2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程

专题九  解析几何

第二十九讲  曲线与方程

2019年

1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。给出下列三个结论：

① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过;

③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

（A）①   （B）②  

（C）①②  （D）①②③

2．（2019浙江15）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，

若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.

3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

4.（2019全国III理21（1））已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

5.（2019北京理18）已知抛物线经过点(2，-1).

(I)    求抛物线C的方程及其准线方程；

(II)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两上定点.

6.（2019全国II理21）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

7. （2019浙江21）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为.

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时点G的坐标.

8.（2019天津理18）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

2010-2018年

解答题

1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点

，圆的直径为．

(1)求椭圆及圆的方程；

(2)设直线与圆相切于第一象限内的点．

①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；

②直线与椭圆交于两点．若的面积为，求直线的方程．

2．（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．

3．(2016年山东)平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．

（i）求证：点M在定直线上；

（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，

求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．

4．(2016年天津)设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知

，其中 为原点，为椭圆的离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

5．(2016年全国II)已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．

（Ⅰ）当时，求的面积；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．

8．（2015四川）如图，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2015北京）已知椭圆：的离心率为，点和点

都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

10．（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求面积的最大值（为坐标原点）．

11．（2014广东）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

12．（2014辽宁）圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为．

（1）求的方程；

（2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程．

13．（2013四川）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且椭圆C经过点．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q是MN上的点，且

，求点Q的轨迹方程．

14．（2012湖南）在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A，B和C，D.证明：当在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

15．（2011天津）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．

16．（2009广东）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；

（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．