华师大版九年级上册22.3 实践与探索课时训练

第22章　一元二次方程

22.3　实践与探索

基础过关全练

知识点1　实际应用问题探索

1.(2023河南郑州枫杨外国语学校月考)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数为73,则每个支干长出小分支的个数为(　　)

A.7　B.8　C.9　D.10

2.【跨学科·化学】在某种环境下,气体的体积V(m3)随气压p(kPa)的变化而变化,但二者的乘积等于定值k,即pV=k,V与p之间的变化满足一次函数关系式V=3p-12,求当k=96时气体的气压p的值.

3.【数学文化】(2023海南海口中学月考)直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系,在中国称为“商高定理”,在国外又称为“毕达哥拉斯定理”.由此发现三个连续正整数3,4,5,满足32+42=52,即前两个数的平方和等于第三个数的平方.则是否存在五个连续正整数,满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和?若存在,请求出这五个正整数;若不存在,请说明理由.

知识点2　列一元二次方程解应用题的常见类型

4.【新素材·实时热点】(2023山西省实验中学月考)某市积极响应国家的号召“房子是用来住的,不是用来炒的”,在宏观调控下,商品房成交价由今年1月份的每平方米10 000元下降到3月份的每平方米8 100元,且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致,则今年4月份的房价为每平方米              (　　)

A.7 300元　B.7 290元　

C.7 280元　D.7 270元

5.【教材变式·P42练习T2】(2023山西晋中介休期中)某超市购进一批商品,单价为40元.经市场调查,销售单价为52元时,可售出180个,销售单价每增加1元,销售量就减少10个,因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180,若超市将准备获利2 000元,则销售单价为              (　　)

A.50元　B.60元　

C.50或60元　D.100元

6.(2023湖南衡阳第十五中学期中)如图,社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场,其布局如图所示,已知停车场的长为26米,宽为14米,阴影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为160平方米,则通道的宽是　　　米. 

7.【新独家原创】美丽的海滨城市山东威海的海产品非常丰富,某商场经营的一种海产品,进价是30元/kg,根据市场调查发现,每日的销售量y(kg)与售价x(元/kg)满足一次函数关系,下表记录的是某两日的有关数据:

(1)y与x的函数关系式为　　　　　　　(不写自变量的取值范围); 

(2)在销售过程中销售单价不低于成本价,且不高于80元.某日该商场出售这种海产品获得了14 000元的利润,则该海产品的售价为　　　元/kg. 

8.【一题多变】(2023河南周口商水希望初级中学月考)如图,为建设美丽校园,学校准备利用一面围墙和旁边的空地,建一个面积为160平方米的长方形花坛,另三边用木质围栏围成,围栏总长36米,若墙足够长,则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米?

[变式1](2023湖南衡阳船山实验中学期中)如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m)围成一个矩形花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.

(1)当矩形的边BC长为多少米时,矩形花园的面积为300 m2?

(2)能否围成面积为480 m2的矩形花园,为什么?

[变式2](2023吉林长春东北师大附中月考)如图,利用22米长的墙为一边,用篱笆围成一个长方形仓库ABCD,中间用篱笆分割出两个小长方形,在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门,总共用去篱笆34米,为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米,求AB和BC的长.

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9.(2022江苏南通中考,6,★☆☆)李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3月盈利3 630元.若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是              (　　)

A.10.5%　　B.10%　　C.20%　　D.21%

10.(2022河南周口郸城模拟,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=7 cm.点P从点B开始沿边BA向点A以2 cm/s的速度移动,同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止.当四边形APQC的面积为11 cm2时,点P的运动时间为(　　)

A.1 s　B.1 s或2.5 s

C.2 s　D.2 s或5 s

11.(2022山西百校联盟模拟,14,★☆☆)如图,在一块长为40米,宽为30米的矩形荒地上,要建造一个花园(阴影部分),使得花园的面积为荒地面积的,小明设计出如图所示的方案,则图中x的值为　　　. 

12.【新定义试题】(2022山西长治模拟,7,★★☆)对于任意一个四位数,若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍,则称这个四位数为“共生数”.例如:四位数2 156,因为2×6=2×(1+5),所以2 156是“共生数”.有一个四位数为“共生数”,它的千位上的数字与个位上的数字相等,百位上的数字比千位上的数字多3,十位上的数字比个位上数字的一半少1,则这个“共生数”的个位上的数字为　　　. 

13.(2022山东德州中考,22,★☆☆)如图,某小区矩形绿地的长,宽分别为35 m,15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.

(1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m2,求新的矩形绿地的长与宽;

(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3.求新的矩形绿地的面积.

14.(2022贵州毕节中考,25,★★☆)2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价-进货价)

(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;

(2)第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2 200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少?

(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元?

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15.【推理能力】(2023山西大同新荣期中)如图为2022年10月的月历表,在其中用一个方框圈出4个数(如图中虚框所示),设这4个数从小到大依次为a,b,c,d.

(1)若用含有a的式子分别表示出b,c,d,其结果应为b=　　　,c=　　　,d=　　　; 

(2)按这种方法所圈出的四个数中,ab的最大值为　　　; 

(3)嘉嘉说:“按这种方法可以圈出四个数,使得bc的值为135.”

淇淇说:“按这种方法可以圈出四个数,使最小数a与最大数d的乘积ad为84.”

请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.

答案全解全析

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1.B　设每个支干长出x个小分支,由题意得1+x+x2=73,即x2+x-72=0,∴(x+9)(x-8)=0,解得x1=8,x2=-9(舍去),故每个支干长出8个小分支.

2.解析　∵k=96,V=3p-12,∴p(3p-12)=96,∴3p2-12p-96=0,即p2-4p-32=0,分解因式得(p+4)·(p-8)=0,解得p1=-4(舍去),p2=8,即当k=96时气体的气压p的值为8.

3.解析　存在,这五个连续正整数为10,11,12,13,14.理由如下:设这五个连续正整数分别为n,n+1,n+2,n+3,n+4,由题意得:n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2,整理得n2-8n-20=0,解得n1=10,n2=-2(不符合题意,舍去),故这五个连续正整数为10,11,12,13,14.

4.B　设今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率为x,根据题意得10 000(1-x)2=8 100,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去),∴8 100(1-x)=8 100×(1-10%)=7 290,∴今年4月份的房价为每平方米7 290元.

5.B　设销售单价为x元,根据题意得(x-40)[180-10(x-52)]=2 000,整理得x2-110x+3 000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时,700-10x=700-10×50=200>180,不符合题意,舍去;当x=60时,700-10x=700-10×60=100<180,符合题意,∴销售单价为60元.

6.3

解析　设通道的宽是x米,根据题意得(26-2x)(14-2x)=160,整理得x2-20x+51=0,解得x1=3,x2=17(不符合题意,舍去),∴通道的宽是3米.

7.(1)y=-10x+1 200　(2)50

解析　(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,由表格可知,当x=35时,y=850;当x=40时,y=800,

∴解得∴y与x的函数关系式为y=-10x+1 200.

(2)依题意可得(x-30)(-10x+1 200)=14 000,整理得x2-150x+5 000=0,解得x1=50,x2=100,∵30≤x≤80,∴x2=100不符合题意,舍去,∴该海产品的售价是50元/kg.

8.解析　设花坛垂直于墙的一边长应安排x米,根据题意得x(36-2x)=160,解得x1=8,x2=10,故花坛垂直于墙的一边长应安排8米或10米.

[变式1]　解析　(1)设BC=x m,则AB= m,依题意得x·=300,整理得x2-62x+600=0,解得x1=12,x2=50.∵墙EF最长可利用28 m,∴x=12,故当矩形的边BC长为12 m时,矩形花园的面积为300 m2.

(2)不能围成面积为480 m2的矩形花园,理由如下:设BC=y m,则AB= m,依题意得y·=480,整理得y2-62y+960=0,解得y1=30,y2=32.∵墙EF最长可利用28 m,∴y1=30,y2=32均不符合题意,舍去,∴不能围成面积为480 m2的矩形花园.

[变式2]　解析　设AB=x米,则BC=(36-3x)米,依题意得x(36-3x)=96,解得x1=4,x2=8,当x=4时,36-3x=24>22(不合题意,舍去);当x=8时,36-3x=12,故AB的长为8米,BC的长为12米.

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9.B　设从1月到3月,每月盈利的平均增长率为x,由题意可得3 000(1+x)2=3 630,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去),故每月盈利的平均增长率为10%.

10.C　设当四边形APQC的面积为11 cm2时,点P的运动时间为x s,由题意得PB=2x cm,CQ=x cm,则BQ=BC-CQ=(7-x)cm,由题意得×6×7-·2x(7-x)=11,整理得x2-7x+10=0,解得x1=2,x2=5(不符合题意,舍去),∴x=2,即当四边形APQC的面积为11 cm2时,点P的运动时间为2 s,

11.10

解析　依题意得(40-x)(30-2x)=40×30×,整理得x2-55x+450=0,解得x1=10,x2=45(不合题意,舍去).

12.4

解析　设这个“共生数”的个位上的数字为x,根据题意可得千位上的数字为x,百位上的数字为x+3,十位上的数字为x-1,由题意得x2=2,解得x1=4,x2=-1(不符合题意,舍去),即这个“共生数”的个位上的数字为4.

13.解析　(1)设将绿地的长,宽都增加x m,则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m,根据题意得(35+x)(15+x)=800,整理得x2+50x-275=0,解得x1=5,x2=-55(不符合题意,舍去),∴35+x=35+5=40,15+x=15+5=20,故新的矩形绿地的长为40 m,宽为20 m.

(2)设将绿地的长,宽都增加y m,则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,根据题意得(35+y)∶(15+y)=5∶3,即3(35+y)=5(15+y),解得y=15,

∴(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1 500,故新的矩形绿地的面积为1 500 m2.

14.解析　(1)设购进A款钥匙扣x件,B款钥匙扣y件,依题意得解得

答:购进A款钥匙扣20件,B款钥匙扣10件.

(2)设购进m件A款钥匙扣,则购进(80-m)件B款钥匙扣,依题意得30m+25(80-m)≤2 200,解得m≤40.设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元,则w=(45-30)m+(37-25)·(80-m)=3m+960.∵3>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=40时,w取得最大值,最大值=3×40+960=1 080,此时80-m=80-40=40.

答:当购进40件A款钥匙扣,40件B款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1 080元.

(3)设B款钥匙扣的销售价定为a元/件,则B款钥匙扣每件的销售利润为(a-25)元,平均每天可售出4+2(37-a)=(78-2a)件,依题意得(a-25)(78-2a)=90,整理得a2-64a+1 020=0,解得a1=30,a2=34.

答:将销售价定为每件30元或34元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元.

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15.解析　(1)a+1;a+7;a+8.

(2)观察题图可知a的最大值为23,∴ab的最大值为23×(23+1)=552.

(3)嘉嘉的说法错误,理由如下:

根据题意得(a+1)(a+7)=135,整理得a2+8a-128=0,解得a1=8,a2=-16(不符合题意,舍去),

∵2022年10月8日为星期六,由题图可知不符合题意,∴嘉嘉的说法错误.

淇淇的说法正确,理由如下:

根据题意得a(a+8)=84,整理得a2+8a-84=0,解得a1=6,a2=-14(不符合题意,舍去),∵2022年10月6日为星期四,由题图可知符合题意,∴淇淇的说法正确.