2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案

专题十三  推理与证明

第三十八讲  推理与证明

答案部分

1．B【解析】解法一 因为()，所以

，所以，又，所以等比数列的公比．

若，则，

而，所以，

与矛盾，

所以，所以，，

所以，，故选B．

解法二  因为，，

所以，则，

又，所以等比数列的公比．

若，则，

而，所以

与矛盾，

所以，所以，，

所以，，故选B．

2．D【解析】解法一 点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D．

解法二 若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D．

3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D． 

4．B【解析】设为三角形中心，底面如图2，过作，，，由题意可知，，，

图1                             图2

由图2所示，以为原点建立直角坐标系，不妨设，则，，，，∵，，∴，，则直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，根据点到直线的距离公式，知，，，∴，，

因为，，为锐角，所以．选B

5．B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，，60，63，l的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B．

6．A 【解析】当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，

同理，、的取值也有种，所以，

所以，故选D．

7．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．

8．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．

9．D【解析】∵,,,，，

,,∴(,且)的末四位数字呈周期性变化，且最小正

周期为4,记(,且)的末四位数字为,则

，∴与的末位数字相同，均为8 125，选D．

10．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有=，故选D．

11．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，= 441 +62= 503<，不符合题意；当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．

12． 【解析】设线段的中点为，则，其中

①由题意只需比较线段中点的纵坐标的大小即可，作图可得中点纵坐标比的中点纵坐标大，所以第一位选．

②由题意，只需比较三条线段，斜率的大小，分别作关于原点的对称点，比较直线 斜率，可得最大，所以选

13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A．

14．【解析】根据已知，归纳可得结果为n(n+1)．

15．．

【解析】观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是．

16．【解析】 具体证明过程可以是：

．

17．【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形中，斜边，所以，，，．

解法二 求通项：等腰直角三角形中，斜边，

所以，，

，故=

18．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为，；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为，，．综上符合条件的有序数组的个数是6．

19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料，6天后，师傅开始精加工原料，徒弟同时开始粗加工原料，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料完成，此时师傅还在精加工原料，27天后，师傅精加工原料完成，然后接着精加工原料，再15天后，师傅精加工原料完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．

20．【解析】由，得，

可得，故可归纳得．

21．【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得．

22．12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）    

【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第个等式左边有 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…，指数都是2，符号成正负交替出现可以用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为·，所以第个式子可为12－22+32－42+…+=（－1）n+1·（∈）．

23．1000【解析】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故，

24．【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=，右边=，所以第五个不等式为．

25．（1）6；（2）

【解析】（1）当=16时，

，可设为，

，即为，

，即，位于中的第6个位置；

（2）在中位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在中位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得时，位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于中的第个位置上．

26． 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，

                           行数    等号左边的项数

1=1             1             1

2+3+4=9           2             3

3+4+5+6+7=25        3             5

4+5+6+7+8+9+10=49      4             7

……            ……          ……

所以，

即

27．【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得=．

28．962【解析】观察等式可知，的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故．取，则，，代入等式⑤得

，即  ①

取，则，，代入等式⑤得

即   ②

联立①②得，，所以=．

29．【解析】(1)因为，，所以

，

．

(2)设，则．

由题意知，，，∈{0，1}，且为奇数，

所以，，，中1的个数为1或3．

所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．

将上述集合中的元素分成如下四组：

(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．

经验证，对于每组中两个元素，，均有．

所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素．

所以集合中元素的个数不超过4．

又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，

所以集合中元素个数的最大值为4．

(3)设

，

，

则．

对于（）中的不同元素，，经验证，．

所以（）中的两个元素不可能同时是集合的元素．

所以中元素的个数不超过．

取且（）．

令，则集合的元素个数为，且满足条件．

故是一个满足条件且元素个数最多的集合．

30．【解析】(1)记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，

所以．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

(2)对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以．

逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

当时，

，

因此，时，．

31．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”.

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时，，①

当时，.②

由①知，，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为.

在①中，取，则，所以，

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列.

32．【解析】（Ⅰ）易知，，且，，

所以

，

．

下面证明：对任意且，都有．

当且时，

∵且

∴．

因此对任意且，，则．

又∵，

故对均成立，从而是等差数列

（Ⅱ）设数列和的公差分别为，下面我们考虑的取值．

对，，，

考虑其中任意项且，

下面分，，三种情况进行讨论．

（1）若，则

①若，则

则对于给定的正整数而言，

此时，故是等差数列

②，则

则对于给定的正整数而言，

此时，故是等差数列

此时取，则是等差数列，命题成立．

（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．

故必存在，使得当时，

则当时，

因此，当时，．

此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．

（3），则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．

故必存在，使得当时，

则当时，

因此当时，．

此时

令，，

下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．

①若，则取（表示不等于的最大整数）

当时，

此时命题成立．

若，则取

当时

此时命题成立．

因此，对任意正数，使得当时，．

综合以上三种情况，命题得证．

33．【解析】(1)由已知得.

于是当时，.

又，故，即.

所以数列的通项公式为.

(2)因为，，

所以.

因此，.

(3)下面分三种情况证明.

①若是的子集，则.

②若是的子集，则.

③若不是的子集，且不是的子集.

令，则，，.

于是，，进而由，得.

设是中的最大数，为中的最大数，则.

由（2）知，，于是，所以，即.

又，故，

从而，

故，所以，即.

综合①②③得，.

34．【解析】(1)因为，

由于，有，即，

所以

(2)由得，

故，

所以.

由(1)得，

又因为，所以，

综上，．

35．【解析】(1)的定义域为，．

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减．

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

当时，，即．

令，得，即．(*)

(2)；；

．

由此推测： ．(**)

下面用数学归纳法证明②．

①当时，左边右边，(**)成立．

②假设当时，(**)成立，即．

当时，，由归纳假设可得

．

所以当时，(**)也成立．

根据①②，可知(**)对一切正整数n都成立．

(3)由的定义，(**)，算术-几何平均不等式，的定义及(*)得

，即．

36．【解析】(1)．

(2)当时，（）．

下面用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立；

②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：

1）若，则，此时有

，结论成立；

2）若，则，此时有

，结论成立；

3）若，则，此时有

，结论成立；

4）若，则，此时有

，结论成立；

5）若，则，此时有

，结论成立；

6）若，则，此时有

，结论成立．

综上所述，结论对满足的自然数均成立．

37．【解析】(1)当，时，，.可得，.

(2)由，，，，及，可得

.

所以，.

38．【证明】(1)若，则，，又由题，

，，

是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，

，，，，，，

，（）．

(2)由题，，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：

关于恒成立．，

．