专题61 带电粒子在叠加场中的运动-高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

专题61 带电粒子在叠加场中的运动

【知识导学与典例导练】

一、基础必备知识

1．三种场的比较

2．关于是否考虑粒子重力的三种情况

(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。

(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。

(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。

二、带电粒子在叠加场中的直线运动

1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。

2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。　

【例1】如图所示，质量为m、电荷量为＋q的圆环可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度—时间图像可能是下列选项中的（  ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】A．带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力，若满足重力与洛伦兹力相等，即圆环做匀速直线运动，A正确；

D．如果洛伦兹力大于重力，圆环受到摩擦力的作用，做减速运动，竖直方向有随着速度的减小，支持力减小，摩擦力减小，圆环做加速度逐渐减小的减速运动，当重力与洛伦兹力相等时，做匀速直线运动，D正确；

BC．如果重力大于洛伦兹力，圆环也受摩擦力作用，做减速运动，竖直方向有随着速度的减小，支持力增大，摩擦力增大，圆环将做加速度逐渐增大的减速运动，BC错误。故选AD。

三、带电粒子在叠加场中的圆周运动

1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。

2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。

【例2】xOy为竖直面内的直角坐标系，x轴下方有垂直于坐标面向里的匀强磁场，第III象限还有平行于y轴的匀强电场，如图所示。现有一质量为m的带负电的油滴从x轴上方的A点由静止自由落下至P点进入磁场区域，A点到P点的距离为d. 油滴恰好从Q点垂直于y轴进入第III象限，经过圆周从D点垂直于x轴进入第II象限，D点与O点相距2d，重力加速度为g，依据上述数据，下列说法正确的是（   ）

A．电场力对油滴做功2mgd

B．油滴在D点的动能大小为mgd

C．油滴作圆周运动时受到的洛伦兹力大小为3mg

D．从A点到D点，油滴重力做功3mgd

【答案】AC

【详解】A．粒子在第三象限内做圆周运动，则mg=qE则从Q点到D点，电场力做功为

W=qE∙2d=2mgd选项A正确；

B．油滴在D点的动能等于在Q点时的动能，从A点到Q点由动能定理选项B错误；

C．油滴作圆周运动时受到的洛伦兹力等于向心力，则大小为选项C正确；

D．从A点到D点，油滴重力做功mgd，选项D错误。故选AC。

四、配速法处理带电粒子在叠加场中的运动

1.若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。

2.几种常见情况：

【例3】空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解法一：

AC．在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转。AC错误；

BD．运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B正确，D错误。故选B。

解法二：

粒子在O点静止，对速度进行分解，分解为向x轴正方向的速度v，向x轴负方向的速度v’，两个速度大小相等，方向相反。使得其中一个洛伦兹力平衡电场力，即则粒子的在电场、磁场中的运动，可视为，向x轴负方向以速度做匀速直线运动，同时在x轴上方做匀速圆周运动。故选B。

【多维度分层专练】

1．如图所示，在真空中竖直平面（纸面）内边长为a的正方形ABCD区域，存在方向沿CB（水平）的匀强电场和方向垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球以速率（g为重力加速度大小）从A点沿AC方向射人正方形区域，恰好能沿直线运动。下列说法正确的是（　　）

A．该小球带正电

B．磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外

C．若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球将做直线运动

D．若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A点沿AC方向以速率射入正方形区域，则小球将从D点射出

【答案】AD

【详解】AB．由题意可知，小球做的是匀速直线运动，小球受力平衡，小球受向下重力、若小球带正电，受水平向左的电场力，小球受洛伦兹力应斜向右上，则磁场垂直纸面向里；若小球带负电，受水平向右的电场力，若磁场垂直纸面向里，小球受洛伦兹力斜向左下；若磁场垂直纸面向外，小球受洛伦兹力斜向右上，小球受力都不会平衡，所以小球一定带正电，选项A正确，B错误；

C．若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，小球受向下重力、小球带正电，受水平向左的电场力，由左手定则可知，小球受洛伦兹力斜向左下，可知小球受的合力不是零，速度会变化，洛伦兹力也会变化，小球将做曲线运动，选项C错误；

D．由物体的平衡条件有qvB=mg其中v=；qE=mg若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上后，电场力与重力平衡，小球沿逆时针方向做匀速圆周运动，设轨道半径为r，有解得

小球将从D点射出，选项D正确。故选AD。

2．如图所示，光滑地面放置一足够长的不带电绝缘木板，空间中存在水平向右的匀强电场和垂直向里的匀强磁场，匀强电场场强为，匀强磁场磁感应强度为，木板上表面静止释放一个带电种类未知的物块，二者质量均为，它们间的动摩擦因数为。物块的电量大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。已知刚开始木板物块一起运动，之后能发生相对滑动，则（  ）

A．一起运动时，一定共同向右做匀加速直线运动

B．一起运动时，两物体间的摩擦力不变

C．两物体间的压力为零时，恰好发生相对滑动

D．恰好发生相对滑动时，物块速度大小为

【答案】BD

【详解】A．刚开始一起运动，因为不知道物体电性，不能判断运动方向，A错误；

B．物体一起运动时，有；所以一起运动时，两物体间的摩擦力不变，B正确；

CD．恰好相对滑动时，两者之间的水平作用力达到最大静摩擦力，满足

解得，C错误，D正确；故选BD。

3．如图所示，足够长的斜面与水平虚线之间的夹角为30°，相交于P点，虚线以上匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里；虚线以下匀强磁场的磁感应强度大小也为B，方向垂直纸面向外。一带电量为q、质量为m的带负电滑块，在水平虚线上方斜面上的某点由静止释放，运动过程中始终没脱离斜面，已知滑块与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，关于它的运动说法正确的是（　　）

A．滑块在到达P点之前做匀加速直线运动

B．滑块经过P点后的一小段时间内加速度可能增大

C．滑块经过P点后的一小段时间内速度可能减小

D．滑块最终一定以大小为的速度沿斜面向下运动

【答案】CD

【详解】A．对滑块受力分析，如图所示：

由牛顿第二定律得：随着速度增加，加速度增加，滑块做加速度增加的加速运动，A错误；

BC．滑块经过P点后受到的洛伦兹力垂直斜面向下，摩擦力f=μ（mgcosθ+qvB）变大，加速度不会变大，若f＞mgsinθ，滑块可能减速运动，速度减小，B错误，C正确；

D．滑块最终做匀速运动，则有：mgsinθ=μ（mgcosθ+qvB）解得：，D正确。故选CD。

4．如图所示，虚线MN右侧存在着匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，电场方向竖直向上，长方形ABCD的AD边与MN重合，长方形的AB边长为l，AD边长为。一质量为m、电荷量为＋q的微粒垂直于MN射入电场、磁场区域后做匀速圆周运动，到达C点时刻，电场方向立刻旋转90°，同时电场强度大小也发生变化，带电微粒沿着对角线CA从A点离开。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

A．电场方向旋转90°之后，电场方向水平向左

B．电场改变之后，场强大小变为原来的2倍

C．微粒进入N右侧区域时的初速度为

D．匀强磁场的磁感应强度大小为

【答案】CD

【详解】A．微粒从C到A做直线运动，可知洛伦兹力（斜向左上方）与重力（竖直向下）和电场力的合力平衡，则电场力方向必然水平向右，所以电场方向水平向右，A错误；

B．电场改变前，微粒在电场、磁场区域做匀速圆周运动，则qE＝mg即电场改变之后，受力情况如图所示

微粒受力平衡，重力与电场力的合力与洛伦兹力等大反向，可得即，B错误；

CD．微粒做直线运动时受力平衡，可得由洛伦兹力作为向心力可得由几何关系可得联立解得；，CD正确。故选CD。

5．如图所示，竖直放置的两块很大的平行金属板a、b，相距为d，a、b间的电场强度为E，今有一带正电的微粒从a板下边缘以初速度竖直向上射入电场，当它飞到b板时，速度大小不变，而方向变成水平方向，且刚好从高度也为d的狭缝穿过b板而进入区域，宽度也为d，所加电场大小为E，方向竖直向上，磁感应强度方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小等于，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）

A．微粒在区域中做匀变速运动，运动时间为

B．微粒在区域中做匀速圆周运动圆周半径

C．微粒在区域中做匀速圆周运动，运动时间为

D．微粒在、区域中运动的总时间为

【答案】AC

【详解】A．微粒在ab间受到的重力、电场力恒定，故合力，加速度恒定，做匀变速曲线运动，在竖直方向做竖直上抛运动，末速度为0，故运动时间，上升高度，A正确；

BC．在ab区域，水平方向上，做初速度为零的匀加速直线运动，末速度，由牛顿第二定律可得

由运动学公式可得联立可得qE=mg，在cd区域，所受电场力与重力等大反向，在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得由，，联立可解得r=2d，设微粒在磁场中运动轨迹的圆心角为，由几何关系可得故，在磁场中的运动时间

B错误，C正确；

D．微粒在、区域中运动的总时间为，D错误。故选AC。

6．如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里。三个质量相等的小球，分别带上不等量的正电荷，电荷量分别为、、。已知在该区域内，a在纸面内向右做匀速直线运动，b在纸面内做匀速圆周运动，c在纸面内向左做匀速直线运动，三球速度大小相等，下列选项正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题意可知，a球在纸面内向右做匀速直线运动，对a球受力分析可知，a球受到竖直向上的电场力，竖直向上的洛伦兹力，竖直向下的重力mg；由球a受力平衡可得其中

，联立以上两式解得，b球受力分析可知，b球受竖直向上的电场力，竖直向下的重力mg，指向圆心的洛伦兹力。由于b球做匀速圆周运动，所以b球的合外力只由洛伦兹力提供，所以重力和电场力的合力为零，得其中联立以上两式解得对c球进行受力分析可知，c球受竖直向上的电场力，竖直向下的洛伦兹力，竖直向下的重力。由于c球向左做匀速直线运动，即受力平衡，得其中，联立以上两式解得所以

所以A项正确，故选A。

7．如图所示，下端封闭、上端开口、内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管子底部有一带电小球。整个装置以水平向右的速度匀速运动，垂直于磁场方向进入方向水平的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端口飞出，小球的电荷量始终保持不变，则小球从玻璃管进入磁场至飞出上端口的过程中（　　）

A．小球运动轨迹是一段圆弧

B．小球运动轨迹是抛物线

C．洛仑兹力对小球做正功

D．管壁的弹力对小球做负功

【答案】B

【详解】AB．最终小球从上端口飞出，再由磁场方向垂直向里，依据左手定则可知，小球带正电荷；设小球竖直分速度为vy、水平分速度为v，以小球为研究对象，受力如图所示，

由于小球随玻璃管在水平方向做匀速直线运动，则竖直方向的洛伦兹力F1=qvB是恒力，由牛顿第二定律得

qvB-mg=ma；a=小球的加速度不随时间变化，恒定不变，故小球竖直方向做匀加速直线运动，水平方向做匀速直线运动，则小球运动轨迹是抛物线，故A错误，B正确；

C．洛伦兹力方向总是与小球的速度方向垂直，对小球不做功，故C错误；

D．小球从进入磁场到飞出端口前的过程中管壁的弹力向右，小球向右运动，故弹力做正功，故D错误．

故选B。

8．如图所示，将一质量为m，带电量为+q的小球在空间垂直纸面向里的匀强磁场中由静止释放，其运动轨迹为“ 轮摆线”，为方便分析，可将初始状态的速度（为零）分解为一对水平方向等大反向的速度v，即该运动可以分解为一个匀速直线运动1和一个匀速圆周运动2两个分运动，重力加速度为g，磁感应强度大小为B，为实现上述运动的分解，下列说法正确的是（　　）

A．速度

B．分运动2的半径为

C．小球在轨迹最低点处的曲率半径为

D．小球从释放到最低点的过程中重力势能的减少量为

【答案】C

【详解】A．分运动1为匀速直线运动，根据平衡条件有解得故A错误；

B．分运动2做匀速圆周运动，可得解得故B错误；

C．小球在最低点的速度大小为2v，则有且，解得故C正确；

D．此过程只有重力做功，重力势能全部转化为动能，所以有故D错误。故选C。

9．如图所示，一质量为m、电量为+q的带电粒子，以初速度v0从左端中央沿虚线射入正交的场强为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场区域中。若，当粒子从右端某点p（图中没标出）离开时的速率为vp，侧移量为s，粒子的重力不计，则下列说法正确的是（　　）

A．粒子从p点离开时的速率为

B．粒子有可能从虚线的下方离开磁场

C．粒子在磁场中运动的最大速度为2v0

D．粒子在该区域中运动的加速度大小恒为

【答案】AD

【详解】AB．粒子从进入到p点的过程中，由于，可知粒子向上偏转，电场力做负功，由动能定理解得，A正确，B错误；

CD．设，将粒子的速度v0分解为水平向右的v和水平向右的(v0-v)，则粒子的运动可分解为以速度v向右的匀速直线运动（受电场力和洛伦兹力平衡）和初速度向右为(v0-v)的纸面内的逆时针匀速圆周运动，当粒子经过圆周运动周期的整数倍时回到最低点，两分运动速度同向，合速度最大为v0，粒子的合力大小为匀速圆周运动的合力大小，为由牛顿第二定律知加速度大小恒为

，C错误，D正确。故选AD。

10．如图所示，沿水平和竖直方向建立直角坐标系，沿x轴放置一块长为4d的绝缘板，y轴左侧固定一内壁光滑的半圆管道（内径很小），半圆直径为d，且与y轴重合。第一象限内绝缘板的上方存在有理想边界的匀强电场和匀强磁场，电场强度，方向竖直向上；磁场方向垂直于坐标平面向外，磁感应强度为B，上边界处纵坐标为y。一带电量为q、质量为m的绝缘小球a（直径略小于管道内径）静止在坐标原点O处，质量为2m的不带电的小球b以初速度v0（未知）向左运动，与球发生弹性正碰（假设此后运动过程中两球不再碰撞，重力加速度为g）。

（1）若碰撞后球恰能通过管道最高点，求的大小；

（2）若场区上边界，球通过最高点后恰能再次水平向左通过O点，求的大小；

（3）若场区上边界球以通过最高点后恰好从坐标为的P点水平射出场区，则磁感应强度应满足什么条件？

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【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，

【详解】（1）球恰能通过管道最高点求得对a球从O点到最高点,应用动能定理对a球，球b动量守恒能量守恒

联立求得

（2）球在电磁场外做平抛运动；；

球通过最高点后恰能再次水平向左通过O点如图

有几何关系得又有其中求得

（3）设小球第一次从M点入射进场中，入射速度为与水平方向夹角为，由平抛运动得，水平位移竖直位移；；解得；；；

则速度与水平方向为由球运动轨迹，轨迹与ｙ轴相切，有

解得粒子水平打在P点满足解得；

由于；解得由题意可得即解得当时当时当时