斜边长

        直角三角形性质及应用常结合相关性质有：

直角三角形

垂直的意义；

平行线的性质；

等腰三角形等边对等角；

角平分线的性质；

三角形内角和与外角和定理；

全等三角形的对应角相等；

        Rt△中求角度时，有时是直角三角形性质的单独应用，有时也是三角形有关角度性质的综合考察；

        注意事项：如右图，当Rt△斜边上的中线的条件出现时，常见考察方向有：

①CD=½AB（或AB=2CD）；②AD=CD=BD，即△ACD、△BCD均为等腰三角形；

【类题训练】

1．已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．50° C．70° D．90°

2．如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　）

A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2

4．一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为（　　）

A．40 B．30 C．20 D．10

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且∠B＝30°，AD＝4，点E是AB上一动点，则D，E之间的最小距离为（　　）

A．8 B．4 C．2 D．1

6．如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是（　　）

A．逐渐变大 B．不断变小 

C．不变 D．先变大再变小

7．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，点F是AB的中点，连接DF、EF，设∠DFE＝α，则∠C的度数可表示为（　　）

A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣α

8．如图，在等边△ABC中，AB＝10，P为BC上任意一点（不与端点B，C重合），过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．若，则PD的长为（　　）

A．3 B． C． D．

9．在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝14°，则∠B＝　  　°，∠C＝　   　°．

10．如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则三角形MCD的面积为 　   　．

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为60°，AB＝10．若点Q在直线AB上（不与点A、B重合），当∠QCB＝30°时，CQ的长为 　       　．

12．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF∥AB交DE于点F．

（1）求证：CF平分∠DCE；

（2）求∠DFC的度数．

13．已知：如图，△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．

（1）求证：EF＝AE+CF；

（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周长．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，DE⊥PD交BC于点E．

（1）求证：点E在BD的垂直平分线上；

（2）若∠DEB＝α，

①求∠CPD的度数；（用含α的式子表示）

②当α＝110°时，求∠A的度数．

15．如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．

（1）求证：DE⊥MN；

（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．

考点二  直角三角形的判定

【知识点睛】

        直角三角形判定的方法：

  ①有一个角为直角的△是直角三角形；

②有两个内角互余的△是直角三角形

③一边上的中线=这边长度的一半的△是直角三角形；

④30°角所对的边长=30°角临边的一半的△是直角三角形

⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形

        注意事项：

①上面直角三角形判定方法中，在综合问题中，第③条需要利用等边对等角与内角和证明之后才能用，选择填空可以直接应用；

②常见利用角度证明直角三角形的类型有：∠A＋∠B=90°；∠A＋∠B=∠C；∠A=½∠B=⅓∠C；∠A：∠B：∠C=a：b：c且a+b=c；

【类题训练】

1．在△ABC中，满足下列条件：

①∠A＝60°；

②∠A＝∠C﹣∠B；

③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；

④∠A＝90°﹣∠C．

其中，判定△ABC是直角三角形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）

A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC 

B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC 

C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° 

D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°

3．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个．

A．5 B．6 C．7 D．8

4．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝40°，

（1）当∠A＝　    　时，△AOP为直角三角形；

（2）当∠A满足 　     　时，△AOP为钝角三角形．

5．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．

6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．

（1）求∠ACE的度数．

（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．

7．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由；

（2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 　 　；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）

（3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D．

①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 　 　（填写序号），并说明理由；

②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数．

【综合练习】

1．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.8km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．1.5km B．2.8km C．1.4km D．1.9km

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　）

A．65° B．70o C．75o D．80o

3．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．48°

4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 　   　．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 　   　．

6．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OK的长为 　   　．

7．如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．

（1）求证：△ABE≌△CBD；

（2）若∠CAE＝30°，求∠EDC的度数．

8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝AC＝8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，连结AM．

（1）求AM的长；

（2）求证：MN⊥AC；

（3）求MN的长．

9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC上一点，延长BC至点E使CE＝CD，连接AE、BD并延长BD交AE于点F．求证：△BEF是直角三角形．

10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．

（1）求证：CE＝CM．

（2）若AB＝4，求线段FC的长．