数学七年级上册3.2 代数式精品综合训练题

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代数式
知识点一、代数式
1. 代数式的定义：像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式.
带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式.
2. 代数式的书写：
（1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写；
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数；
（5）除法运算要用分数线；
（6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位.
例：下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　）
A． B． C． D．2y÷z
【解答】A
【解析】A、符合代数式书写规则．
B、不符合代数式书写规则，应该为；
C、不符合代数式书写规则，应该为；
D、不符合代数式书写规则，应改为；
故选A．
知识点二、单项式
1. 单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
（1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算；
（2）分母中含有字母的的式子不是单项式.
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0.
例：若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为　　．
【解答】0
【解析】根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9，
解得：m＝﹣1，n＝1，
则m+n＝﹣1+1＝0．
故答案为0．
知识点三、多项式
1. 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；
2. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式.
3. 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出；
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.
4. 升幂排列与降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
例：多项式2a3b+3b﹣1是　　次　　项式，其中常数项为　 　．
【解答】四；三；﹣1
【解析】多项式2a3b+3b﹣l是四次三项式，其中常数项为﹣1，
故答案为四；三；﹣1．
知识点四、整式
单项式与多项式统称为整式.
单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立.
分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
例：在①1﹣a；②；③；④；⑤；⑥（x+1）（x+2）＝0中，　 　是整式．（填写序号）
【解答】①②④
【解析】①1﹣a；②；③；④；⑤；⑥（x+1）（x+2）＝0中①1﹣a；②；④是整式．
故答案为①②④．
知识点五、列代数式及代数式的意义
1. 列代数式：在解决实际问题时，把问题中的数量关系用代数式表示出来.
（1）抓住关键字词，如“大”、“小”、“多”、“少”、“积”、“差”等；
（2）理清运算顺序，按照“先读先写”的顺序列式；
（3）正确运用括号，先括号内，后括号外；先小括号，再中括号，最后大括号.
2. 代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义.
例：第十三届全国人大于2019年3月4日召开新闻发布会，在发布会上两名记者记录同一份文稿，记者甲单独记录需要a小时完成，记者乙单独记录需要b小时完成，甲、乙两名记者合作，一起完成这项工作需要 　小时．
【解答】
【解析】由题意可得：．
故答案为．

巩固练习
一．选择题
1．下列各式中，不是整式的是（　　）
A．3a B．12x C．0 D．x+y
【分析】根据单项式与多项式统称为整式，根据整式及相关的定义解答即可．
【解答】解：A、3a是整式，不符合题意；
B、12x是分式，不是整式，符合题意；
C、0是整式，不符合题意；
D、x+y是整式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的相关的定义，解决此题的关键是熟记整式的相关定义．
2．若长方形的边长为n，宽为2n﹣1．则此长方形的面积为（　　）
A．4n2+2n B．4n2﹣1 C．2n2﹣n D．2n2﹣2n
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，即可列出式子．
【解答】解：长方形的面积为：n（2n﹣1）＝2n2﹣n，
故选：C．
【点评】本题主要考查列代数式，解答的关键是熟记长方形的面积公式．
3．下列说法不正确的是（　　）
A．a+2b是多项式
B．﹣6是单项式
C．单项式﹣3x2y3的次数是5
D．﹣πx2的次数是3
【分析】依据单项式、多项式的相关概念回答即可．
【解答】解：A、a+2b是多项式，正确，与要求不符；
B、﹣6是单项式，正确，与要求不符；
C、单项式﹣3x2y3的次数是5，正确，与要求不符；
D、﹣πx2的次数是2，故D错误，与要求相符．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是单项式、多项式的相关概念，掌握相关知识是解题的关键．
4．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（　　）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【分析】直接利用乙的单价×乙的本数＝乙的费用，进而得出答案．
【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本数是解题关键．
5．按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（　　）
A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn
【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数是一些连续的奇数，x的指数是一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式．
【解答】解：∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式系数和字母指数的变化特点．
6．如图是用黑白两种颜色的正六边形地面砖铺成的图案，依此规律，第n个图案中有（　　）个白色地面砖（用含有n的代数式表示）．

A．n B．4n﹣2 C．4n+2 D．4n+6
【分析】分析出第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻，第二个图形增加1个黑色六边形与4个白色六边形，即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形，⋯则第n个图案中共有白色六边形6+4×（n﹣1）＝（4n+2）个．
【解答】解：根据题意分析可得：
第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻，
第二个图形增加1个黑色六边形与4个白色六边形，
即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形；
⋮
则第n个图案中共有白色六边形6+4×（n﹣1）＝（4n+2）个．
即第n个图案中有白色地面砖（4n+2）块．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型中图形的变化，解题关键是分析出每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形．
7．单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（　　）
A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6
【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
【解答】解：单项式﹣2x2yz3的系数是﹣2，次数是2+1+3＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了单项式，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．
8．原来花100元能购买某种糖果m千克，由于成本上涨，糖果涨价10%，那么涨价后花100元能买到糖果（　　）
A．1011m千克 B．910m千克 C．111m千克 D．110m千克
【分析】先求出某种糖果的单价，再求出涨价10%的单价，再根据数量＝总价÷单价列出代数式即可求解．
【解答】解：依题意有：
100÷[100m×（1+10%）]
＝100÷110m
＝100×m110
=1011m（千克）．
故选：A．
【点评】此题考查了列代数式，列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．
9．将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（　　）

A．98 B．100 C．102 D．104
【分析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶数为90，得出第10行第5个数即可．
【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出第9行最后一个数字是解题的关键．
10．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．若用有序数对（a，b）表示第a行，从左往右数第b个位置上的分数．如（3，2）表示分数16，则（8，7）表示的分数是（　　）

A．18 B．156 C．172 D．142
【分析】观察图表寻找规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一个分数的分母为行号，如第n行为1n，第二个的分母为1n(n-1)；每行首尾对称．据此规律解答．
【解答】解：观察图表可知以下规律：
①是第几行就有几个分数；
②每行每个分数的分子都是1；
③每行第一个分数的分母为行号，如第n行为1n，第二个的分母为1n(n-1)；
④每行首尾对称．
故（8，7）表示第8行，从右到左第2个数，即18×7=156，
故选：B．
【点评】本题属于规律型，考查数字的规律，观察图表寻找规律是解题的关键．
二．填空题
11．多项式3x2y2﹣2xy2-13xy的二次项系数为 　-13　．
【分析】直接利用多项式的定义得出二次项进而得出答案．
【解答】解：∵多项式3x2y2﹣2xy2-13xy的二次项是-13xy，
∴二次项系数为：-13．
故答案为：-13．
【点评】此题主要考查了多项式，正确找出二次项是解题的关键．
12．一个圆的半径是rcm，如果它的半径增加3cm，那么它的面积增加 　6πR+9π　cm2．
【分析】半径为Rcm的圆的面积是S1＝πR2，若这个圆的半径增加3cm，则其面积是S2＝π（R+3）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，计算即可．
【解答】解：∵S2﹣S1＝π（R+3）2﹣πR2，
＝6πR+9π，
∴它的面积增加（6πR+9π）cm2．
故答案为：6πR+9π
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式．
13．某商品原价为a元，如果按原价的七五折销售，那么售价是 　0.75a　元．（用含字母a的代数式表示）
【分析】根据实际售价＝原价×折扣10即可得解．
【解答】解：根据题意知售价为0.75a元．
故答案为：0.75a．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系．
14．某商店经销一种“84消毒液”，每箱进价为a元，该商店将进价提高40%后作为零售价销售，则这时这种“84消毒液”的零售价为 　1.4a　元．（用含a的式子表示）

【分析】根据题意可以得到售价＝进价×（1+40%），依此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，这种“84消毒液”的零售价为：a×（1+40%）＝1.4a（元）．
故答案为：1.4a．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
15．如图，王老师把家里的wifi密码设置成了数学问题．小明同学来王老师家做客，看到wifi图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么他输入的密码是 　yang8888　．

【分析】根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．
【解答】解：（x2y）4•（y2z44）2＝x8y4•y4z88＝x8y8z88，
∴阳⊕⌊（x2y）4•（y2z44）2⌋＝yang8888．
故答案为：yang8888．
【点评】此题考查了幂的运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键．
16．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 　49　．



【分析】从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，
第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，
第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，
..．
∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，
故答案为：49．




【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
17．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
用含字母x和n的代数式表示第n次运算的结果yn＝　2nx(2n-1)x+1　．
【分析】根据题目中的程序可以分别计算出y1，y2，y3，y4，...，然后根据规律得出yn．
【解答】解：∵y1=2xx+1，
∴y2=2y1y1+1=2×2xx+12xx+1+1=4x3x+1，
同理：y3=8x7x+1，
y4=16x15x+1，
..．
∴yn=2nx(2n-1)x+1．
故答案为：2nx(2n-1)x+1．
【点评】本题考查数字变化和列代数式，解答本题的关键是通过计算找出规律．
18．如下表是某面包店的价目表．小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个，他挑选了香蒜面包．如果小明原本的结账金额为a元，则小明后来的结账金额为 　a或（a+1.5）或（a+2.5）　元．（用含a的式子表示）
面包品种
甜甜圈
芒果面包
香蒜面包
切片面包
奶香片
奶油面包
单价
5元
6元
7.5元
11元
12元
12元
【分析】分小明原本拿了4个面包最低价钱是5元或6元或大于等于7.5元进行讨论即可求解．
【解答】解：小明原本拿了4个面包最低价钱是5元，小明后来的结账金额为a+7.5﹣5＝（a+2.5）元；
或小明原本拿了4个面包最低价钱是6元，小明后来的结账金额为a+7.5﹣6＝（a+1.5）元；
或小明原本拿了4个面包最低价钱是大于等于7.5元，小明后来的结账金额为a元．
故小明后来的结账金额为a或（a+1.5）或（a+2.5）元．
故答案为：a或（a+1.5）或（a+2.5）．
【点评】本题考查了列代数式，关键是理解店内优惠活动，注意分类思想的应用．
三．解答题
19．一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本：如果每人分5本，那么最后一人分不到3本．
（1）书有 　（3x+8）　本（用含x的式子表示）．
（2）按后一种分法，最后一人分到 　（﹣2x+13）　本（用含x的式子表示）．
（3）有多少本书？有多少人？
【分析】（1）根据一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本即可得出答案；
（2）用书的总数减去（x﹣1）和人领的书即可得出答案；
（3）根据最后一人分不到3本列不等式组，根据x为整数求出x的值，从而得到书的总数．
【解答】解：（1）∵一批书分给x名同学，如果每人分3本，那么余8本，
∴书有（3x+8）本，
故答案为：（3x+8）；
（2）3x+8﹣5（x﹣1）
＝3x+8﹣5x+5
＝﹣2x+13，
故答案为：（﹣2x+13）；
（3）根据题意得：0＜﹣2x+13＜3，
解得：5＜x＜6.5，
∵x为整数，
∴x＝6，
∴3x+8
＝3×6+8
＝18+8
＝26，
答：有26本书，有6个人．
【点评】本题考查了列代数式，根据最后一人分不到3本列出不等式组是解题的关键．
20．某花卉基地购买了一批水培植物营养液，已知甲种营养液每瓶2L，乙种营养液每瓶3L．
（1）若花卉基地购买了甲种营养液m箱（每箱12瓶），乙种营养液n箱（每箱10瓶），共QL．用含m，n的式子表示Q；
（2）若购进甲种营养液6×103瓶，乙种营养液5×104瓶，用科学记数法表示Q．
【分析】（1）分析题目，弄懂题意即可根据题意列出代数式；
（2）将数字代入，再用科学记数法表示出即可．
【解答】解：（1）由题意可得：Q＝2×12m+3×10n＝24m+30n；
（2）∵甲种营养液6×103瓶，乙种营养液5×104瓶，代入得：
∴Q＝2×6×103+3×5×104＝1.62×105．
【点评】本题考查列代数式和用科学记数法表示较大的数，弄清题意列出代数式和掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
21．观察以下规律：
①52﹣32＝42；
②132﹣52＝122；
③252﹣72＝242；
④412﹣92＝402；
……
（1）根据规律写出第5个等式为 　612﹣112＝602　；
（2）猜想：第n个等式，请你给出证明．
【分析】（1）通过观察即可求解；
（2）根据所给式子，可得 第n个式子为（2n2+2n+1）2﹣（2n+1）2＝（2n2+2n）2，再予以证明即可．
【解答】（1）解：由题意可得第5个式子为612﹣112＝602，
故答案为：612﹣112＝602；
（2）证明：（2n2+2n+1）2﹣（2n+1）2＝（2n2+2n）2；
左边＝（2n2+2n+1+2n+1）（2n2+2n+1﹣2n﹣1）
＝（2n2+4n+2）（2n2）
＝4n2（n+1）2
＝（2n2+2n）2＝右边．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给是式子，总结式子的一般规律，并予以证明是解题的关键．
22．如图所示，某数学活动小组用计算机编程编制了一个程序进行有理数混合运算，即输入一个有理数，按照程序顺序运算，可输出计算结果，其中“□“表示一个有理数．

（1）已□表示3．
①若输入的数为﹣3，求输出结果；
②若输出的数为12，求输入的数．
（2）若输入的数为a，□表示数b，当输出结果为0时，用a表示b的式子为：　b＝﹣2a﹣1．　．
【分析】（1）①根据程序进行计算即可；②设可输入的数为x，利用程序设计列出方程，求解即可；
（2）根据程序设计列出等式，整理即可．
【解答】解：（1）①当输入的数为﹣3时，输出结果为：(-3)×(-4)2+(-1)-3=2；
②设输入的数为x时，则
-4x2+(-1)-3=12，
∴x＝﹣8，
∴输入的数为﹣8．
（2）∵输入的数为a，□表示数b，当输出结果为0，
∴-4a2+（﹣1）﹣b＝0，
∴b＝﹣2a﹣1．
故答案为：b＝﹣2a﹣1．
【点评】本题主要考查对程序设计的理解和有理数的运算顺序，解题关键是正确理解程序设计所体现的有理数运算顺序．
23．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：　（m﹣n）2　；
方法2：　（m+n）2﹣4mn　；
（2）直接写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn　；
（3）若a+b＝7，ab＝6，求a﹣b的值．

【分析】（1）利用正方形的面积公式以及大正方形的面积减去四个矩形的面积就是阴影部分的面积就可以列式求解；
（2）根据两种表示法都是表示阴影部分的面积，则二者相等，即可求解；
（3）利用（2）的结论即可求解．
【解答】解：（1）方法1：（m﹣n）2；方法2：（m+n）2﹣4mn．
故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
（2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）∵a+b＝7，ab＝6，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝49﹣24＝25，
∴a﹣b＝±5．
【点评】本题考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，观察图形，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
24．如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．
（1）求AB的长；（用含m的代数式表示）
（2）若AB＝2BC，求m．

【分析】（1）利用两点间的距离公式可以表示出AB的长；
（2用m的代数式分别表示BC和AB，再列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝（m+1）﹣（2﹣m）＝2m﹣1；
（2）由题意得：AB＝2m﹣1，BC＝（2﹣m）﹣（9﹣4m）＝3m﹣7，
∵AB＝2BC，
∴2m﹣1＝2（3m﹣7），
∴m=134．
【点评】本题主要考查了数轴与列代数式，解题的关键是掌握两点间的距离公式．
25．为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖，根据需要购买了100件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍多10，各种奖品的单价如表所示：

一等奖奖品
二等奖奖品
三等奖奖品
单价/元
22
15
5
数量/件
x
　3x+10　
　90﹣4x　
（1）请用含x的代数式把表格补全；
（2）请用含x的代数式表示购买100件奖品所需的总费用；
（3）若一等奖奖品购买了12件，则我县关工委共花费多少元？
【分析】（1）根据表内信息，一等奖x件，由题意，二等奖是（3x+10）件，三等奖是[100﹣x﹣（3x+10）]件，即（90﹣4x）件，根据二、三等奖件数填表即可；
（2）根据“单价×数量＝总价”分别求出购买一、二、三等奖的费用，购买一、二、三等奖的费用之和就是购买100件奖品所需的总费用；
（3）把x＝12代入（2）中所求代数式，计算即可求解．
【解答】解：（1）∵一等奖奖品购买x件，设立了一、二、三等奖，根据需要购买了100件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍多10，
∴二等奖奖品购买（3x+10）件，三等奖奖品购买[100﹣x﹣（3x+10）]＝（90﹣4x）件，
填表如下：

一等奖奖品
二等奖奖品
三等奖奖品
单价/元
22
15
5
数量/件
x
3x+10
90﹣4x
故答案为：3x+10，90﹣4x；

（2）购买100件奖品所需总费用：
22x+15（3x+10）+5（90﹣4x）
＝22x+45x+150+450﹣20x
＝（47x+600）元．
答：购买100件奖品所需的总费用为（47x+600）元；

（3）当x＝12时，
47x+600
＝47×12+600
＝1164（元）．
答：若一等奖奖品购买了12件，则我县关工委共花费1164元．
【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是读懂题意，根据图表给出的数据得出二等奖和三等奖的数量．
26．【观察思考】
将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：

第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆；第3个图形有16个小圆，……按此规律依次递增
【规律总结】
（1）第4个图形有 　24　个小圆，第5个图形有 　34　个小圆；
（2）第n个图形有 　（n2+n+4）　个小圆（用含n的代数式表示）；
【问题解决】
（3）用310个小圆摆成第n个图形，问：n是多少？
【分析】（1）分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16，根据规律可得第4个图形和第5个图形中小圆的个数；
（2）由（1）中得到的数据总结的规律可得答案；
（3）根据（2）中的式子列出方程可得n的值．
【解答】解：（1）由题意可知第1个图形有小圆4+2＝6个；
第2个图形有小圆4+（2+4）＝10个；
第3个图形有小圆4+（2+4+6）＝16个；
第4个图形有小圆4+（2+4+6+8）＝24个；
第5个图形有小圆4+（2+4+6+8+10）＝34个；
故答案为：24，34；
（2）第n个图形有小圆4+（2+4+6+8+…+2n）＝（n2+n+4）个，
故答案为：（n2+n+4）；
（3）由题意得，n2+n+4＝310，
解得n＝17或﹣18（舍去），
答：n是17．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
27．利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？

（1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的12、14、18、…、12n，根据图示我们可以知道：12+14+18+116+⋯+12n=　1-12n　．（用含有n的式子表示）
（2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的23，根据图示：
计算：23+29+227+⋯+23n=　1-13n　．（用含有n的式子表示）
（3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：
计算：13+29+427+881+⋯+2n-13n=　1-2n3n　．（用含有n的式子表示）
【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可；
（2）根据题干给出图形，依次取正方形面积的23，29，227⋯找出规律即可；
（3）根据题干给出图形，依次取正方形面积的13，29，427⋯找出规律即可．
【解答】解：（1）12+14+18+116+⋯+12n=1-12n．
（2）23+29+227+⋯+23n=1-13n-1×（1-23）＝1-13n．
（3）13+29+427+881+⋯+2n-13n=1-2n3n．
故答案为：1-12n；1-13n；1-2n3n．
【点评】本题考查的图形的变化类，根据题干给出的图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．