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初中数学苏科版七年级上册6.2 角精品达标测试
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这是一份初中数学苏科版七年级上册6.2 角精品达标测试，文件包含同步讲义苏科版数学七年级上册62角原卷版docx、同步讲义苏科版数学七年级上册62角解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
角
知识点一、角
1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
2. 动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边.
3. 平角与周角
平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；
4. 两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.
5. 角的表示方法
表示方法
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
∠AOB或∠BOA
任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间
用一个大写字母表示
∠O
当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示
用数字表示
∠1
在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用
用希腊字母表示
PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.
例：如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】A
【解析】A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；
B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
故选A．
知识点二、角的度量单位和换算
1. 角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角.
2. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
3. 角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点：
（1）对中：顶点对准量角器的中心；
（2）重合：一边与量角器的零刻度线重合；
（3）读数：读出另一边所在线对应的度数.
例：用度、分、秒表示21.24°为（ ）
A．21°14'24″ B．21°20'24″ C．21°34' D．21°
【解答】A
【解析】21.24°＝21°+0.24×60′＝21°+14′+0.4×60″＝21°14′24″，
故选A．
知识点三、比较角的大小
1. 度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；
2. 叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.
知识点四、角的和、差
1. 两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差；
2. 在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60.
例：如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．45°
【解答】B
【解析】∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，
∴∠AOB=22+3∠AOC=25×75°＝30°，
故选B．
知识点五、角的画法
1. 用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角.
画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角.
2. 用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角.
3. 用圆规和直尺作一个角等于已知角
（1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；
（3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’；
（4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角.
知识点六、角的平分线
如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.
PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线.
如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部；
例：如图，BO是∠AOC的平分线，则：
（1）∠ ＝∠ ；
（2）∠AOB＝∠ ；
（3）∠AOC＝2∠ ＝2∠ ．
【解答】AOB，BOC，AOB，BOC
【解析】（1）∠AOB＝∠BOC；
（2）∠AOB＝∠BOC；
（3）∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC．
故答案为AOB，BOC，AOB，BOC．
知识点六、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.
1. 正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
2. 方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
3. 在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
4. 图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点.
例：如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上
B．学校在图书馆南偏东30°方向上
C．学校在嘉琪家南偏东60°方向上
D．图书馆到学校的距离为5km
【解答】D
【解析】A、嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上，说法正确；
B、学校在图书馆南偏东30°方向上，说法正确；
C、学校在嘉琪家南偏东60°方向上，说法正确；
D、图书馆到学校的距离为：62-32=33（km），说法错误．
故选D．
补充：钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.
巩固练习
一．选择题（共10小题）
1．若α是锐角，β是钝角，则计算15（α+β）的结果可能是（ ）
A．15° B．36° C．60° D．75°
【分析】根据α和β的范围，判断出15（α+β）即可．
【解答】解：由题意可知，
0°＜α＜90°，
90°＜β＜180°，
∴90°＜α+β＜270°，
∴22.5°＜15（α+β）＜54°，
故选：B．
【点评】本题考查角的计算，了解锐角和钝角的范围是解答本题的关键．
2．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（ ）
A．75° B．120° C．135° D．150°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分，
30°×（4+12）＝135°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
3．如图，B地在A地的（ ）
A．北偏东60°，相距200m处 B．北偏西60°，相距200m处
C．南偏西60°，相距200m处 D．北偏东30°，相距200m处
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如上图，B地在A地的北偏西60°，相距200m处，
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．将一副常规的三角尺如图放置，则图中∠ACB的度数是（ ）
A．75° B．95° C．15° D．120°
【分析】由题意可得∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，再由角的和差进行求解即可．
【解答】解：由题意得：∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
则∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝15°．
故选：C．
【点评】本题主要考查角的计算，解答的关键结合图形分析清楚各角之间的关系．
5．如果在A处看B的方向是北偏东50°，那么在B处看A的方向是（ ）
A．南偏东40° B．南偏西50° C．南偏东50° D．南偏西40°
【分析】根据方向角的方向是相对的，北偏东对南偏西，可得答案．
【解答】解：如果在A处看B的方向是北偏东50°，那么在B处看A的方向是南偏西50°．
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，解题的关键是能够正确利用方向相对的关系得出答案．
6．下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°
【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．
7．如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．118° B．108° C．62° D．152°
【分析】利用∠AOC＝90°，∠1＝28°，进而求出∠BOC的度数，利用平角的定义可知∠BOD＝180°，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠1＝28°，
∴∠BOC＝90°﹣28°＝62°，
∵点B，O，D在同一直线上，
∴∠BOD＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣62°＝118°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的概念，做题关键是要掌握平角的定义．
8．如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，则∠AOM的度数为（ ）
A．42° B．78° C．30° D．36°
【分析】根据角平分线的定义，由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，推断出∠MON=12∠AOB+12∠BOD=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=78°，从而求得∠AOM＝30°．
【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD．
∴∠MON=12∠AOB+12∠BOD=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=78°．
∴∠AOM＝∠AOD﹣∠DON﹣∠MON＝156°﹣48°﹣78°＝30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
9．某镇要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东72°方向到B村，从B村沿北偏西28°方向到C村，为了保持与AB的方向相同，那么从C村修建的方向为北偏东（ ）
A．108° B．80° C．72° D．62°
【分析】根据方向角的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意得，
∠ABC＝180°﹣72°﹣28°＝80°，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE＝80°，
∴∠GCE＝180°﹣80°＝100°，
由平行线的性质可得，
∠BCF＝∠GCN＝28°，
∴∠NCE＝100°﹣28°＝72°，
即从C村修建的方向为北偏东72°，
故选：C．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及平行线的性质是解决问题的关键．
10．如图，点A、O、B在一条直线上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，现将OC以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动．当OC⊥OD时，OC的运动时间为（ ）
A．5秒 B．31秒 C．5秒或41秒 D．5秒或67秒
【分析】首先求得∠COD的度数为65°，再由OC⊥OD时射线OC分别旋转的度数求得此题结果．
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC=12×130°＝65°，
∴（90﹣65）÷5
＝25÷5
＝5（秒），
（270﹣65）÷5
＝205÷5
＝41（秒），
故选：C．
【点评】此题考查了角的相关计算问题的解决能力，关键是能根据动态进行全面分析并准确计算．
二．填空题（共8小题）
11．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 30° ．
【分析】时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为30°，据此解答即可．
【解答】解：∵时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，
∴时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12＝30°，
∴从5时到6时，时针转动的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查钟表上的时针所转过的角度计算，解题的关键是明确时针每小时转动5小格（或1大格），即30°．
12．如图，点O与量角器中心重合，OA与零刻度线叠合，OB与量角器刻度线叠合，OD是∠BOC的角平分线，那么∠BOD＝ 55° ．
【分析】根据角的概念与角平分线的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，∠AOB＝70°．
∴∠BOC＝110°．
∵OD是∠BOC的角平分线，
∴∠BOD=12∠BOC=55°．
故答案为：55°．
【点评】本题主要考查角、角平分线，熟练掌握角的概念以及角平分线的定义是解决本题的关键．
13．计算：20°13'12″＝ 20.22 °．
【分析】先把12″化成分，再把13.2′化成度，最后得出答案即可．
【解答】解：12″＝（12÷60）′＝0.2′，
13.2′＝（13.2÷60）°＝0.22°，
所以20°13'12″＝20.22°，
故答案为：20.22．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算，能熟记1°＝60′和1′＝60″是解此题的关键．
14．比较大小，用“＞”或“＜”填空：38°15' ＞ 38.15°．
【分析】把15′化成度，再比较大小即可．
【解答】解：∵15÷60＝0.25，
∴38°15′＝38.25°＞38.15°，
∴38°15′＞38.15°，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算，能熟记1°＝60′和1′＝60″是解此题的关键．
15．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 45°或25° ．
【分析】分两种情况，当∠AOB在∠AOC的内部时，当∠AOB在∠AOC的外部时，分别求出∠AOM和∠AOD的度数，即可求出答案．
【解答】解：分为两种情况：如图①，当∠AOB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOB=10°，∠AOM=12∠AOC=35°，
∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝35°﹣10°＝25°；
如图②，当∠AOB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOM=12∠AOC=35°，∠AOD=12∠AOB=10°，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+10°＝45°，
故答案为：25°或45°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，关键在于结合图形求出角度，注意分类讨论．
16．如图，已知∠AOB＝70°，∠COD＝80°，∠AOD＝4∠BOC，则∠BOC的度数为 30° ．
【分析】设∠BOC＝x°，则∠AOD＝4x°，利用x分别表示出∠AOC和∠AOD的度数，依据图形列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠AOD＝4x°，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝70°，
∴∠AOC＝70°﹣x°．
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠COD＝80°，
∴4x＝80°+70°﹣x．
解得：x＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，依据图形列出方程是解题的关键．
17．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠DOB＝m°，则∠AOE的度数为 2m° ．
【分析】由角平分线的定义可求解∠BOC=12∠AOC，∠COD=12∠COE，∠AOE＝∠AOC+∠COE＝2∠DOB，进而可求解；
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC=12∠AOC°，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COD=12∠COE，
∵∠DOB＝∠BOC+∠COD，
∵∠AOE＝∠AOC+∠COE＝2∠DOB＝2m°．
故答案为：2m°．
【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，灵活运用角的和差计算角的度数是解题的关键．
18．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：
①∠AOB＝∠COD；
②∠AOB+∠COD＝90°；
③∠AOD+∠BOC＝180°；
④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；
⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的有 ①③④⑤ ．（填序号）
【分析】①由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，可得∠AOB＝∠COD；
②∠AOB+∠COD＝90°不一定和是90°；
③∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°；
④∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，所以OC平分∠BOD；
⑤由已知可得∠BOE＝∠COE，∠AOE＝∠DOE，所以∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD．
故①正确；
又∵∠AOB＝∠COD不一定等于45°，∴∠AOB+∠COD≠90°，
故②错误；
又∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°，
故③正确；
又∵OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC=45°，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝∠BOC，∴OC平分∠BOD，
故④正确；
又∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，
故⑤正确．
∴综上，正确的有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点评】本题考查角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，利用角的和差关系解题是关键．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）（-34+712-58）×（﹣24）+（﹣1）2022×5÷12×（﹣2）；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′×4；
（3）（﹣2）2+6×|-13|﹣（﹣3）2；
（4）（﹣323）﹣（﹣234）﹣（﹣723）﹣（+2.75）；
（5）﹣32+5×（-85）﹣（﹣4）2÷（﹣8）．
【分析】（1）先算乘法分配律和乘方，再计算乘除，最后加减即可；
（2）根据度分秒的计算法则计算即可；
（3）先计算乘方和绝对值，再计算加减即可；
（4）根据加法的交换律和结合律计算即可；
（5）先计算乘方，再计算乘除，最后加减即可．
【解答】解：（1）（-34+712-58）×（﹣24）+（﹣1）2022×5÷12×（﹣2）
＝18﹣14+15+1×5×2×（﹣2）
＝18﹣14+15﹣20
＝﹣1；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′×4
＝48°39′+67°31′﹣85°8′
＝116°10′﹣85°8′
＝31°2′；
（3）（﹣2）2+6×|-13|﹣（﹣3）2
＝4+2﹣9
＝﹣3；
（4）（﹣323）﹣（﹣234）﹣（﹣723）﹣（+2.75）
＝﹣323+723+234-234
＝4；
（5）﹣32+5×（-85）﹣（﹣4）2÷（﹣8）
＝﹣9﹣8﹣16÷（﹣8）
＝﹣9﹣8+2
＝﹣15．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和度分秒的计算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．
20．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD=12∠AOB，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC=13∠AOB=13×120°＝40°；
（2）∵∠AOD=12∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．
21．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：
（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
【分析】（1）先求出45°的余角，40°的余角，然后再根据方向角的定义即可解答；
（2）根据线段的中点定义可得OE＝2km，再结合已知可得OA＝OD＝OE，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
90°﹣45°＝45°，90°﹣40°＝50°，
学校在小明家北偏东45°方向2km处，
博物馆在小明家南偏东50°方向4km处；
（2）∵OC＝4km，点E为OC的中点，
∴OE=12OC＝2（km），
∵OB＝6km，BD＝4km，
∴OD＝OB﹣BD＝2（km），
∵OA＝2km，
∴OA＝OD＝OE，
∴图中到小明家距离相同的是影院，公园，学校．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
22．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．
【分析】根据正方形的性质得到∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠F＝∠A＝90°，∠FEN＝∠C＝90°，∠DNM＝∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM=12（180°﹣∠ENC）=12（180°﹣58°）＝61°，根据四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，
∵∠NEC＝32°，
∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠DNM=∠ENM=12×(180°-58°)=61°，
∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．
【点评】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
23．如图所示，OD平分∠AOC，∠AOB=32∠2，∠BOC=52∠1，求∠2的度数．
【分析】由角平分线的定义可得∠1＝∠2，根据角的和差可得6∠2＝360°，进而可得答案．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠1＝∠2，
∵∠AOB=32∠2，∠BOC=52∠1，
∴∠1+∠2+∠BOC+∠AOB=∠2+∠2+52∠2+32∠2=6∠2＝360°，
∴∠2＝360°÷6＝60°．
【点评】本题考查了本题考查了角的计算，角平分线的定义，解此题的关键是根据周角的定义得出6∠2＝360°．
24．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．
【分析】根据角平分线的定义以及角的和差关系解决此题．
【解答】解：由题意，可设∠AOC＝x，∠BOC＝5x．
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x+x＝6x．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=12∠AOB=3x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝3x﹣x＝2x＝36°．
∴x＝18°．
∴∠AOB＝6x＝108°．
【点评】本题主要考查角的和差关系、角平分线，熟练掌握角的和差关系以及角平分线的定义解决此题．
25．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向．求∠ACE的度数．
【分析】根据方向角的定义，可得∠BAF＝45°，∠CAF＝15°，∠DBC＝80°，然后根据平行线的性质与三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAF＝45°，∠CAF＝15°，∠DBC＝80°．
∵∠BAF＝45°，∠CAF＝15°，
∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝45°+15°＝60°．
∵AF，DB是正南正北方向，
∴DB∥AF，
∵∠DBA＝∠BAF＝45°，
又∵∠DBC＝80°，
∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝60°+35°＝95°．
【点评】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形外角的性质，正确理解性质是解题的关键．
26．如图①，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE是∠AOD的平分线；
（1）当∠AOE＝60°时，求∠BOD的度数；
（2）当∠COE＝25°时，求∠BOD的度数；
（3）当∠COE＝α时，则∠BOD＝ 2α （用含α的式子表示）；
（4）当三角板绕点O逆时针旋转到图②位置时，∠COE＝α，其它条件不变，则∠BOD＝ 360°﹣2α （用含α的式子表示）．
【分析】（1）根据角平分线的定义先求出∠AOD，再根据互补求出∠BOD即可；
（2）根据互余求出∠DOE，再根据角平分线的定义求出∠AOD，最后根据互补求出的答案；
（3）由（2）的解题过程可得答案；
（4）根据互余、互补、角平分线的定义可求出答案．
【解答】解：（1）∵射线OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝＝2×60°＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵∠COD＝90°，∠COE＝25°，
∴∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝2×65°＝130°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣130°＝50°；
（3）∵∠COD＝90°，∠COE＝α，
∴∠DOE＝90°﹣α，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣180°+2α＝2α，
故答案为：2α；
（4）由图②得，∠DOE＝α﹣90°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝2α﹣180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2α+180°＝360°﹣2α，
故答案为：360°﹣2α．
【点评】本题考查互为余角、互为补角、角平分线的定义，理解互补、互余以及角平分线的意义是解决问题的前提．
27．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝160°，∠COD＝25°，那么∠AOB是多少度？
【分析】（1）利用角平分线定义可求出∠BOC＝∠AOB＝50°，∠COD＝∠DOE＝35°，再利用角的加减求出∠BOD的度数；
（2）先利用角平分线定义求出∠COE的度数，再利用角的加减求出∠AOC的度数，再利用角平分线定义求出∠AOB的度数．
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，
∴∠BOC＝∠AOB＝50°，∠COD＝∠DOE＝35°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝50°+35°＝85°；
（2）∵OD是∠COE的平分线，∠COD＝25°，
∴∠COE＝2∠COD＝2×25°＝50°，
∵∠AOE＝160°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝160°﹣50°＝110°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB=12∠AOC=12×110°＝55°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的加减，做题关键是掌握角平分线的定义和角的加减．
28．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
（3）如图3，∠AOC＝36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t＜60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．
【分析】（1）由补角及直角的定义可求得∠BOD的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠EOF=12∠COD，进而可求解；
（3）可分两总情况：①0＜t≤6时，6＜t＜60时，分别计算可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOC，∠BOF=12∠BOD，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF=12（∠BOC﹣∠BOD）=12∠COD，
∵∠COD＝90°，
∴∠EOF＝45°；
（3）①0＜t≤6时，由题意得∠AOC＝36°﹣6t°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE
＝90°-12[180°﹣（36°﹣6°t）]
＝18°﹣3t°，
∴∠AOC＝2∠DOE；
②6＜t＜60时，
由题意得∠AOC＝6t°﹣36°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE
＝90°+12[180°﹣（6t°﹣36°）]
＝198°﹣3t°，
∴∠AOC+2∠DOE＝360°．
【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
角
知识点一、角
1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
2. 动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边.
3. 平角与周角
平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；
4. 两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.
5. 角的表示方法
表示方法
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
∠AOB或∠BOA
任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间
用一个大写字母表示
∠O
当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示
用数字表示
∠1
在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用
用希腊字母表示
PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.
例：如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】A
【解析】A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；
B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
故选A．
知识点二、角的度量单位和换算
1. 角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角.
2. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
3. 角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点：
（1）对中：顶点对准量角器的中心；
（2）重合：一边与量角器的零刻度线重合；
（3）读数：读出另一边所在线对应的度数.
例：用度、分、秒表示21.24°为（ ）
A．21°14'24″ B．21°20'24″ C．21°34' D．21°
【解答】A
【解析】21.24°＝21°+0.24×60′＝21°+14′+0.4×60″＝21°14′24″，
故选A．
知识点三、比较角的大小
1. 度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；
2. 叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.
知识点四、角的和、差
1. 两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差；
2. 在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60.
例：如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．45°
【解答】B
【解析】∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，
∴∠AOB=22+3∠AOC=25×75°＝30°，
故选B．
知识点五、角的画法
1. 用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角.
画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角.
2. 用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角.
3. 用圆规和直尺作一个角等于已知角
（1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；
（3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’；
（4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角.
知识点六、角的平分线
如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.
PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线.
如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部；
例：如图，BO是∠AOC的平分线，则：
（1）∠ ＝∠ ；
（2）∠AOB＝∠ ；
（3）∠AOC＝2∠ ＝2∠ ．
【解答】AOB，BOC，AOB，BOC
【解析】（1）∠AOB＝∠BOC；
（2）∠AOB＝∠BOC；
（3）∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC．
故答案为AOB，BOC，AOB，BOC．
知识点六、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.
1. 正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
2. 方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
3. 在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
4. 图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点.
例：如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上
B．学校在图书馆南偏东30°方向上
C．学校在嘉琪家南偏东60°方向上
D．图书馆到学校的距离为5km
【解答】D
【解析】A、嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上，说法正确；
B、学校在图书馆南偏东30°方向上，说法正确；
C、学校在嘉琪家南偏东60°方向上，说法正确；
D、图书馆到学校的距离为：62-32=33（km），说法错误．
故选D．
补充：钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.
巩固练习
一．选择题（共10小题）
1．若α是锐角，β是钝角，则计算15（α+β）的结果可能是（ ）
A．15° B．36° C．60° D．75°
【分析】根据α和β的范围，判断出15（α+β）即可．
【解答】解：由题意可知，
0°＜α＜90°，
90°＜β＜180°，
∴90°＜α+β＜270°，
∴22.5°＜15（α+β）＜54°，
故选：B．
【点评】本题考查角的计算，了解锐角和钝角的范围是解答本题的关键．
2．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（ ）
A．75° B．120° C．135° D．150°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分，
30°×（4+12）＝135°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
3．如图，B地在A地的（ ）
A．北偏东60°，相距200m处 B．北偏西60°，相距200m处
C．南偏西60°，相距200m处 D．北偏东30°，相距200m处
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如上图，B地在A地的北偏西60°，相距200m处，
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．将一副常规的三角尺如图放置，则图中∠ACB的度数是（ ）
A．75° B．95° C．15° D．120°
【分析】由题意可得∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，再由角的和差进行求解即可．
【解答】解：由题意得：∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
则∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝15°．
故选：C．
【点评】本题主要考查角的计算，解答的关键结合图形分析清楚各角之间的关系．
5．如果在A处看B的方向是北偏东50°，那么在B处看A的方向是（ ）
A．南偏东40° B．南偏西50° C．南偏东50° D．南偏西40°
【分析】根据方向角的方向是相对的，北偏东对南偏西，可得答案．
【解答】解：如果在A处看B的方向是北偏东50°，那么在B处看A的方向是南偏西50°．
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，解题的关键是能够正确利用方向相对的关系得出答案．
6．下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°
【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．
7．如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．118° B．108° C．62° D．152°
【分析】利用∠AOC＝90°，∠1＝28°，进而求出∠BOC的度数，利用平角的定义可知∠BOD＝180°，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠1＝28°，
∴∠BOC＝90°﹣28°＝62°，
∵点B，O，D在同一直线上，
∴∠BOD＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣62°＝118°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的概念，做题关键是要掌握平角的定义．
8．如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，则∠AOM的度数为（ ）
A．42° B．78° C．30° D．36°
【分析】根据角平分线的定义，由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，推断出∠MON=12∠AOB+12∠BOD=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=78°，从而求得∠AOM＝30°．
【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD．
∴∠MON=12∠AOB+12∠BOD=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=78°．
∴∠AOM＝∠AOD﹣∠DON﹣∠MON＝156°﹣48°﹣78°＝30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
9．某镇要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东72°方向到B村，从B村沿北偏西28°方向到C村，为了保持与AB的方向相同，那么从C村修建的方向为北偏东（ ）
A．108° B．80° C．72° D．62°
【分析】根据方向角的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意得，
∠ABC＝180°﹣72°﹣28°＝80°，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE＝80°，
∴∠GCE＝180°﹣80°＝100°，
由平行线的性质可得，
∠BCF＝∠GCN＝28°，
∴∠NCE＝100°﹣28°＝72°，
即从C村修建的方向为北偏东72°，
故选：C．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及平行线的性质是解决问题的关键．
10．如图，点A、O、B在一条直线上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，现将OC以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动．当OC⊥OD时，OC的运动时间为（ ）
A．5秒 B．31秒 C．5秒或41秒 D．5秒或67秒
【分析】首先求得∠COD的度数为65°，再由OC⊥OD时射线OC分别旋转的度数求得此题结果．
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12∠AOC=12×130°＝65°，
∴（90﹣65）÷5
＝25÷5
＝5（秒），
（270﹣65）÷5
＝205÷5
＝41（秒），
故选：C．
【点评】此题考查了角的相关计算问题的解决能力，关键是能根据动态进行全面分析并准确计算．
二．填空题（共8小题）
11．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 30° ．
【分析】时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为30°，据此解答即可．
【解答】解：∵时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，
∴时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12＝30°，
∴从5时到6时，时针转动的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查钟表上的时针所转过的角度计算，解题的关键是明确时针每小时转动5小格（或1大格），即30°．
12．如图，点O与量角器中心重合，OA与零刻度线叠合，OB与量角器刻度线叠合，OD是∠BOC的角平分线，那么∠BOD＝ 55° ．
【分析】根据角的概念与角平分线的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，∠AOB＝70°．
∴∠BOC＝110°．
∵OD是∠BOC的角平分线，
∴∠BOD=12∠BOC=55°．
故答案为：55°．
【点评】本题主要考查角、角平分线，熟练掌握角的概念以及角平分线的定义是解决本题的关键．
13．计算：20°13'12″＝ 20.22 °．
【分析】先把12″化成分，再把13.2′化成度，最后得出答案即可．
【解答】解：12″＝（12÷60）′＝0.2′，
13.2′＝（13.2÷60）°＝0.22°，
所以20°13'12″＝20.22°，
故答案为：20.22．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算，能熟记1°＝60′和1′＝60″是解此题的关键．
14．比较大小，用“＞”或“＜”填空：38°15' ＞ 38.15°．
【分析】把15′化成度，再比较大小即可．
【解答】解：∵15÷60＝0.25，
∴38°15′＝38.25°＞38.15°，
∴38°15′＞38.15°，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算，能熟记1°＝60′和1′＝60″是解此题的关键．
15．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 45°或25° ．
【分析】分两种情况，当∠AOB在∠AOC的内部时，当∠AOB在∠AOC的外部时，分别求出∠AOM和∠AOD的度数，即可求出答案．
【解答】解：分为两种情况：如图①，当∠AOB在∠AOC的内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOB=10°，∠AOM=12∠AOC=35°，
∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝35°﹣10°＝25°；
如图②，当∠AOB在∠AOC的外部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOM=12∠AOC=35°，∠AOD=12∠AOB=10°，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+10°＝45°，
故答案为：25°或45°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，关键在于结合图形求出角度，注意分类讨论．
16．如图，已知∠AOB＝70°，∠COD＝80°，∠AOD＝4∠BOC，则∠BOC的度数为 30° ．
【分析】设∠BOC＝x°，则∠AOD＝4x°，利用x分别表示出∠AOC和∠AOD的度数，依据图形列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠AOD＝4x°，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝70°，
∴∠AOC＝70°﹣x°．
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠COD＝80°，
∴4x＝80°+70°﹣x．
解得：x＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，依据图形列出方程是解题的关键．
17．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠DOB＝m°，则∠AOE的度数为 2m° ．
【分析】由角平分线的定义可求解∠BOC=12∠AOC，∠COD=12∠COE，∠AOE＝∠AOC+∠COE＝2∠DOB，进而可求解；
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC=12∠AOC°，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COD=12∠COE，
∵∠DOB＝∠BOC+∠COD，
∵∠AOE＝∠AOC+∠COE＝2∠DOB＝2m°．
故答案为：2m°．
【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，灵活运用角的和差计算角的度数是解题的关键．
18．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：
①∠AOB＝∠COD；
②∠AOB+∠COD＝90°；
③∠AOD+∠BOC＝180°；
④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；
⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的有 ①③④⑤ ．（填序号）
【分析】①由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，可得∠AOB＝∠COD；
②∠AOB+∠COD＝90°不一定和是90°；
③∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°；
④∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，所以OC平分∠BOD；
⑤由已知可得∠BOE＝∠COE，∠AOE＝∠DOE，所以∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD．
故①正确；
又∵∠AOB＝∠COD不一定等于45°，∴∠AOB+∠COD≠90°，
故②错误；
又∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°，
故③正确；
又∵OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC=45°，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝∠BOC，∴OC平分∠BOD，
故④正确；
又∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，
故⑤正确．
∴综上，正确的有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点评】本题考查角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，利用角的和差关系解题是关键．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）（-34+712-58）×（﹣24）+（﹣1）2022×5÷12×（﹣2）；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′×4；
（3）（﹣2）2+6×|-13|﹣（﹣3）2；
（4）（﹣323）﹣（﹣234）﹣（﹣723）﹣（+2.75）；
（5）﹣32+5×（-85）﹣（﹣4）2÷（﹣8）．
【分析】（1）先算乘法分配律和乘方，再计算乘除，最后加减即可；
（2）根据度分秒的计算法则计算即可；
（3）先计算乘方和绝对值，再计算加减即可；
（4）根据加法的交换律和结合律计算即可；
（5）先计算乘方，再计算乘除，最后加减即可．
【解答】解：（1）（-34+712-58）×（﹣24）+（﹣1）2022×5÷12×（﹣2）
＝18﹣14+15+1×5×2×（﹣2）
＝18﹣14+15﹣20
＝﹣1；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′×4
＝48°39′+67°31′﹣85°8′
＝116°10′﹣85°8′
＝31°2′；
（3）（﹣2）2+6×|-13|﹣（﹣3）2
＝4+2﹣9
＝﹣3；
（4）（﹣323）﹣（﹣234）﹣（﹣723）﹣（+2.75）
＝﹣323+723+234-234
＝4；
（5）﹣32+5×（-85）﹣（﹣4）2÷（﹣8）
＝﹣9﹣8﹣16÷（﹣8）
＝﹣9﹣8+2
＝﹣15．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和度分秒的计算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．
20．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD=12∠AOB，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC=13∠AOB=13×120°＝40°；
（2）∵∠AOD=12∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键．
21．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：
（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
【分析】（1）先求出45°的余角，40°的余角，然后再根据方向角的定义即可解答；
（2）根据线段的中点定义可得OE＝2km，再结合已知可得OA＝OD＝OE，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
90°﹣45°＝45°，90°﹣40°＝50°，
学校在小明家北偏东45°方向2km处，
博物馆在小明家南偏东50°方向4km处；
（2）∵OC＝4km，点E为OC的中点，
∴OE=12OC＝2（km），
∵OB＝6km，BD＝4km，
∴OD＝OB﹣BD＝2（km），
∵OA＝2km，
∴OA＝OD＝OE，
∴图中到小明家距离相同的是影院，公园，学校．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
22．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．
【分析】根据正方形的性质得到∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠F＝∠A＝90°，∠FEN＝∠C＝90°，∠DNM＝∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM=12（180°﹣∠ENC）=12（180°﹣58°）＝61°，根据四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，
∵∠NEC＝32°，
∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠DNM=∠ENM=12×(180°-58°)=61°，
∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．
【点评】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
23．如图所示，OD平分∠AOC，∠AOB=32∠2，∠BOC=52∠1，求∠2的度数．
【分析】由角平分线的定义可得∠1＝∠2，根据角的和差可得6∠2＝360°，进而可得答案．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠1＝∠2，
∵∠AOB=32∠2，∠BOC=52∠1，
∴∠1+∠2+∠BOC+∠AOB=∠2+∠2+52∠2+32∠2=6∠2＝360°，
∴∠2＝360°÷6＝60°．
【点评】本题考查了本题考查了角的计算，角平分线的定义，解此题的关键是根据周角的定义得出6∠2＝360°．
24．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．
【分析】根据角平分线的定义以及角的和差关系解决此题．
【解答】解：由题意，可设∠AOC＝x，∠BOC＝5x．
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x+x＝6x．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=12∠AOB=3x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝3x﹣x＝2x＝36°．
∴x＝18°．
∴∠AOB＝6x＝108°．
【点评】本题主要考查角的和差关系、角平分线，熟练掌握角的和差关系以及角平分线的定义解决此题．
25．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向．求∠ACE的度数．
【分析】根据方向角的定义，可得∠BAF＝45°，∠CAF＝15°，∠DBC＝80°，然后根据平行线的性质与三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAF＝45°，∠CAF＝15°，∠DBC＝80°．
∵∠BAF＝45°，∠CAF＝15°，
∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝45°+15°＝60°．
∵AF，DB是正南正北方向，
∴DB∥AF，
∵∠DBA＝∠BAF＝45°，
又∵∠DBC＝80°，
∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝60°+35°＝95°．
【点评】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形外角的性质，正确理解性质是解题的关键．
26．如图①，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE是∠AOD的平分线；
（1）当∠AOE＝60°时，求∠BOD的度数；
（2）当∠COE＝25°时，求∠BOD的度数；
（3）当∠COE＝α时，则∠BOD＝ 2α （用含α的式子表示）；
（4）当三角板绕点O逆时针旋转到图②位置时，∠COE＝α，其它条件不变，则∠BOD＝ 360°﹣2α （用含α的式子表示）．
【分析】（1）根据角平分线的定义先求出∠AOD，再根据互补求出∠BOD即可；
（2）根据互余求出∠DOE，再根据角平分线的定义求出∠AOD，最后根据互补求出的答案；
（3）由（2）的解题过程可得答案；
（4）根据互余、互补、角平分线的定义可求出答案．
【解答】解：（1）∵射线OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝＝2×60°＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵∠COD＝90°，∠COE＝25°，
∴∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝2×65°＝130°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣130°＝50°；
（3）∵∠COD＝90°，∠COE＝α，
∴∠DOE＝90°﹣α，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣180°+2α＝2α，
故答案为：2α；
（4）由图②得，∠DOE＝α﹣90°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠DOE＝2α﹣180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2α+180°＝360°﹣2α，
故答案为：360°﹣2α．
【点评】本题考查互为余角、互为补角、角平分线的定义，理解互补、互余以及角平分线的意义是解决问题的前提．
27．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝160°，∠COD＝25°，那么∠AOB是多少度？
【分析】（1）利用角平分线定义可求出∠BOC＝∠AOB＝50°，∠COD＝∠DOE＝35°，再利用角的加减求出∠BOD的度数；
（2）先利用角平分线定义求出∠COE的度数，再利用角的加减求出∠AOC的度数，再利用角平分线定义求出∠AOB的度数．
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，
∴∠BOC＝∠AOB＝50°，∠COD＝∠DOE＝35°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝50°+35°＝85°；
（2）∵OD是∠COE的平分线，∠COD＝25°，
∴∠COE＝2∠COD＝2×25°＝50°，
∵∠AOE＝160°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝160°﹣50°＝110°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB=12∠AOC=12×110°＝55°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的加减，做题关键是掌握角平分线的定义和角的加减．
28．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
（2）如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
（3）如图3，∠AOC＝36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t＜60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系．
【分析】（1）由补角及直角的定义可求得∠BOD的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠EOF=12∠COD，进而可求解；
（3）可分两总情况：①0＜t≤6时，6＜t＜60时，分别计算可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOC，∠BOF=12∠BOD，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF=12（∠BOC﹣∠BOD）=12∠COD，
∵∠COD＝90°，
∴∠EOF＝45°；
（3）①0＜t≤6时，由题意得∠AOC＝36°﹣6t°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE
＝90°-12[180°﹣（36°﹣6°t）]
＝18°﹣3t°，
∴∠AOC＝2∠DOE；
②6＜t＜60时，
由题意得∠AOC＝6t°﹣36°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE
＝90°+12[180°﹣（6t°﹣36°）]
＝198°﹣3t°，
∴∠AOC+2∠DOE＝360°．
【点评】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
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