“一线三等角”模型的探究与应用 -数学中考复习课件PPT
展开如图,在△ACD中,∠ACD=90°,AC=DC,按如下步骤操作:
(2)分别过点A、D作直线l的垂线段,垂足分别为点B、E;
从这个图形中你能得到什么结论?
结论:△ABC≌△CED
如果将△ACD的形状作一下改变,这个结论还成立吗?
“一线三直角”全等模型
探究1:若将等腰直角△ACD改为任意直角三角形,按上面的步骤(1)(2)作图;
结论:△ABC∽△CED
“一线三直角”基本图形
特征:∠ABC=∠ACD=∠CED=90°且顶点在同一直线上.
探究2:如图,若将直角三角形ACD改成任意△ACD,已知∠B=∠ACD=∠E=a,△ABC与△CDE还相似吗?请说明理由.
∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠DCE=180°-a
“一线三等角”基本图形
特征:∠B=∠ACD=∠E=a且顶点在同一直线上
“一线三直角”相似模型
模型提炼:“一线三等角”基本图形
一.三个等角可以是锐角、直角或钝角
二.点C还可以在线段BE或EB的延长线上
如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为________.
思考1:由已知条件△ABC是等边三角形你能得到什么?
∠ABD=∠DCE=60°
思考2:由∠ABD=∠DCE=60°,结合条件∠ADE=60°,你想到了什么?
∵△ABC是等边三角形,
∴CD=BC-BD=9-3=6,∠BAD+∠ADB=120°.
又∵∠ADE=60°,
∴∠DAB=∠EDC,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC,
∴AE=AC-CE=9-2=7.
∴∠ADB+∠EDC=120°.
∴△ABD ∽ △DCE.
三个等角:∠B=∠ADE=∠C=60°
例题 如图,在平面直角坐标系xy中,直线y=-x+m分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C(2,0),点P为线段OB的中点,连接PA,PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值为___________.
思考1:由直线y=-x+m你能得到什么?
OB=OA=m,∠OBA=∠OAB=45°
思考2:结合条件∠CPA=∠ABO=45°你想到了什么?
找可能的另一“等角”构“一线三等角”
思考3:如将y轴看成“一线”,如何寻另一“等角”?
由y=-x+m可得A(m,0),B(0,m),
∵∠CPA=∠ABO=45°
又∵∠ABP=∠PDC=45°
∴∠BPA+∠OPC=∠BPA+∠BAP=135°
∴∠OPC=∠BAP .
例 已知:等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P为BC中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转.
(1)如图a,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时,求证:△BPE∽△CFP;
∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF=150°
(2)操作:将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.
①探究1:△BPE与△CFP还相似吗?(只需写出结论)
②探究2:连接EF,△BPE与△PFE是否相似?请说明理由;
思考1:△BPE与△PFE有没有相等的量?
思考3:目前我们已知什么?
思考2:结合∠EBP=∠EPF,要证△BPE与△PFE相似,你会用相似的哪个判断方法?
③设EF=m,△EPF的面积为S,试用m的代数式表示S.
思考1:结合EF=m,△EPF的面积S你会怎么表示?
思考2:PG如何表示?
由△BPE∽△PFE你能得到什么?
思考3:由∠BEP=∠PEF,PG⊥EF,你想到了什么?
在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=120°
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