数学苏科版4.2 解一元一次方程精品同步训练题

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解一元一次方程
知识点一、方程的解和解方程
1. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
2. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程.
（1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；
（2）方程的解是通过解方程求得的.
3. 方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）.
4. 检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解.
例：判断是不是方程的解.
【解答】见解析
【解析】将代入方程的左边，得方程左边，
将代入方程的右边，得方程右边，
∵左边＝右边，∴是方程的解.
知识点二、等式及等式的基本性质
1. 等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式.
2. 等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式.
若，那么.
3. 等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式.
若，那么；若，那么.
4. 等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系.
5. 等式的两个性质：
（1）等式的传递性：若，，则；
（2）等式的对称性：若，则.
例：下列各式中，变形正确的是（ ）
A．若a=b，则a+c=b+c B．若2x=a，则x=a﹣2
C．若6a=2b，则a=3b D．若a=b+2，则3a=3b+2
【解答】A
【解析】A选项正确，符合等式的基本性质1；
B选项错误，若2x=a，则；
C选项错误，若6a=2b，则a=b；
D选项错误，若a=b+2，则3a=3b+6．
故选A．
知识点三、解方程
1. 利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下：
（1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式；
（2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解.
（3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确.
2. 解一元一次方程
（1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为.
（2）解一元一次方程的步骤如下：
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．
不要把分子、分母写颠倒
PS：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.
例：解方程，并写出必要的理论依据.
【解答】见解析
【解析】过程如下：
去分母，得（等式的基本性质2）
去括号，得（乘法分配律）
移项，得（等式的基本性质1）
合并同类项，得
系数化为1，得（等式的基本性质2）

巩固练习
一．选择题
1．下列方程中，解为x＝1的方程是（　　）
A．2x﹣1＝1 B．2x＝1 C．3x﹣4＝x D．3x+6＝0
【分析】把x＝1代入每个方程，当左边等于右边时，x＝1是该方程的解；当左边不等于右边时，x＝1不是该方程的解，进行判断即可．
【解答】解：A、把x＝1代入方程得：左边＝2×1﹣1＝1，左边＝右边，故本选项符合题意；
B、把x＝1代入方程得：左边＝2×1＝2，左边≠右边，故本选项不符合题意；
C、把x＝1代入方程得：左边＝3×1﹣4＝﹣1，右边＝1，左边≠右边，故本选项不符合题意；
D、把x＝1代入方程得：左边＝3×1+6＝9，左边≠右边，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．解方程x+12-x-33=1，以下去分母正确的是（　　）
A．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 B．3（ x+1）﹣2（x﹣3）＝6
C．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝3 D．3（x+1）﹣2x+3＝6
【分析】根据等式的性质，把方程x+12-x-33=1的两边同时乘6，判断出去分母正确的是哪个即可．
【解答】解：∵x+12-x-33=1，
∴（x+12-x-33）×6＝1×6，
∴3（ x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用．
3．下列方程的变形中，正确的是（　　）
A．由﹣2x＝9，得x=-29
B．由13x＝0，得x＝3
C．由7＝﹣2x﹣5，得2x＝5﹣7
D．由1+12x＝﹣3x，得x+6x＝﹣2
【分析】A、方程x系数化为1，求出解，即可作出判断；
B、方程x系数化为1，求出解，即可作出判断；
C、方程移项得到结果，即可作出判断；
D、方程去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、由﹣2x＝9，得：x=-92，不符合题意；
B、由13x＝0，得：x＝0，不符合题意；
C、由7＝﹣2x﹣5，得2x＝﹣5﹣7，不符合题意；
D、由1+12x＝﹣3x，得2+x＝﹣6x，即x+6x＝﹣2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
4．若x＝2是方程2x+a﹣5＝0的解，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9
【分析】把x＝2代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x＝2代入方程得：4+a﹣5＝0，
解得：a＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使图③的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置（　　）

A．3个〇 B．4个〇 C．5个〇 D．6个〇
【分析】题目中的方程实际是说明了两个相等关系：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z．根据第一个天平得到：5x+2y＝x+3z；根据第二个天平得到：3x+3y＝2y+2z，把这两个式子组成方程组，解这个关于y，z的方程组即可．
【解答】解：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z．
根据题意得到：5x+2y=x+3z3x+3y=2y+2z，
解得：y=xz=2x，
第三图中左边是：x+2y+z＝5x，因而需在它的右盘中放置5个〇．
故选：C．
【点评】本题的难点是解关于y，z的方程，解题的基本思想是消元．
6．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若ac=bc，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若-13x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若ac=bc，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、-13x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
7．若代数式4x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是（　　）
A．1 B．32 C．23 D．2
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：4x﹣5＝2x﹣1，
移项得：4x﹣2x＝﹣1+5，
合并得：2x＝4，
系数化为1得：x＝2．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
8．有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是（　　）
A．③④ B．③⑥ C．③⑤ D．④⑤
【分析】由①+②比③+④重可知③与④中至少有一个轻球，由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．
【解答】解：∵①+②比③+④重，
∴③与④中至少有一个轻球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧轻，
∴⑤与⑥至少有一个轻球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．
故选：D．
【点评】本题考查的是等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键．
二．填空题
9．方程x+12=2-x4的解是 　x＝0　．
【分析】方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：x+12=2-x4，
去分母，得2（x+1）＝2﹣x，
去括号，得2x+2＝2﹣x，
移项，得2x+x＝2﹣2，
合并同类项，得3x＝0，
系数化为1，得x＝0．
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
10．已知方程3x﹣1＝2x+1和方程2x+a＝3a+2的解互为倒数，那么a的值是 　-12　．
【分析】求出第一个方程的解，确定出其倒数，代入第二个方程计算即可求出a的值．
【解答】解：方程3x﹣1＝2x+1的解是x＝2，
∴两个方程的解互为倒数，
∴把x=12代入2x+a＝3a+2，得1+a＝3a+2，
解得：a=-12．
故答案为：-12．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．已知x＝2022是关于x的方程x﹣2m＝2的解，则m＝　1010　．
【分析】把x＝2022代入方程求出m的值即可．
【解答】解：把x＝2022代入方程得：2022﹣2m＝2，
解得：m＝1010，
故答案为：1010．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12．若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m+n的值是 　7　．
【分析】先利用方程解的定义得关于m，n的代数式，再整体代入求解．
【解答】解：由题意得：3m﹣n＝3，
∴﹣3m+n＝﹣3，
∴原式＝10﹣3＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了方程的解的概念，整体代入法是解题的关键．
13．已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新运算abcd|=ad-bc，如132-5|=1×(-5)-3×2=-11，那么当24(x+1)7|=22时，则x的值为 　﹣3　．
【分析】首先根据abcd|=ad﹣bc，由24(x+1)7|=22，可得：2×7﹣4（x+1）＝22；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．
【解答】解：∵abcd|=ad﹣bc，由24(x+1)7|=22，
∴2×7﹣4（x+1）＝22，
去括号，可得：14﹣4x﹣4＝22，
移项，可得：﹣4x＝22﹣14+4，
合并同类项，可得：﹣4x＝12，
系数化为1，可得：x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
14．如果关于x的方程12022x+2021＝2x+m的解是x＝2023，则关于y的方程12022（y+1）+2021＝2（y+1）+m的解是y＝　2022　．
【分析】根据关于x的方程12022x+2021＝2x+m的解是x＝2023得出y+1＝2023，再求出y即可．
【解答】解：∵关于x的方程12022x+2021＝2x+m的解是x＝2023，
∴关于y的方程12022（y+1）+2021＝2（y+1）+m中的y+1＝2023，
解得：y＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出y+1＝2023是解此题的关键．
15．按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 　1　．

【分析】不知x的正负，因此需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：当x＞0时，1x+1＝2，
解并检验得x＝1．
当x≤0时，2x﹣1＝2，
解得x＝1.5，
∵1.5＞0，舍去．
所以x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题中的字母表示的数没有明确告知正负数时，需要分类讨论，再代入解方程，注意：解必须在条件下才成立．
16．课本习题中有一方程x-□2=x+3其中一个数字被污渍盖住了，书后该方程的答案为x＝﹣7，那么□的数字应是 　1　．
【分析】设□的数字为a，把x＝﹣7代入得出关于a的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设□的数字为a，则x-a2=x+3，
把x＝﹣7代入得：-7-a2=-7+3，
解得：a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得出关于a的方程是解决问题的关键．
三．解答题
17．解方程：
（1）3（x﹣2）＝2﹣5（x﹣2）；
（2）x+24-2x-36=1．
【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣6＝2﹣5x+10，
移项得：3x+5x＝2+10+6，
合并得：8x＝18，
解得：x=94；
（2）去分母得：3（x+2）﹣2（2x﹣3）＝12，
去括号得：3x+6﹣4x+6＝12，
移项得：3x﹣4x＝12﹣6﹣6，
合并得：﹣x＝0，
系数化为1得：x＝0．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．
18．若关于x的方程2x+5＝a的解和关于x的方程与x-43-2=a-12的解相同，求字母a的值，并写出方程的解．
【分析】先分别解两个方程，再根据同解方程的意义可得a-52=3a+172，从而求出a的值，再把a的值代入x=a-52或x=3a+172，进行计算即可解答．
【解答】解：2x+5＝a，
2x＝a﹣5，
x=a-52，
x-43-2=a-12，
2（x﹣4）﹣12＝3（a﹣1），
2x＝3a+17，
x=3a+172，
由题意得：
a-52=3a+172，
解得：a＝﹣11，
∴x=-11-52=-8，
∴字母a的值为﹣11，方程的解为x＝﹣8．
【点评】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的意义是解题的关键．
19．某同学在对方程2x+12-5x+a4=1去分母时，方程右边的1没有乘4，这时方程的解为x＝2，试求a的值，并求出原方程正确的解．
【分析】某同学在对方程2x+12-5x+a4=1去分母时，方程右边的1没有乘4，这时方程的解为x＝2，说明x＝2是方程2（2x+1）﹣（5x+a）＝1的解，把x＝2代入求得a的值即可．再把a的值代入原方程，求出原方程正确的解．
【解答】解：根据题意得，x＝2是方程2（2x+1）﹣（5x+a）＝1的解，
∴把x＝2代入2×（2×2+1）﹣（5×2+a）＝1，
解得a＝﹣1．
把a＝﹣1代入到原方程中得2x+12-5x-14=1，
整理得，2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝4，
解得x＝﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解及解法，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
20．用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2+2ab+a．如：1★3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）（﹣3）★2＝　﹣27　．
（2）若（a2★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
【分析】（1）直接利用运算公式计算，进而得出答案；
（2）利用已知运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣3）★2＝（﹣3）×22+2×（﹣3）×2﹣3＝﹣27；
故答案为：﹣27；

（2）根据题意得：
a2★3=a2★32+2×a2×3+a2
=9a2+3a+a2
＝8a，
∴（a2★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝8a×（﹣2）2+2×8a×（﹣2）+8a＝16，
整理得8a＝16，
解得：a＝2．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程，正确运用相关运算公式是解题关键．
21．阅读下面方程的求解过程：
解方程：3x-12=4x+25-1．
解15x﹣5＝8x+4﹣1，（第一步）15x﹣8x＝4﹣1+5，（第二步）7x＝8，（第三步）x=78．（第四步）
上面的求解过程从第 　一　步开始出现错误；这一步错误的原因是 　方程右边的﹣1漏乘10　；此方程正确的解为 　x=-17　．
【分析】根据一元一次方程的解法和步骤，逐步进行判断即可．
【解答】解：求解过程从第一步开始出现错误；这一步错误的原因是方程的右边的﹣1漏乘10，
正确的解法如下：
解方程：3x-12=4x+25-1．
15x﹣5＝8x+4﹣10，
15x﹣8x＝4﹣10+5，
7x＝﹣1，
x=-17，
故答案为：一，方程右边的﹣1漏乘10，x=-17．
【点评】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法，理解等式的性质是正确解答的前提．
22．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则关于x的方程（a+b）x²+3cd（x+1）-7x-54=3的解为多少？
【分析】根据题意得：a+b＝0，cd＝1，代入原方程，解出即可．
【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，
原方程化为：3（x+1）-7x-54=3，
12（x+1）﹣（7x﹣5）＝12，
12x+12﹣7x+5＝12，
12x﹣7x＝12﹣12﹣5，
5x＝﹣5，
x＝﹣1．
【点评】本题考查了方程的解，相反数，倒数知识点的综合运用，掌握解方程的方法，根据题意列等式及整体代入原方程是解题关键
23．对a、b、c、d规定一个运算法则为：abcd=ad-bc（等号右边是普通的减法运算）．
（1）计算：1234=　﹣2　，2m-n-42m+n=　8m﹣2n　；
（2）求出满足等式x-2x-116=11-x121的x的值．
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义列方程求解即可．
【解答】解：（1）1234=1×4﹣2×3＝﹣2，2m-n-42m+n=2（2m+n）﹣（m﹣n）×（﹣4）＝8m﹣2n，
故答案为：﹣2，8m﹣2n；
（2）由题意得，x-26+x=1-1-x2，
解得x=54．
【点评】本题主要考查新定义及一元一次方程的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键．
24．一题多解是培养我们发散思维的重要方法，方程“6（4x﹣3）+2（3﹣4x）＝3（4x﹣3）+5”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设4x﹣3＝y．
（1）则原方程可变形为关于y的方程：　6y﹣2y＝3y+5　，通过先求y的值，从而可得x＝　2　；
（2）利用上述方法解方程：3（x﹣1）-13（x﹣1）＝2（x﹣1）-12（x+1）．
【分析】（1）设4x﹣3＝y，用换元法把原方程化为6y﹣2y＝3y+5，解出方程；
（2）设x﹣1＝y，则原方程可变形为关于y的方程：3y-13y＝2y-12（y+2），解出方程即可．
【解答】解：（1）假设4x﹣3＝y，则原方程可变形为关于y的方程：6y﹣2y＝3y+5，
解得y＝5，
∴4x﹣3＝5，
解得x＝2；
故答案为：6y﹣2y＝3y+5，2；
（2）设x﹣1＝y，则原方程可变形为关于y的方程：3y-13y＝2y-12（y+2），
去括号，得3y-13y＝2y-12y﹣1，
移项，得3y-13y﹣2y+12y＝﹣1，
合并同类项，得76y＝﹣1，
系数化为1，得y=-67，
∴x﹣1=-67，
解得x=17．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握换元法解方程是解题关键．
25．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 　②　．
（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x-2x-2a3=a+1的“友好方程”，请求出a的值．
【分析】（1）根据友好方程定义判断．
（2）根据友好方程的条件列出关于a的方程．
【解答】解：（1）方程①的解为：y＝3，方程②的解为：y＝±2，
方程3x﹣2x﹣102＝0的解为：x＝102．
∵3+102≠100，﹣2+102＝100．
∴方程①不是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程，方程②是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程．
故答案为：②．
（2）∵|2y﹣2|+3＝5．
|2y﹣2|＝2，
∴2y﹣2＝2或2y﹣2＝﹣2．
∴y＝2或y＝0．
∵方程x-2x-2a3=a+1，
∴3x﹣2x+2a＝3a+3．
∴x＝a+3．
∵两个方程是友好方程，
∴2+a+3＝100或0+a+3＝100．
∴a＝95或a＝97．
【点评】本题考查新定义解决数学问题，理解新定义是求解本题的关键．