四川省资阳中学2022-2023学年高二数学（文）下学期3月月考试题（Word版附解析）

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2022－2023学年度下期高2021级三月考试卷数 学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选图其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案正确填写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，只将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【详解】点对应的直角坐标为，则直线的直角坐标方程为，转化为极坐标方程：.2. 圆经过伸缩变换后所得图形的焦距是（    ）A. 4 B.  C.  D. 6【答案】C【解析】【分析】先求出变换后的方程，再求焦距.【详解】由可得：代入得：，所以，所以焦距是.故选：C3. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的值为A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】将双曲线方程化为标准方程，求得、，根据可求得实数的值.【详解】双曲线的标准方程为，则，，由于该双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则，即，解得.故选：D.4. 在极坐标系中，点到直线的距离为（    ）A. 2 B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将点的极坐标和直线的极坐标方程化为直角坐标和直角坐标方程，再根据点到直线的距离求解即可.【详解】将点化为直角坐标得：，直线的直角坐标方程为：，所以点到直线的距离为.故选：A点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于将极坐标与极坐标方程化为直角坐标与直角坐标方程，进而计算距离突破难点.5. 椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是.若成等差数列，则此椭圆的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知：，根据成等差数列，可得与的关系，进而求出离心率.【详解】由题意可知：，又因为成等差数列，所以，也即，所以，则，故选：C.6. 已知点是圆上的动点，则的最大值为（    ）A.  B.  C. 6 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准方程，设x、y的参数方程，利用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值即可.【详解】由，令，则，所以当时，的最大值为.故选：A7. 若双曲线渐近线与圆相切，则k=（    ）A. 2 B.  C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，即,∵双曲线的渐近线与圆相切，且圆心为，∴，解得．故选：B8. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，如图，过作于，由抛物线的定义可知，所以则当三点共线时，最小为.所以的最小值为.故选：C.9. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（    ）A. 2m B. 3m C. 2.5m D. 1.5m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，点在抛物线上，所以，解得，所以，所以管柱的高度为．故选：B．10. 过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为A.  B.  C.  D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，抛物线的焦点为，设，则，，由可得：，整理可得：，，，，则：，由可得：.故选：B.12. 已知直线与椭圆：交于两点，弦平行轴，交轴于，的延长线交椭圆于，下列说法正确的个数是（    ）①椭圆的离心率为；②；③；④以为直径的圆过点.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D【解析】【分析】根据的关系可求离心率，根据两点斜率公式可判断②，联立方程，根据斜率公式以及韦达定理即可判断③④.【详解】由椭圆方程可知：，因此离心率 ，故①正确，设,则，，由斜率公式可得 ,即，故②正确,设，则直线的方程为，所以故 联立直线与椭圆：的方程可得，由根与系数的关系可得，将其代入中，又 ，故，所以 ,所以以为直径的圆过点，故④正确，，故③正确，综上，①②③④均正确，故选：D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.）13. 参数方程，化为普通方程为__．【答案】【解析】【分析】利用消去参数，并求出的取值范围，即可求得普通方程.【详解】由，得，又由，得，得，，化简得，又当时，，所以，综上，得参数方程的普通方程为.故答案为：.14. 在极坐标系中，曲线与交，两点，则______．【答案】【解析】【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标和半径，再求得圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长．【详解】因为，，，所以直角坐标方程为，因为，，所以直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，所以．故答案为：．15. 点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为．且（为坐标原点），则线段的长为_____________．【答案】6【解析】【分析】根据三角形中位线及椭圆定义，即可得线段的长.【详解】解：由题设椭圆的左焦点为，右焦点为，连接则，又点在椭圆上，线段的中点为．且，又为中点，所以由椭圆的定义得，所以.故答案为：6.16. 斜率为1的直线与曲线交于两点，为的焦点，，点为曲线上一点，当的面积取最大值时，__________.【答案】1【解析】【分析】设直线：，联立，根据条件和韦达定理可得抛物线方程和直线的方程，再求出点到直线的距离，当距离最大时，即可得面积最大时的的值，进而可得【详解】设直线：， 联立，，，又， ，解得或（舍去），则，得，，则点到直线的距离当或，即或时，，当，即时，，此时的面积取最大值，故答案为：1.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 求适合下列条件的曲线的标准方程．（1）经过点，且一条渐近线方程为的双曲线；（2）两个焦点坐标分别为，并且经过点的椭圆.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，待定系数即可求得；（2）根据椭圆的定义，以及已知条件，即可求得.【详解】（1）因渐近线为4x＋3y＝0，故可设双曲线的方程为16x2－9y2＝k，将代入得，k＝225－81＝144.代入①并整理得.故所求双曲线的标准方程为.（2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.又因为椭圆过点，不妨设其为，则由椭圆的定义知，所以又因为，所以，因此，所求椭圆标准方程为 .【点睛】本题考查已知双曲线渐近线求双曲线方程，以及已知椭圆上一点及焦点求椭圆方程.18. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设与交点为，，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）先根据曲线的参数方程，消去参数t化为直角坐标方程，然后将 代入求解.（Ⅱ）先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后与曲线的直角坐标方程联立，求得A，B的坐标，再求面积.【详解】（Ⅰ）因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数t得：，即：，又因为，代入上式得曲线：；（Ⅱ）因为曲线的极坐标方程为，所以，所以，联立方程，解得或，∴，，∴.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】（1）    （2）1【解析】【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可【小问1详解】由的焦点坐标为  由双曲线与有相同的焦点所以双曲线的焦点坐标为故，在双曲线中：    ①又双曲线经过点所以    ②解得：所以双曲线的方程为：【小问2详解】由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：由直线与双曲线交于两点，设所以 消去整理得：所以所以由的中点坐标为所以所以.20. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值．【答案】（1）曲线的极坐标方程为；即曲线的直角坐标方程为    （2）2【解析】【分析】（1）通过消参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)利用极径的几何意义求解.【小问1详解】∵,则，∵，曲线的极坐标方程为；由，得，即曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】由得 ， ①由得，②可得 ，即设P，Q两点所对应的极径分别为，则，∴.21. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设经过右焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点.求四边形的面积的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可；（2）首先求出右焦点坐标，当直线的斜率不存在或为时直接求出四边形的面积，当直线的斜率存在且不为时，设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，同理得到，最后由面积公式及基本不等式计算可得.【小问1详解】依题意可得，解得，
 所以椭圆方程为.【小问2详解】由（1）可知，当直线的斜率不存在或为时，，其中通径为，当直线的斜率存在且不为时，设直线，，，则直线，由消去得，，所以，，所以，同理可得，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，综上可得四边形面积的最小值为.22. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．（1）求的轨迹的方程；（2）设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．【答案】（1）    （2）存在定点，使得线段的长度为定值2；理由见解析【解析】【分析】（1）根据动点G到点的距离比它到直线的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，进而得出结果；（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由可说明点D点在一个圆上，由此可得结论.【小问1详解】由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，则动点到点的距离与到直线的距离相等，故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为 ，则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ；【小问2详解】由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，由 ，消去y得： ， ，设 ，则，故 ，同理可求得，所以直线AB的斜率，故直线AB的方程为：，故直线AB过定点 ，设该点为,又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，由于 , ,故以EF为直径的圆的方程为，故存在定点，使得线段的长度为定值2.