初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.5 分式方程精品习题

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10.5 分式方程解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。2）解整式方程。3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；   情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。 分式的化简求值：1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0；2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。分式方程解决实际问题的步骤：1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5） 写答案 【题型一】解分式方程【典题】（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】（1）先去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，最后进行检验即可；（2）先去分母，去括号，然后移项合并，最后进行检验即可．【详解】（1）解：，两边同时乘得，，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，，经检验，为原分式方程的根，∴分式方程的解为．（2）解：，两边同时乘得，，去括号得，，移项合并得，，检验：当时，，∴为分式方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程．掌握解分式方程的步骤，正确的运算并检验是解题的关键． 巩固练习1．（）（2022秋·江苏盐城·八年级校考期末）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)该分式方程无解【分析】（1）利用去分母化为整式方程后，解整式方程，再代入最简公分母中检验即可．（2）利用去分母化为整式方程后，解整式方程，再代入最简公分母中检验即可．【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得：，，检验：当时，，∴是该分式方程的解．（2）解：方程两边同时乘以，得：，，检验：当时，，∴不是该分式方程的解．所以该分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的步骤，即先利用去分母将分式方程化为整式方程，求解后，再检验．2．（）（2022春·江苏南京·八年级校考期中）（1）                （2）【答案】（1）无解；（2）【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】（1）解：方程两边同时乘以：，即，∴，解得：，当时，，∴是原方程的增根，原方程无解；（2）解：方程两边同时乘以：即，解得：，当时，，∴是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，找到公分母是解题的关键．3．（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)无解【分析】(1)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解；(2)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解．【详解】（1）解：去分母，得：，去括号，得：，解得，经检验：当时，，故原方程的解是；（2）解：去分母，得：，去括号，得：，解得，经检验：当时，，故是原方程的增根，所以原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤是解决本题的关键．【题型二】根据分式方程解的情况求值【典题】（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知关于的分式方程(1)若方程的增根为，求的值；(2)若方程无解，求的值．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把代入整式方程，即可求解；（2）根据方程无解可得两种情况：①时，方程无解，②方程有增根，进而即可求解．【详解】（1）解：方程两边同时乘以，去分母并整理得，是分式方程的增根，，解得：；（2）解：由（1）知，当时，该方程无解，此时；当时，要使原方程无解，则，解得：或，即或 ， 或，综上，的值为或 或．【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，把分式方程化为整式方程，理解分式方程产生增根的原因是解题的关键． 巩固练习1．（）（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．【答案】1【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解．【详解】解：原方程可化为：，．原方程的解为正数，，，，，，，∴的取值范围为且，正整数的值为1．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况．2．（）（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）若关于x的方程无解，求 m 的值．【答案】或或【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．【详解】解：方程两边同乘以，得：，化简得：，当时，原方程无解，可能的增根是或，当时，，当时，，当或时，原方程无解，或或时原方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．3．（）（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）已知关于x的方程(1)当时，求方程的解；(2)当m取何值时，此方程无解；(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)且【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值；（3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可．【详解】（1）解：分式方程去分母得：，整理得：，（1）当时，，解得：，经检验：是原方程的解；（2）解：∵分式方程无解，∴，∴，当时，，∴时该分式方程无解；（3）解：解关于x的分式方程得：，∵方程有解，且解为正数，∴ ，解得：且．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4．（）（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程x+的解为．(1)【理解应用】解方程；(2)【知识迁移】若关于x的方程的解为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据给定的方法解方程即可；（2）根据给定的方法可得，再根据完全平方公式进一步计算即可．【详解】（1）∵，即，∴；（2）∵关于x的方程的解为，∴，∴．【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求解，并结合完全平方公式的变形对代数式求解是解题的关键．5．（）（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）若关于的方程有增根，求增根和的值．【答案】是增根，【分析】找出各个分母得最简公分母，即可得到增根，把增根代入去分母后的方程，即可求出k的值．【详解】解：∵关于的方程有增根，最简公分母为：∴，即：或是增根，去分母得：，把或代入上式得：（等式不成立，舍去）或，解得：．综上，方程的增根为，【点睛】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母，掌握分式方程增根的概念是是解题的关键．【题型三】分式方程的实际应用【典题】（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少万个口罩?【答案】口罩厂现在每天生产10万个口罩【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产(x + 4)万个口罩，根据工作时间=工作总量工作效率，结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解方程，即可得出答案．【详解】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩， 依题意，得：， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， 则x+4＝10，答：口罩厂现在每天生产10万个口罩【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．巩固练习1．（）（2020春·江苏泰州·八年级统考期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？【答案】40．【分析】根据题意,找到等量关:原计划所用时间=实际所用时间+4天,列出方程,解答即可．【详解】解:设原计划每天种树x棵．由题意,得4,解得：x=40,经检验,x=40是原方程的解．答：原计划每天种树40棵．【点睛】此题主要考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程类问题主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．2．（）（2020春·江苏泰州·八年级统考期末）为深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某单位积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗、已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元．（1）求甲种树苗的单价；（请根据题意列方程解答）（2）若购买这两种树苗共100棵，且费用不超过3800元，则至少购买乙种树苗多少棵？【答案】（1）40元（2）34棵【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；（2）根据题意列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设甲种树苗每棵x元，由题意得，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的根且符合题意，答：甲种树苗每棵40元．（2）设购买乙种树苗y棵，则购买甲种树苗（100﹣y）棵，由题意得：40（100﹣y）+34y≤3800，解得：y≥，答：至少购买乙种树苗34棵．【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．3．（）（2020春·江苏常州·八年级统考期末）小敏去超市购买某商品，第一次按原价购买，用了60元，几天后，正好遇上这种商品八折出售，他用80元又买了一些，两次一共购买了40公斤，请问这种商品的原价是多少元?【答案】这种商品的原价是4元．【分析】设商品的原价为元，根据数量=则第一次购买的数量为，第二次购买的数量为，通过两次一共购买了40公斤可得，解方程即可．【详解】解：设商品的原价元根据题意可得：解得：检验：把代入得：∴是原方程的解答：这种商品的原价是4元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，通过两次购买的总和建立出分式方程是解题的关键．4．（）（2020春·江苏泰州·八年级校联考期中）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定日期为x天．由题意得，∴，∴，∴；经检验：x=12是原方程的根．方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．∵28.8＞26.4，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．5．（）（2022秋·河南郑州·八年级统考期末）刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？刘峰：我查好地图了，你看看李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟到科技馆那站停的车，我坐明天的车．刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了．李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上点从家出发，如顺利，咱俩同时到达． 【答案】刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米，根据题意，得，解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，∴（千米/时），答：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．6．（）（2022春·上海·八年级校考期中）甲、乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了1倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用时间少小时，甲、乙两人原来每小时各加工多少个零件？【答案】甲每小时加工60个零件，乙原来每小时加工50个零件．【分析】设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时，列出分式方程，解分式方程，再利用甲的工作效率=300÷（乙加工300个零件所需时间-1），即可求出甲的工作效率．【详解】解：设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，依题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，在300÷（）=60，答：甲每小时加工60个零件，乙原来每小时加工50个零件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．7．（）（2022秋·云南红河·八年级统考期末）某部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了9小时完成任务．(1)按原计划完成总任务的时，已抢修道路_____________米；(2)求原计划每小时抢修道路多少米?【答案】(1)900(2)原计划每小时抢修道路300米【分析】（1）按原计划完成总任务的时，列式计算即可；（2）设原计划每天修道路x米．根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=9，等量关系列出方程．【详解】（1）解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路为（米），答：按原计划完成总任务的时，已修建道路900米；故答案为：900；（2）解：设原计划每小时抢修道路米，根据题意得：，解得：．经检验：是原方程的解．答：原计划每小时抢修道路300米．【点睛】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．