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    2024届高考第一轮复习:理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用答案

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    这是一份2024届高考第一轮复习:理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用答案,共28页。试卷主要包含了解析, 时, QUOTE ,a-10,<10 ,故C错误;,-,a-4等内容,欢迎下载使用。

    专题六 数列

    第十八讲 数列的综合应用

    答案部分

    2019年 

    1.解析:对于B,令,得
    ,所以
    所以时,,故B错误;
    对于C,令,得
    ,所以
    所以时,,故C错误;
    对于D,令,得
    ,所以
    所以当时,,故D错误;
    对于A


    递增,

    时,
    所以,所以,所以A正确.故选A

    2.解析:(1)设数列的公差为d,由题意得

    解得

    从而

    成等比数列得

    解得

    所以

    2

    我们用数学归纳法证明.

    n=1时,c1=0<2,不等式成立;

    假设时不等式成立

    那么

    即当时不等式也成立.

    根据12),不等式对任意成立.

    3.解析1)设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0q≠0.

    ,得,解得

    因此数列“M—数列”.

    2因为,所以

    ,得,则.

    ,得

    时,由,得

    整理得

    所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

    因此,数列{bn}的通项公式为bn=n.

    知,bk=k.

    因为数列{cn}“M–数列,设公比为q,所以c1=1q>0.

    因为ckbkck+1,所以,其中k=123m.

    k=1时,有q≥1

    k=23m时,有

    fx=,则

    ,得x=e.列表如下:

    x

    e

    (e+∞)

    +

    0

    fx

    极大值

    因为,所以

    ,当k=12345时,,即

    经检验知也成立.

    因此所求m的最大值不小于5

    m≥6,分别取k=36,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216

    所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

    综上,所求m的最大值为5

    3.解析I1356.答案不唯一.

    II长度为q末项一个递增子列.

    .

    因为长度为p递增子列末项的最小值.

    长度为p递增子列,所以所以.

    III题设知,所有正奇数都是中的.

    先证明:若2m中的2m排在2m-1之前m正整数).

    假设2m排在2m-1之后,数列长度为m末项为2m-1递增子列,则数列长度为m+1末项为2m递增子列,与已知矛盾.

    再证明:所有正偶数都是中的.

    假设存在正偶数不是中的设不在中的最小正偶数为2m.

    因为2k排在2k-1之前 ,所以2k2k-1不可能在同一个子列中.

    中不超过数为12…..

    所以长度为末项为递增子列个数至多为

    已知矛盾.

    最后证明排在之后(为整数.

    假设存在使得排在之前,长度为末项为递增子列个数小于已知矛盾.

    综上,数列只可能为.

    经验证,数列符合条件

    所以.

     

     

    2010-2018年

    1A【解析】对数列进行分组如图

    则该数列前组的项数

    由题意可知,即,解得

    出现在第13组之后.

    又第组的和为

    组的和为

    设满足条件的的在第(,)组,且第项为第的第个数,第组的前项和为

    要使该数列的前项和为2的整数幂,

    互为相反数,

    所以

    ,所以,则,此时

    对应满足的最小条件为,故选A

    2C【解析】由题意可得中有3031,且满足对任意8,都有0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的规范01数列00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.

    3A【解析】对命题p成等比数列,则公比

    对命题

    时,成立;

    时,根据柯西不等式,

    等式成立,

    ,所以成等比数列,

    所以的充分条件,但不是的必要条件.

    4A【解析】成等比数列,,即

    解得,所以

    5B【解析】上单调递增,可得

    =

    上单调递增,在单调递减

         ==

    =

    上单调递增,在上单调递减,可得

    因此

    627【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成,在数列 中,前面有16个正奇数,即.当时,,不符合题意;当时,,不符合题意;当时,,不符合题意;当时,,不符合题意;……;当时,= 441 +62= 503<,不符合题意;当时,=484 +62=546>=540,符合题意.故使得成立的的最小值为27

    75【解析】设数列的首项为,则,所以,故该数列的首项为

    8【解析】将代入,可求得;再将代入,可求得;再将代入;由此可知数列是一个周期数列,且周期为3,所以

    964解析成等比数列,得,解得,故

    10【解析】设,则,由于

    所以,故的最小值是

    114【解析】由题意得,得

    因此,所以

    12.【解析】(1)由条件知:,

    因为=1234均成立,

    =1234均成立,

    11133579,得

    因此,的取值范围为

    (2)由条件知:,

    若存在,使得(=23···+1)成立,

    (=23···+1)

    即当时,满足

    因为,则

    从而,对均成立.

    因此,取=0时,均成立.

    下面讨论数列的最大值和数列的最小值().

    时,

    时,有,从而

    因此,当时,数列单调递增,

    故数列的最大值为

    ,当时,

    所以单调递减,从而

    时,

    因此,当时,数列单调递减,

    故数列的最小值为

    因此,的取值范围为

    13【解析】()设等差数列的公差为,等比数列的公比为.

    由已知,得,而,所以.

    又因为,解得.所以,.

    ,可得 .

    ,可得

    联立①②,解得,由此可得.

    所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.

    )设数列的前项和为

    ,有

    上述两式相减,得

    .

    所以,数列的前项和为.

    14【解析】()用数学归纳法证明:

    时,

    假设时,

    那么时,若,矛盾,故

    因此

    所以

    因此

    )由

    记函数

    函数上单调递增,所以=0

    因此

    )因为

    所以

    所以

    综上,

    15.【解析】)由已知,

    两式相减得到.

    又由得到,故对所有都成立.

    所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.

    从而.

    成等比数列,可得,即

    由已知,,故 .

    所以.

    )由()可知,.

    所以双曲线的离心率 .

    解得.

    因为,所以.

    于是

    .

    16.【解析】()由题意有,

    解得

    )由,知,故,于是

             

    .       

    -可得

    ,故

    17.【解析】

    所以内至少存在一个零点

    ,故在内单调递增,

    所以内有且仅有一个零点

    因为的零点,所以,即,故.

    解法一:由题设,

    ,

    ,

    ,

    ,

    所以上递增,在上递减,

    所以,即

    综上所述,当, ;当

    解法二  由题设,

    ,

    , 用数学归纳法可以证明

    , 所以成立

    假设时,不等式成立,即

    那么,当时,

    .

    所以当,,上递减;

    ,,上递增

    所以,从而

    .,不等式也成立

    所以,对于一切的整数,都有

    解法三:由已知,记等差数列为等比数列为

    所以,

    , ,所以

    ,

    ,所以

    , ,

    ,,

    从而上递减,上递增.所以

    所以当,,故

    综上所述,当, ;当

    18.【解析】

    若存在某个使得则由上述递推公式易得重复上述过程可得,此与矛盾,所以对任意

    从而是一个公比的等比数列

    ,数列的递推关系式变为

    变形为由上式及

    归纳可得

    因为

    所以对求和得

    另一方面,由上已证的不等式知,得

    综上,

    19.【解析】(

    解得

    为偶数时

      

    20.【解析】)由题意,

    ,又由,得公比舍去),

    所以数列的通项公式为

    所以

    故数列的通项公式为,

    i)由()知,

    所以

    ii)因为

    时,

    所以当时,

    综上对任意恒有,故

    21.【解析】(I)因为是递增数列,所以

    因此又成等差数列,所以,因而

    解得

    时,,这与是递增数列矛盾。故.

    )由于是递增数列,因而,于是

        

    ,所以

    .       

    知,,因此

         

    因为是递减数列,同理可得,

        

    即知,

    于是

    .

    故数列的通项公式为

    22.【解析】()点在函数的图象上,所以,又等差数列的公差为,所以

    因为点在函数的图象上,所以

    所以

    ,所以

    )由,函数的图象在点处的切线方程为

    所以切线在轴上的截距为,从而,故

    从而

        

    所以

    23.【解析】()当时,

    时,

    时,,当时,H数列

    使,即

    ,又

    )设的公差为d

    ,对

    ,对

    ,且为等差数列

    的前n项和,令,则

    时,由于n奇偶性不同,即非负偶数,

    因此对,都可找到,使成立,即H数列

    的前n项和,令,则

    是非负偶数,

    即对,都可找到,使得成立,即H数列

    因此命题得证.

    24.【解析

    所以, 是等差数列.

    25.【解析

    ,

    时,公差等差数列.

    构成等比数列解得,

    可知

    是首项,公差等差数列.

     数列通项公式.

    26.【解析】()设数列的公比为,则. 由题意得

        解得

    故数列的通项公式为

    )由 .

    若存在,使得,则,即

    为偶数时,, 上式不成立;

    为奇数时,,即,则.

    综上,存在符合条件的正整数,且所有这样的n的集合为

    27.【证明】()若,则,又由题

    是等差数列,首项为,公差为,又成等比数列,

    ).

    由题,若是等差数列,

    则可设是常数,关于恒成立.

    整理得:

    关于恒成立.

    28.【解析】由已知得:

    解得,

    所以通项公式为.

    ,得,即.

    是公比为49的等比数列,

    29.【解析】()由题意得

    由()得

    整理得 

    由题意,

    解得

    故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.

    30.【解析】=,得

    =1时,

    2时,.

    ,得.

    由(1)知

    所以

    31.【解析】:()由a3+a4+a5=84a5=73可得a9=73,则

    于是,即.

    )对任意mN,则

    ,而,由题意可知

    于是

    .

    32.【解析】由题意知

    所以,从而

    所以数列是以1为公差的等差数列.

    .所以

    从而    (*)

    设等比数列的公比为,由下证

    ,则.故当,与(*)矛盾;

    ,则.故当,与(*)矛盾;

    综上:,所以

    ,所以是以公比为的等比数列,若

    ,于是,又由,得

    所以中至少有两项相同,矛盾.所以,从而

    所以

    33.【解析】()由,可得

    )证明:对任意

       

       

    -,得

    所以是等比数列。

    )证明:,由()知,当时,

    故对任意

    因此,

    于是,

    34.【解析】可得

    时,,由,可得

    时,,可得

    时,,可得

    证明:对任意

     

     

     

    ②—③,得  

    代入,可得

    因此是等比数列.

    证明:由(II)可得

    于是,对任意,有

    将以上各式相加,得

    此式当k=1时也成立.式得

    从而

    所以,对任意

    对于=1,不等式显然成立.

    所以,对任意

    35.【解析】()由已知,当n1时,

    .而

    所以数列{}的通项公式为

    )由 

    从而 

    - 

       

    36.【解析】()表4     1   3   5   7

     4   8   12

    12   20

    32

    它的第1,2,3,4中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将结这一论推广到表3),即各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为,公比为2的等比数列.

    1行是1,3,52-1,其平均数是

    )知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为,公比为2的等比数列(从而它的第行中的数的平均数是),于是表中最后一行的唯一一个数为.因此

    (=1,2,3, …, ),故

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