苏科版七年级上册第2章 有理数2.2 有理数与无理数优秀课堂检测

有理数与无理数

知识点一、有理数

 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.

1. 有理数只包括整数和分数；

2. 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数；

3. 无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等.

拓展：循环小数化成分数

 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．

 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数.

（1）纯循环小数化分数

 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：.

（2）混循环小数化分数

 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，.

例：在－0.8、3.5、、0、、3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（      ）

A. 1个   B. 2个   C. 3个   D. 4个

【解答】D

【解析】－0.8与3.5都是有限小数，所以它们都是有理数；

是分数，所以是有理数；

0是整数，所以是有理数；

π不是有理数，所以不是有理数；

3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），看似很有规律，这个数其实是无限不循环小数，所以不是有理数.

综上，有理数有－0.8、3.5、、0这四个，故选D.

知识点二、有理数的分类

 由有理数的特征，一般会有以下两种分法.

1. 按定义分

2. 按正负分

例：将下列各数填在相应的横线上.

35，－25，0，＋32.6，－10%，，，

其中，整数有                  ，非负整数有                  ，正分数有                  ，负有理数有                       .

【解答】见解析

【解析】整数有：35，－25，0；非负整数有：35，0；正分数有：＋32.6，，；负有理数有：－25，－10%，.

知识点三、无理数

1. 无理数定义及分类：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数.

2. 常见的无理数的几种类型

（1）一般的无限不循环小数，如0.32541…，3.5845661…；

（2）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）；

（3）与圆周率π有关的数，如π，

例：在3.14159，0.333…，，，3.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），中，是无理数的有                                              .

【解答】见解析

【解析】无理数有：3.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），.

巩固练习

一．选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．所有的整数都是正数 

B．整数和分数统称有理数 

C．0是最小的有理数 

D．不是正数的数一定是负数

2．在﹣1，0，1，这四个数中，属于负整数的是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

3．若a、b是不相等的无理数，则（　　）

A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数 

C．a•b一定是无理数 D．不一定是无理数

4．下列实数中，是无理数的是（　　）

A．3.14159 B．1.101010101… 

C． D．1.1010010001…

5．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．5个

6．下列说法中正确的是（　　）

A．没有最大的正数，但有最大的负数 

B．没有最小的负数，但有最小的正数 

C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数 

D．有最小的自然数，也有最小的整数

二．填空题

7．循环小数5.245245…的循环节为 　   　．

8．已知a是正整数，且是假分数，是真分数，那么a＝　   　．

9．设三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，，b的形式，则a2022+b2023的值等于 　   　．

10．给出下列各数：4.443，0，3.1159，﹣1000，，其中有理数的个数是m，非负数的个数是n，则m+n＝　   　．

11．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：

按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是　   　；数﹣201是第　   　行从左边数第　   　个数．

12．学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：“在8，﹣0.5，，0，﹣3.7这五个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说：“其中的非负数只有8和这两个．”

你认为小明的回答是否正确：　   　（填“正确”或“不正确”），理由是　   　．

三．解答题

13．某数学学习小组共有6名学生，他们计划在数学单元检测中小组的平均成绩要达到85分．检测结束后，组长在登记成绩时，以85分为基准，超过85分的分数记为正，反之记为负．具体成绩（单位：分）记录如下：

+10，﹣2，+15，+8，﹣12，﹣7．

（1）该小组6名学生的最低得分是多少分？

（2）该小组6名学生的最低得分与最高得分相差多少分？

（3）你认为该小组实际平均成绩与计划相比是超过还是不足？说明理由．

14．规定《a》表示分数a的分子、分母中数值较大的一个数，如《》＝19，又如：《》＝7．

请你按这样的规定在下面各题的横线上填入适当的数：

（1）《》＝　   　；

（2）《4》＝　   　；

（3）《》＝8，括号内最大填 　   　．

15．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：

例：将0.化为分数形式，

由于0.0.7777…，设x＝0.7777…①

则10x＝7.777…②

②﹣①得9x＝7，解得x，于是得0.．

同理可得0.，7.7+0.7．

根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）

基础训练

（1）0.　   　，8.　   　；

（2）将0.化为分数形式，写出推导过程．

迁移应用

（3）0.5　   　；（注：0.50.153153…）

探索发现

（4）若已知0.1428，则2.8571　   　．

16．把下列各数填在相应的集合中：

15，，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，﹣1.．

正数集合{　   　…}；

负分数集合{　   　…}；

非负整数集合{　   　…}；

有理数集合{　   　…}．

17．观察下列两个等式：221，551，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．

（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是 　   　；

（2）若（a，b）是“共生有理数对”，则（﹣b，﹣a） 　   　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；

（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 　   　；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）

（4）若（a，2）是“共生有理数对”，求a的值．

18．将下面一组数填入到图中相应的圈内：

﹣0.6，﹣8，+2.1，﹣809，，89.9，0.4，9

19．阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如：{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素

所以{3，﹣2}是条件集合；例如：{﹣2，9，8}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8}是条件集合．

（1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？

（2）集合{，，}是否是条件集合？

（3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值．

20．操作题：公元初，中美洲玛雅人使用的一种数字系统与其他计数方式都不相同，它采用二十进位制但只有3个符号，用点“•”划“”、卵形“”来表示我们所使用的自然数，如自然数1～19的表示如图，另外在任何数的下方加一个卵形，就表示把这个数扩大到它的20倍，如表中20和100的表示．

（1）玛雅符号表示的自然数是 　   　；

（2）请你在右边的方框中画出表示自然数280的玛雅符号：．