四川省宜宾市叙州区第一中学2022-2023学年高二数学（文）下学期4月月考试题（Word版附解析）

叙州区一中2023年春期高二第二学月考试

数学（文史类）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.

2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 为虚数单位，复数的虚部是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算求出复数的代数形式后可得答案．

【详解】由题意得，，

所以复数的虚部是．

故选B．

【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数的虚部为，要强化对复数概念的理解，属于基础题．

2. 某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（    ）

A. 收入和支出最低的都是4月

B. 利润（收入支出）最高为40万元

C. 前5个月的平均支出为50万元

D. 收入频数最高的是70万元

【答案】D

【解析】

【分析】

根据折线图提供的数据判断各选项．

【详解】解析对于A，由折线图知，收入和支出最低的都是4月，故A正确.

对于B，利润最高的是7月份，为40万元，故B正确.

对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，故C正确.

对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误.

故选：D．

3. 已知，的值是（    ）

A. 3 B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的定义与极限的运算可得．

【详解】．

故选：B．

4. 已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=

A.  B. 4 C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.

【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，

∴ ，

解得 ，

故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5. 将曲线按曲线伸缩变换后得到的曲线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由得，然后代入即可得出答案.

【详解】由得，代入得

所以

所以将曲线按伸缩变换后得到的曲线方程为

故选：A

【点睛】本题考查的是伸缩变换，较简单.

6. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程，后来工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.

则上表中丢失的实验数据的值为（    ）

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定数据求出样本中心点，再借助回归直线必过样本中心点即可计算作答.

【详解】由表中数据可得，，

将点代入中，得，解得，

所以丢失的实验数据的值为2.5.

故选：D

7. “”是“直线 与圆相切”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线和圆相切可得，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．

【详解】因为直线与圆相切，所以，.

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．

8. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是

A. 493 B. 383 C. 183 D. 123

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.

【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到

故答案为:C.

【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．

9. 已知函数在（－1,1）上是单调减函数，则实数的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求导数，再根据导函数恒非正求参数取值范围.

【详解】由已知得在上恒成立，

当时，恒成立，

当有，综上

故选：D．

10. 曲线在处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出得到，再求出，利用直线方程的点斜式即可解出.

【详解】由，得，

∴，又，∴曲线在处的切线方程为，

即.

故选：B.

11. 已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．

【详解】由于正四棱锥S﹣ABCD侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．

取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=BC，

取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，

故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．

再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，

所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．

∵HF=AE=a，FG=a，HG==A，

∴cos∠HFG=＞0．

即AE、SD所成的角的正弦值为．

故选C．

【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）．

12. 已知函数，如果关于的方程()有四个不等的实数根，则的取值范围（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造新的函数，求出导数，根据，得出函数的单调区间，画出草图，通过翻折画出函数图像，根据图像将原方程实数根转化为有两个不相等实数根､，且､，结合函数根的分布求解.

【详解】解：构造新的函数，的定义域为，，

令得，当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

∴在处取得极小值也是最小值，又，，

当时，当时恒成立，则做的图像如图，

又，则当时，的图像为的图像向上翻折所得到，

则的图像如图，

令，则原方程化为，设

由图象知当时与有个交点，

当或时与有个交点，

∴又当时，

∴有四个不等的实数根等价于：

有两个不相等实数根､，且､，

则，解得.

故选：A.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某学校为了了解学生的学习情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取50人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号，按编号顺序平均分成50组，若第2组抽出的号码为88，则第8组抽到的号码是___________.

【答案】376

【解析】

【分析】根据系统抽样中等距抽样的方法，计算出抽样间隔，结合第2组抽取号码确定第8组的号码.

【详解】由题设，抽取间隔为，

所以第8组抽到的号码是.

故答案为：376

14. 物体做直线运动，其运动规律是，为时间，单位是s；为路程，单位是m，则它在时的瞬时速度为____m/s．

【答案】####

【解析】

【分析】对求导，将代入计算即可

【详解】由，则

所以该物体在时的瞬时速度为：m/s

故答案为：

15. 已知一个命题的逆命题是“若，，则，”，写出原命题的否命题：______．

【答案】若或，则或

【解析】

【分析】先根据逆命题推出原命题，再写出其否命题即可．

【详解】解：该命题的逆命题是：若，，则，，

故原命题为：若，，则，，

所以原命题的否命题为：若或，则或．

故答案为若或，则或．

【点睛】本题考查了四种命题，在写命题的否命题时，不光要对条件和结论否定，还要注意对连接词的否定，本题属基础题．

16. 若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数在区间上有两个极值点，

即在上有两个不等的实数根，

即在上有两个不等的实数根，

即函数和的图象有两个交点，

又由，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，且当时，，当时，，

所以，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17. 已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

当时，，

由得不等式解集为

【小问2详解】

由二次函数，

知函数在处取得最大值9，

因为，

在处取得最小值，所以要使二次函数与函数的图恒有公共点，只需，即．

18. 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

（2）从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.

参考公式附：其中.

参考数据：

【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件完善列联表，由卡方公式求出卡方值，比较参照值即可得结论；

（2）由（1）知6名司机中4名男性，2名女性，利用组合计数、古典概型的概率求法求概率即可.

【小问1详解】

所以，

故有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.

【小问2详解】

由（1）知：6名司机中4名男性，2名女性，

所以6名司机中随机的抽取3名司机中至少有2名男司机的概率为.

19. 如图，直三棱柱中，，且，为线段上动点.

（1）证明：；

（2）判断点到面的距离是否为定值，并说明理由，若是定值，请求出该定值.

【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，理由见解析，.

【解析】

【分析】（1）由，证得面，从而，结合，证得面，从而证得.

（2）点到面的距离即为到面的距离，可转化为点到面的距离，由条件证得面，则为点到面的距离，求得即可.

【详解】解：（1）连，，四边形为正方形，

又，直棱柱中，，，

面，

面，

又，

面，

面，

（2）点到面的距离为定值.

，面，

面，

点到面的距离即为到面的距离，可转化为点到面的距离

令，则，

又面，面，

，

，

，

面，

为点到面的距离

在等腰中，，

到面距离为定值，且定值为

20. 已知是函数的一个极值点．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有且仅有1个零点，求的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，解得，再通过和解出函数的单调递增区间和单调递减区间.

（2）根据函数单调性，算出函数极值，通过函数图像判断直线与图像有1个交点时的取值范围．

【小问1详解】

函数的定义域为

，由是函数的一个极值点，

则，即，解得；

的导数为，

令，解得，或，；令，解得，．

则的单调递增区间为，，单调递减区间为；

【小问2详解】

由于在和内单调递增，在内单调递减，

则在处取得极大值，且为，在处取得极小值，且为

由于直线与图像有1个交点，

或．

故的取值范围是．

21. 已知椭圆的离心率为，，是C的顶点，点M是第一象限内的动点，已知的斜率之比为．

（1）证明：点M在一条定直线上；

（2）设与椭圆C分别交于另外的两点，证明直线过定点．

【答案】（1）证明见解析.   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设，根据可列出方程，化简即可证明结论；

（2）利用题意求得椭圆方程，设设，表示直线方程，联立椭圆方程，求得的坐标，取点，利用向量共线证明，即可证明结论.

【小问1详解】

证明：设,由题意可知，则，,

因为，所以,即，即，

故点M在直线上，即点M在一条定直线上.

【小问2详解】

由题意知：，

故椭圆方程为 ，

由（1）知点M在直线上，设，

则的方程为，代入，

得，，

所以，即，

同理可得，

取点，则，，

又因为，

所以，则三点共线，即直线过定点.

【点睛】关键点睛：第二问中，证明直线过定点，可根据题意求得点的坐标，如果要表示出直线方程，计算量将会比较大，且运算复杂，因此可以结合题意合理猜测定点坐标，然后证明直线过该点.

22. 设函数，其中.

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：.

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出，讨论与0的大小即可判断的正负号，即可求出的单调区间;

（2）先写出带入不等式，即可化简为.易证，，即可证明成立.

【小问1详解】

，

①当时，在区间上恒成立，在上递增；

②当时，令得，

当时，，递减；当时，，递增.

综上所述：当时，的单调递增区间为，无减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

【小问2详解】

方法1：当时，，

要证，即证明：.

令，则，令得，

当时，，递减；当时，，递增，

所以，则，当且仅当时“=”成立.

令，则，令得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，，则，

当且仅当时“=”成立.于是，，两个“=”不能同时成立，

所以，即，

所以，当时，对恒成立.

方法2：当时，，

要证，即证：；先证.

令，则，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，则，

所以，，即，当且仅当时“=”成立，

则时，，当且仅当时“=”成立，

又，所以.下面只需证明，

令，，则，令得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，则，

所以，，则，即，当且仅当时取等号，

则，两个“=”不能同时成立，所以，

故时，对恒成立.