初中数学华师大版九年级上册22.1 一元二次方程练习题

第22章　一元二次方程

单元大概念素养目标

22.1　一元二次方程

基础过关全练

知识点1　一元二次方程的定义

1.【数学文化】【新独家原创】一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.下列方程中,一定是一元二次方程的是              (　　)

A.x+2y=-5　

B.x2-2x+1=0

C.5x2-6y-2=0　

D.x2+3=

2.【易错题】【教材变式·P20T1】(2023福建漳州东盛教育集团期中)若方程(m-2)-2x-4=0是关于x的一元二次方程,则m=　　　. 

知识点2　一元二次方程的一般形式

3.(2023吉林长春四十八中月考)一元二次方程x2-x=4的一次项系数,常数项分别是 (　　)

A.1,-1　B.1,-4

C.-1,-4　D.-1,4

4.(2023河南南阳宛城月考)关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为　　　. 

知识点3　一元二次方程的根

5.(2023陕西西安空港新城期中)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根,则m的值是              (　　)

A.-1　B.0　C.1　D.2

6.(2023山西省实验中学期中)已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根,则a-b+2 023=　　　. 

7.【一题多解】(2023四川成都嘉祥外国语学校月考)已知x=a是方程x2-2 022x+1=0的根,求a2-2 021a-的值.

知识点4　由实际问题列一元二次方程

8.【新考法】(2023吉林长春汽开区期中)某厂家2022年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可列方程为(　　)

A.180(1-x)2=461　B.180(1+x)2=461

C.368(1-x)2=442　D.368(1+x)2=442

9.【教材变式·P20T3】(2023海南海口中学期中)如图,在一块长30 m,宽20 m的矩形田地上,修建一横两竖同样宽的三条道路,把田地分成六块,种植不同品种的蔬菜,使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍.设道路的宽为x m,可列方程为　　　　　　　　　　. 

10.(2023湖南长沙周南实验中学月考)为防控疫情,我们应该做到有“礼”有“距”,于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行.某次会议上,每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”,经统计共碰肘28次,若设有x人参加这次会议,则可列方程为　　　　　　　. 

能力提升全练

11.【数学文化】(2022山东泰安中考,10,★☆☆)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是(　　)

A.3(x-1)x=6 210

B.3(x-1)=6 210

C.(3x-1)x=6 210

D.3x=6 210

12.(2022四川遂宁中考,9,★★☆)已知m为方程x2+3x-2 022=0的根,那么m3+2m2-2 025m+2 022的值为              (　　)

A.-2 022　B.0

C.2 022　D.4 044

13.【新情境·教育投入】(2022山西模拟,14,★☆☆)2021年7月29日,山西省政府新闻办举行新闻发布会,2020年山西省教育经费支出首次突破700亿元,达到733.4亿元,成为继社会保障支出后的第二大支出.据有关资料显示,2018年山西省教育经费支出为668.96亿元.若2019,2020这两年山西省教育经费支出的年平均增长率相同,求这两年的年平均增长率,若设这两年的年平均增长率为x,则根据题意,可列方程为　　　　　　　　　　　. 

14.【开放型试题】(2022湖南岳阳华容模拟,13,★☆☆)构造一个一元二次方程,要求:①常数项不为0;②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是　　　　　　　(写出一个即可). 

15.(2022浙江衢州中考,14,★★☆)将如图1所示的一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平,纸样如图2所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程:

　　　　　　　　　　(不必化简). 

 　　　　图1　　　　　　　图2

16.【新定义试题】(2022湖南常德武陵模拟,17,★★☆)在一元二次方程x2-2ax+b=0中,若a2-b>0,则称a是该方程的中点值.

(1)方程x2-8x+3=0的中点值是　　　; 

(2)已知x2-mx+n=0的中点值是3,其中一个根是2,则此时mn的值为　　　. 

素养探究全练

17.【模型观念】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).

(1)若a+c=-b,求证:x=1必是该方程的一个根;

(2)当a,b,c之间的关系是　　　　　　时,方程必有一根是x=-1. 

答案全解全析

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1.B　x+2y=-5是二元一次方程,不是一元二次方程;5x2-6y-2=0含有两个未知数,不是一元二次方程;x2+3=是分式方程,不是一元二次方程.

2.-2

解析　要使一个方程为一元二次方程,除了要保证未知数的最高次数是2,还要保证二次项的系数不为0,遗漏这个条件会造成多解的错误.∵方程(m-2)-2x-4=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0且m2-2=2,∴m=-2.

3.C　将原方程整理成一般形式为x2-x-4=0,其一次项系数,常数项分别是-1,-4.

4.-3

解析　将方程整理成一般形式为(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,∵一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,∴m-3≠0且m2-9=0,∴m=-3.

5.A　把x=1代入方程x2+mx=0得1+m=0,解得m=-1.

6.2 022

解析　把x=1代入方程x2+ax-b=0,得1+a-b=0,所以a-b=-1,则a-b+2 023=-1+2 023=

2 022.

7.解析　解法一:(整体代入法)把x=a代入x2-2 022x+1=0得a2-2 022a+1=0,∴a2-2 022a=-1,a2+1=2 022a,∴a2-2 021a-=a2-2 022a+a-=-1+a-a=-1.

解法二:(一般代入法)∵x=a是方程x2-2 022x+1=0的根,∴a2-2 022a+1=0,∴a2=2 022a-1,∴a2-2 021a-=2 022a-1-2 021a-=a-1-a=-1.

8.B　本题利用折线统计图来列一元二次方程,考查形式新颖.由增长后的量=增长前的量×(1+增长率)2可列方程为180(1+x)2=461.

9.(30-2x)(20-x)=30×20×

解析　∵种植蔬菜的面积为道路面积的3倍,∴种植蔬菜面积为矩形田地面积的.根据题意得(30-2x)·(20-x)=30×20×.

10.x(x-1)=28

解析　根据“碰肘的总次数=参会人数×(参会人数-1)÷2”即可得到关于x的一元二次方程为x(x-1)=28.

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11.A　∵这批椽的数量为x株,每株椽的运费是3文,少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,∴一株椽的价钱为3(x-1)文.依题意得3(x-1)x=6 210.

12.B　∵m为方程x2+3x-2 022=0的根,∴m2+3m-2 022=0,∴m2+3m=2 022,∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.

13.668.96(1+x)2=733.4

解析　根据题意可列方程为668.96(1+x)2=733.4.

14.答案不唯一,如x2-1=0

15.15x(10-x)=360

解析　依题意列出关于x的方程为15x(10-x)=360.

16.(1)4　(2)48

解析　(1)∵42-3=13>0,∴方程x2-8x+3=0的中点值是4.

(2)根据题意得m=3,解得m=6,方程化为x2-6x+n=0,把x=2代入得4-12+n=0,解得n=8,∴mn=6×8=48.

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17.解析　(1)证明:∵a+c=-b,∴a+b+c=0.

当x=1时,ax2+bx+c=a×12+b×1+c=a+b+c=0.

∴x=1必是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根.

(2)当x=-1时,ax2+bx+c=a×(-1)2+b×(-1)+c=a-b+c,∴当a-b+c=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根是x=-1.