高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计

4.5函数的应用（二）

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的思路与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程.

难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题.

三、教科书编写意图及教学建议

为了突出函数应用的广泛性，加强函数与其他数学知识的联系性，本节在函数应用（一）的基础上，进一步从两个方面展开函数应用，安排了函数在学科内外的应用.前两小节是数学学科内部的应用：第一小节是为了建立求方程近似解的理论依据，研究从函数特征判定方程实数解的存在性；第二小节是用这个理论依据得到求方程近似解的二分法.第三小节是函数模型的实际应用，意在从现实背景体现出函数的应用价值.

函数的应用（一）重点取材于一次函数、二次函数、幂函数等函数图象与性质的实际应用，而函数的应用（二）一方面是侧重于函数与方程的相互关系，突出用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；另一方面是侧重于用函数构建数学模型的基本过程，突出用“指数型”函数和“对数型”函数模型发现和提出问题、分析和解决问题的过程和方法.

本节函数的应用，一是力图进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程，了解用二分法求方程近似解的思路、步骤和算法，提升数学运算素养；二是力图追求问题情境的真实性与例题设问的典型性，强调数学模型的广泛应用和参数的现实意义，着眼于学生对数学应用的理解，认识数学的价值，提升数学建模素养.

4.5.1 函数的零点与方程的解

教科书按照“函数零点的概念—函数零点存在定理—应用函数零点存在定理和函数性质判定方程的解”的路径展开，这样可以帮助学生能够更好地从函数的观点认识方程.教科书先通过一个“思考”，从研究不能用公式求解的方程

（如）出发，在二次函数零点的基础上，直接引出一般函数零点的概念；再通过二次函数零点存在的特征，导出一般函数零点存在定理，并用例1说明函数零点存在定理的应用，这种从特殊到一般的抽象概括过程，易于学生接受.与上一版教科书相比，本版教科书将零点概念前移，将原来“方程的根与函数的零点”的顺序调整为“函数的零点与方程的解”，并给出“函数零点存在定理”的名称，同时调整了例题要求.这种处理加强了该内容作为数学内部应用的定位，突出了函数的核心地位，并将重心放在应用函数性质研究方程的解上.

在本小节内容教学中，既要体现指数函数和对数函数的应用，又要体现函数性质的应用；既要利用函数的局部性质分析其整体性质，注重用函数特征来判定方程解的存在，又要体现用函数观点研究方程解的基本方法，突出函数零点与方程解的有机联系，通过函数的应用，突出数学运算素养.

本小节的教学可按照“概念—定理—应用”的线索展开，在函数的零点与方程的解的转换过程中，逐步渗透化归与转化思想、函数与方程思想和数形结合思想，以此帮助学生通过直观想象进一步领悟函数的本质.

1.函数零点的概念

首先，教科书类比二次函数的零点直接给出函数零点的概念，这既符合《标准（2017年版）》的意图，又遵循了学生的认知规律，利于学生把握函数零点的本质.因此，教学时要用函数的观点说明学习的必要性.教学时可结合本节后面的阅读与思考“中外历史上的方程求解”，从高次代数方程解的探索历程，引导学生认识函数与方程的关系，并形成先将方程的问题转化成函数问题、再利用函数的性质解决问题的习惯.

其次，教科书类比“一元二次方程有实根一元二次函数有零点一元二次函数的图象与轴有公共点”，得出“方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点”的结论，对学生而言也是顺理成章的推理，没有必要作多余的解释.因此，教学中，利用好由具体到抽象的方法，顺其自然地导出一般函数零点的概念并得到相应结论，是把握函数零点概念教学的关键.

2.函数零点存在定理的教学

教科书通过“探究”，让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，在此基础上给出函数零点存在定理.教学时可按照“导出定理—了解定理—应用定理”展开.

（1）在“导出定理”环节，要让学生认真思考、仔细分析“探究”中的问题.实际上，这是一个数形结合、将形转化为数的过程.其中，“函数图象与轴的关系”不仅仅是“有公共点”，更重要的是“穿过”轴.在“图象连续不断”的条件下，把“图象穿过轴”（形）用“函数的取值规律”（数）来表达，就是“两侧端点的函数值异号”，即.在以往的学习中，学生很少接触这样的刻画方法，因此对于学生而言有难度，教师应加强引导.

另外，可以适当借助一些正反例让学生研究函数零点存在的条件，但不能错把充分条件当成必要条件去研究.

（2）在“了解定理”环节，定理的两个条件“在给定区间上连续”和“”缺一不可，但一定要强调它们是充分但不必要的.

当然，作为对函数零点存在定理的一种补充，可让有兴趣的学生适当了解该定理的数学史背景：函数零点存在定理在数学分析上是“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，是捷克数学家波尔察诺在1817年首先证明的.但由于当时缺乏实数理论，证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化.这些素材能让学生感受到数学文化方面的熏陶，提高学习的积极性和主动性.有条件的学校，可以酌情给学有余力的学生补充该定理的证明思路或提供学生自学的课外读物.

（3）在“应用定理”环节，首先要让学生明确函数零点存在定理为研究方程的解提供了理论基础，在教科书所给的例1的基础上，可适当补充相关例子；其次要提醒学生注意，利用这个定理可以证明函数有零点，但不能断定函数无零点或零点个数，如果要判断零点的个数，还要与结论“函数在单调区间上最多有一个零点”相结合.在例1的教学中，可以让学有余力的学生自主探究函数零点存在定理的一个推论：

若在区间上是单调函数，其图象是一条连续不断的曲线，且有

，则函数在区间内有且仅有一个零点，即存在唯一的

，使得.

3.例题的教学

（1）发挥问题的作用.对教科书边空的思考：“为什么由图4.5-2和

还不能说明函数只有一个零点？”一是要通过举例说明对于给定闭区间上的函数，“连续不异号”“异号不连续”“不连续不异号”等都不能断定该函数是否存在零点，从而进一步强化学生对函数零点存在定理的认识：其中的两个条件只是充分条件，而不是必要条件，而且即使是满足了这两个条件，也不能断定零点的个数.二是在此基础上，引导学生研究函数在某个区间上存在零点时，应借助函数的单调性来判断是否只有一个零点.

（2）拓展求解思路.对于函数单调性的探究，可有意识地引导学生先将其转化为两个基本函数与，由于它们在内都单调递增，从而推断出函数在内是增函数，再要求学生用单调函数的定义加以证明.

（3）挖掘隐含价值，可从以下两个方面进行挖掘：

①挖掘解法的一般性.根据例1的求解过程，可让学生通过探究得出“函数在单调区间上最多有一个零点”的结论，再进一步得到上述函数零点存在定理的推论.这个推论在后继学习与练习中经常要用到，其探究与发现过程，有助于提升学生的数学抽象素养.

②探究解法的多样性.在说明例1的函数在区间内至少有一个零点的教学中，除了强化教科书给出的解法之外，还可启发学生考虑以下思路：

通过尝试函数的取值，寻找函数零点所在的区间.设函数，则，，所以在区间上，有，由函数零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点.

如果能借助信息技术画出函数图象，那么方程的有解区间就容易确定；如果没有条件画出函数的大致图象，还可以采用尝试或转化的方法探索方程的有解区间，这样做也有助于提高学生的估算意识，养成近似计算的习惯，提升数学运算素养.

通过例1的教学，还可引发学生进一步思考：观察函数的图象，借助计算工具，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？从而为下节内容的学习埋下伏笔.

4.5.2用二分法求方程的近似解

教科书按照用二分法求方程近似解的步骤一步步展开，既渗透了逼近思想和算法思想，又让学生经历了观察发现、抽象概括的过程.通过本小节的学习，主要帮助学生能够以函数的观点认识方程，会根据函数性质用二分法求方程的近似解.

教科书将方程的求解问题贯穿于函数零点与二分法的学习之中，先介绍二分法的基本思路，再提炼二分法的一般步骤，体现了从特殊到一般的归纳；再在例2中应用二分法的步骤，强调使用二分法的程序性，体现了从一般到特殊的演绎.

二分法的教学可按照“求方程近似解—求函数零点—缩小区间逼近零点—二分法”的过程展开，在解决问题的过程中提升数学抽象和数学运算素养.

本小节的教学，既要让学生了解二分法的来龙去脉，又要让学生在近似计算中感受逼近和算法的思想.必须要让学生明确的是，使用二分法的依据是方程所对应的函数的性质，关键是按照步骤“通过缩小区间逼近零点”.

1.为什么要学习二分法

主要是为了加强函数的应用，通过引入函数零点，将方程的解转化为函数零点，然后用二分法求出方程的近似解，拓展了解方程的思想方法；其次是利用二分法求方程近似解时的程序性来体现算法思想，让学生通过二分法的学习，体会按照明确步骤解决问题的重要性.

2.函数零点存在定理的证明

为了更好地理解二分法，这里给出函数零点存在定理的证明，供教学时参考.

不妨设，，将区间二等分，分点为.

（1）若，则就是函数的零点，定理得证.

（2）若（下面的证明均假设分点不是零点），则或.

当时，满足，则令，；

当时，满足，则令，.

（3）重复（2）的过程，可得到：，各区间的中点为.

由假设，，区间的长度逐渐减半且趋于0.

由，可知数列单调递增有上界，数列单调递减有下界，因为单调有界数列必有极限，所以与都存在.

于是由，可得，记这个极限值为，即，由极限的保号性可知.

又由为连续函数，且，可得，

，，所以.

尽管函数零点存在定理只解决了零点的存在性问题，但由其证明过程却可以发现求函数零点近似值的方法：随着的增大，区间的长度越来越小，区间的两个端点越来越逼近零点，所以我们可以用这个区间中的任意一点作为零点的近似值.特别地，可以用区间端点的值作为的近似值：（不足近似值），或（过剩近似值），用区间内的任意一点作为的近似值，其误差不超过区间长度.这种证明方法就是将区间不断进行二分以缩小区间的长度，周而复始，使区间中点逐步逼近函数零点的精确值.设想让这一过程无限进行下去，就能得到函数零点的精确值，所以这种求函数零点的方法就叫做“二分法”，弄清楚函数零点存在定理的这个证明，对理解二分法很有帮助.

理论上二分法是可以无限进行下去的，但实际上往往只需要求满足某种精度要求的近似解，因此可以编制计算程序，借助计算工具替代人工做重复的运算，将这种方法进行所需要的次数，从而达到理想的误差要求.

当然，尽管区间的分法还有其他方法，如三等分、四等分、黄金分割等，但二分法仅是最简单的一种，而且二分法容易建立前后之间的迭代关系，保证一定的收敛速度，利于算法的实现.不过，二分法求近似解的缺陷也很明显，它适用于求有解区间内的单实数解或奇次重实数解的近似值，不能用于求偶次重实数解的近似解.

3.信息技术的应用

现代信息技术都已经具有强大的计算与作图功能，通过输入方程的表达式，就能得到方程的精确解或近似解；通过输入函数的解析式，就能画出相应函数的图象，再分析函数的零点，也能得到方程的精确解或近似解.因此，在二分法的教学中，要注意恰当地融入信息技术，突出它的作用：一是利用信息技术作出函数图象，帮助直观地确定函数零点所在区间；二是信息技术为学习二分法提供了快速计算的工具，有助于提高运算的效率，减少人为重复的运算；三是信息技术为学习二分法提供了验证的工具，有助于检验结论的正确性.当然，要注意防止错误地使用信息技术，而影响了应用函数和对二分法的理解.

例如，在求方程与的近似解的过程中，既要借助信息技术画出对应函数的图象和计算相应的函数值，形成对函数有零点的直观认识、验证方程近似解的精确度、让学生逐步形成估算的习惯、突出函数性质的应用，又要杜绝不经历分析和求解过程而直接利用信息技术得解.使用信息技术，可以更好地理解二分法的算法思想，探索相应的结论，突出动手操作的过程，这是提升学生运算素养的一种有效途径.

4.例题和练习的教学

（1）可以类比例1，让学生证明例2的方程只有一个实数解.

因为，，所以有，由函数零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点；又容易证明函数在上是增函数，所以函数在上最多有一个零点.于是，函数有唯一的零点，即原方程只有一个实数解.

（2）在例2的教学中，要区分清楚“精确度”与“精确到”这两个极易混淆的概念.

精确度是指近似值与其准确值的接近程度，近似值的误差不超过某个数，即，就说它的精确度是，一般地，对于数值，如果要获得它满足精确度的近似值，就可以找一个包含的区间，使得即可.

精确到是按四舍五入的原则得到准确值的前几位的近似值，的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位.即若的近似值为.，其中，为整数，，，，都是0～9中的任一整数，

且，则称近似值具有位有效数字或称精确到.比如，若取3位有效数字，则，即精确到0.01.特别地，若已知精确到的近似值是，由于，则可知的范围是.

由此可见，“精确度”与“精确到”都是用来刻画近似值的，但刻画的角度不同.“精确度”是用准确值所在邻域的半径刻画近似值的近似程度，在精确度限制下近似值为所在区间中的任意值，即近似值有无数个；而“精确到”是用准确值的数位刻画近似值的近似程度，“精确到”是指所确定近似值的区间的两端点值精确到时的值相等，因此在“精确到”限制下的近似值是唯一的.

在此基础上，可结合例2提出思考：如果把例2中对近似解的要求“精确度0.1”，更换为在初中学习时用到的“精确到0.1”，你知道这两种近似值之间的异同吗？

事实上，当该近似解要求“精确到0.1”时，此时有解区间的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以该有解区间内的所有数值精确到0.1的近似值都是1.4，因此1.4是原方程精确到0.1的唯一近似解.

由于，所以满足“精确到0.1”的有解区间一定是满足“精确度0.1”的有解区间，只是要求的近似解的确定方法有所不同，运算量会不一样，“精确度0.1”的近似解有无数多个，而“精确到0.1”的近似解只有一个.在初中，只涉及对一个数取近似值，所以用“精确到”比较方便；而在用二分法求方程近似解时，要涉及在一个区间取近似值，并要将这种方法用算式加以表达，所以用“精确度”更合适.

（3）练习第1题可启发学生思考：所给的函数还有其他零点吗？若有，这些零点分别在什么区间内？这些问题可以帮助学生形成对三次函数甚至一般的多项式函数零点的认识.

练习第2题中方程近似解的探究，则可仿照例2处理.

4.5.3函数模型的应用

本小节用四个实例介绍利用函数模型解决实际问题的过程，这些例子体现了函数模型应用的两种情况，一是利用已知函数模型解决实际问题，如例3、例4；二是选择合适的函数模型解决实际问题，如例5、例6.

1.例题3的教学

例3的人口问题是一个经典的指数增长模型，这个模型的基本条件是年增长率保持不变，并将人口数视作连续变化，因此这个模型采用了简单化、数学化的处理，这对初学者认识模型的作用很有帮助，由于这个模型在时表示人口随时间按指数增长规律无限增长，与现实会有一定差距，因而存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响.本例意在引导学生认识数学模型的含义，并通过验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，体会求解模型的过程，然后再利用模型简要回答实际问题，初步体验数学建模的基本步骤.

教学中，应让学生明确，利用题目中给定的1950年末、1959年末的数据，可以求解给定的模型中的年平均增长率，从而建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.利用这一模型，可以求得我国在1951～1958年期间的各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的我国1951～1958年各年末的实际人口总数比较，可以发现，这一模型与我国1950～1959年的实际人口数据是基本吻合的.

例3的问题（3）是利用求得的模型预测大约在什么时候我国人口总数达到13亿，经过计算可以发现，得到的结果和实际情况是不相符的.这是因为我们只是根据1950年末和1959年末的数据建立的模型，这一时期我国人口处于自然增长状态，因此所得的模型与这一时期的人口增长情况基本吻合.而我国在20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，这时的人口增长条件已经不适合马尔萨斯人口模型的条件了.这一结论也告诉我们，应用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的使用条件，这一点教科书也在边空进行了说明.

2.例题4的教学

例4通过指数函数模型推断良渚遗址的年代，意在回答章引言的设问，并引导学生进一步认识这一重要的函数模型，提升学生数学建模素养.

教学中，重在分析题意并指导学生选择函数建立数学模型，指明数据与字母的实际意义.解决本例的关键是理解半衰期与衰减率的含义，解题过程中涉及的多个字母的理解是教学难点.为此，一是注意引导学生认真阅读教科书正文中涉及碳14衰减的内容，包括指数函数概念引入、阅读与思考、对数函数概念引入涉及的内容，以加深对此问题背景的理解；二是可以设样本中碳14的原有含量为1，即取进行计算.

3.例题5的教学

例5的投资回报问题是投资中不可回避的问题，因而具有现实意义，但由于实际投资涉及面广，因此将模型进行简单化处理，更有利于学生的学习.本例教学意在通过分析三种不同的投资回报模型，引导学生认识“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的差异，并根据实际情况选择不同的函数模型.

教学重点是引导学生对三种模型的增长情况进行分析，懂得从增加量和累计的回报数两个角度入手分析并解决问题，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并能借助计算结果与图象直观理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.为了减轻比较分析过程中的运算量，可以利用信息技术，引导学生获得教科书中的表格和图象，指导学生通过观察增加量体会指数函数的增长速度.

教学中，应指出计算每月回报的增加量（或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异.但要具体到投资的天数，回报的增加量不能作为选择投资方案的依据，应借助教科书的边空问题，进一步引导学生考虑累计的回报数.

4.例题6的教学

例6的选择奖励模型也是具有实际意义的问题，在管理和经济问题中，常常选择像7这样非e和10的数为底的对数函数来刻画，所以本例函数模型并非凭空捏造.本例意在引导学生分析实际情况，进一步认识三种函数模型的特点，并通过对比三个函数的增长差异，根据函数性质选择合适的函数模型.

本例提供了三个不同增长的奖励模型，只有一个符合要求.教学时应重在分析奖励方案的具体要求，通过文字、符号与图象的顺利转化将其数学化，提升数学抽象素养，解题时应从画函数图象入手，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算确认结果，从而培养学生运用函数观点分析问题的意识.

本小节的四个例题都属于函数模型的应用，但问题呈现各有侧重，例3、例4提供了函数模型，用已知模型解决实际问题，重在通过运算推理求解模型，并将得到的函数模型用于描述实际问题的变化规律，从而解决有关问题；例5、例6则要选择合适的模型解决实际问题，因此需要先分析和理解实际问题的增长情况，重点考虑是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”，然后再根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题.教学中，应引导学生归纳问题特点以及解决问题的过程和方法，注意实际问题的具体背景，并结合三种不同函数模型特点选择合适的函数模型，重在理解，切忌死记硬背.教学中也要注意借助教科书提供的框图总结用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程.