初中数学华师大版九年级上册22.1 一元二次方程学案

第22章  一元二次方程

22.1 一元二次方程

学习目标：

1.了解一元二次方程的相关概念（重点）；

2.会根据实际问题列出一元二次方程（难点）.

自主学习

一、新知预习

绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

解： 设绿地的宽为x 米，则它的长为_________米，

根据题意，可得方程：______________.

整理，得__________________________.

  观察上述得出的方程，这个方程的特点是：

（1）只含有一个未知数，都是关于x的____ ____方程；

（2）x的最高次数都为_________.  

  像这样的方程我们称之为一元二次方程.

  一元二次方程的一般形式可以归纳为________________.               

合作探究

一、探究过程

探究点1：一元二次方程的定义及一般形式

问题1  关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？

解：关于x的方程的二次项系数为_________,

因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零.

所以___________________,即_________________.

综上所述，关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是________.

问题2  将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．

(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；     (2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；   (3)4x2＝3x－＋1.

【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式，

其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.

【针对训练】

1.若关于x的方程(k－3)x|k|-1－x－2＝0是一元二次方程，则k=_____.   

2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.

(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．

(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．

探究点2：一元二次方程的解

问题  若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值.

【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的等

量关系，通常运用整体代入的思想求解.

【针对训练】

已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求a，b的值．

探究点3：列一元二次方程

问题  列方程：某公司一月份营业额为10万元，三月份营业额为12.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤如下：

【针对训练】

列方程：在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？

二、课堂小结

当堂检测

1.将一元二次方程2(x＋1)(x－2)＝x(x＋3)－5化为一般形式为(　 　)

A．x2－5x＋1＝0   B．x2＋x－9＝0 C．x2－4x＋3＝0    D．x2－x＋1＝0

2.下列各数是一元二次方程2x2＋5x＋2＝0的根的是(　 　)

A．1    B．－1 C．2     D．－2

3.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么c的值是(　　)

A．1    B．2   C．3  D．4

4．用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若设该长方形的一边长为x cm，面积为50 cm2，则可列方程为____________.

5.方程化为一般式为________，它的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______.

6.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若LM=RS=x米，请根据题意列出方程.

7.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的十位数字为x，求这个两位数．请根据题意列出方程并化为一般形式.

参考答案

自主学习

一、新知预习

（x+10）   x（x+10）=900    x²+10 x-900=0

（1）一元二次   （2）2 

ax²+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）

合作探究

一、探究过程

探究点1：

问题1  2a -4     2a -4≠0     a≠2    a≠2

问题2   解：（1）x²+ 6x+2=0；0，6，-2.   （2）5x²+ 5x-5=0；5,5,-5.  

（3）4x²-3x+-1=0；4，-3，-1.

【针对训练】

1.-3 

2. 解：（1）由题意，得m2－16＝0且m＋4≠0，则m=4.此时方程的解为x=.

（2）由题意，得m2－16≠0，m≠±4. 这个方程的二次项系数为m2－16，一次项系数为m＋4，常数项为-9．

探究点2：

问题   解：由题意，得1+3m+n＝0，则3m+n＝-1，6m+2n=-2.

【针对训练】

3. 解：将x1＝3，x2＝－代入，得解得 

探究点3：

问题    解：设这两个月营业额的平均增长率是x，由题意可得10（1+x）2=12.1.

【针对训练】

4.解：设小路的宽为xm，根据题意，得（20-x）（32-2x）=570．

二、课堂小结

ax²+bx+c=0    a   b    c    式子   题意   等量关系   未知数

当堂检测

1. A   2.D    3. A

4. x（15-x）=50

5. x²+3x-1=0      1     3    -1  

6.解：由题意得（22-x）（17-x）=300.

7.解：根据题意，得x(6－x)＝[10x＋(6－x)]，即x2－3x＋2＝0.