江苏省泰州市海陵区某校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份江苏省泰州市海陵区某校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

海陵区某校2022-2023学年八年级下学期期中
数学试卷
一、选择题（每题3分，共18分）
1．下列数学符号属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．某市今年共有6万名考生参加中考，为了了解这6万名考生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析（　　）
①这种调查采用了抽样调查的方式；
②6万名考生是总体；
③所抽取的1000名考生的数学成绩是总体的一个样本；
④样本容量是1000名考生．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．将一个正六面体骰子掷一次，它的点数恰好是4的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．分式中，当x＝m时，下列说法正确的是（　　）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若m≠1时，分式的值为零 D．若m＝1时，分式的值为零
5．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
6．菱形ABCD的周长为32cm，则菱形ABCD的面积的最大值为（　　）
A．16cm2 B．32cm2 C．64cm2 D．128cm2
二、填空题（每题3分，共30分）
7．“买一张彩票，中一等奖”是　 　（填“必然”、“不可能”或“随机”）事件．
8．已知一个样本中，样本容量为50，这50个数据分别落在5个小组内，10，10，那么第三个小组的频率是　 　．
9．若的值为负数，则x的取值范围是　 　．
10．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝　 　度．
11．一个围棋盒子里装有若干颗黑、白围棋子，其中黑色棋子15颗，从中摸出一颗棋子是黑色棋子的概率为　 　颗．
12．已知的值为5，若分式，则的值为 　 　．
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°1B1C1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则∠ABA1＝　 　°．

14．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A是直线y＝﹣3x上的一点，以AB为边向左侧作正方形ABCD，若点D在直线y＝kx上　 　．

16．如图，线段AB的长为12，点D在AB上（不与端点重合），过D作与CD垂直的射线DP，点G是DP上一动点（不与点D重合），对角线CG与DH交于点O，连接OB　 　．
​

三、解答题（本题共10题，共102分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（8分）先化简：÷（a+1）+，再在﹣1≤a≤1中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值，
19．（8分）2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．某中学为了解本校学生对我国航天科技及空间站的知晓情况（满分100分，每名学生的成绩记为x分），分成五组：A组60分以下；B组60≤x＜70；D组80≤x＜90，E组90≤x≤100，回答下列问题：

（1）本次随机抽查的学生人数是 　 　人；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角度数为 　 　°；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）该校要对成绩为90≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为3：7

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2，求线段BC在平移过程中扫过的面积；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　 　．

21．（10分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，E点是AB的中点，分别过D，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．

22．（10分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶；从A地到B地，只用电行驶，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
23．（10分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，求点E到AD的距离．

24．（12分）已知代数式mn+2m﹣2＝0（n≠﹣2）．
（1）①用含n的代数式表示m；
②若m、n均取整数，求m、n的值．
（2）当n取a、b时，m对应的值为c、d．当﹣2＜b＜a时，试比较c、d的大小．
25．（12分）【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′．延长AE交CE′于点F，连接DE．
【猜想证明】
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图2，若DA＝DE，猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；
【解决问题】
（3）如图1若BE＝3，CF＝1，求DE．
​
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，8）（6，0），点C为AB的中点，动点P从点A出发，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造▱CPDQ

（1）点C的坐标为　 　，直线AB的解析式为　 　．
（2）当点Q运动至点B时，连接CD，求证：CD∥AP．
（3）如图2，连接OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时.







答案解析
一、选择题（每题3分，共18分）
1．下列数学符号属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．某市今年共有6万名考生参加中考，为了了解这6万名考生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析（　　）
①这种调查采用了抽样调查的方式；
②6万名考生是总体；
③所抽取的1000名考生的数学成绩是总体的一个样本；
④样本容量是1000名考生．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：①这种调查采用了抽样调查的方式，故①正确；
②6万名考生的数学成绩是总体，故②不正确；
③所抽取的1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故③正确；
④样本容量是1000，故④不正确；
所以，以上说法正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．将一个正六面体骰子掷一次，它的点数恰好是4的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：骰子上有6个数，点数是4的只有6种情况，
∴点数是4的概率是．
故选：A．
【点评】考查了列表法和树状图法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．注意本题是放回实验．
4．分式中，当x＝m时，下列说法正确的是（　　）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若m≠1时，分式的值为零 D．若m＝1时，分式的值为零
【分析】当分母不等于零，分子等于零时，分式的值等于零．
【解答】解：当x＝m时，x﹣m＝0．
当x﹣1≠2，即x≠1时，
所以，当m≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
5．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．菱形ABCD的周长为32cm，则菱形ABCD的面积的最大值为（　　）
A．16cm2 B．32cm2 C．64cm2 D．128cm2
【分析】先根据菱形的性质求出菱形ABCD的边长，可设AO＝xcm，根据勾股定理求出BO，再根据三角形面积公式可求菱形ABCD的面积的最大值．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32cm，
∴菱形ABCD的边长是8cm，
设AO＝xcm，
由勾股定理可得BO＝（cm），
∴菱形ABCD的面积＝x×4，
当x6﹣32＝0时，菱形ABCD的面积的最大值是64cm2．
故选：C．
【点评】考查了菱形的性质，勾股定理，三角形面积计算，关键是根据勾股定理得出BO的长．
二、填空题（每题3分，共30分）
7．“买一张彩票，中一等奖”是　随机　（填“必然”、“不可能”或“随机”）事件．
【分析】根据随机事件的定义进行判断即可．
【解答】解：随机买一张彩票可能中奖也可能不中奖，
所以“买一张彩票，中一等奖”是随机事件，
故答案为：随机．
【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．理解概念是解决这类基础题的主要方法．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．已知一个样本中，样本容量为50，这50个数据分别落在5个小组内，10，10，那么第三个小组的频率是　0.16　．
【分析】首先计算出第三组的频数，然后再计算出第三组的频率即可．
【解答】解：第三个小组的频数：50﹣2﹣10﹣10﹣20＝8，
频率：＝0.16，
故答案为：0.16．
【点评】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率＝频数÷总数．
9．若的值为负数，则x的取值范围是　x＜2且x≠0　．
【分析】分式有意义的条件是x≠0，再根据分式的值为负数，且x2＞0，可得x﹣2＜0，最后求解可得x的取值范围．
【解答】解：∵的值为负数，
∴x≠3且x﹣2＜0
∴x＜7且x≠0．
故应填：x＜2且x≠2．
【点评】本题考查了分式的值，属于基础题型，注意分式有意义的条件是分母不能为0．
10．在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝　120　度．
【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，易得∠C＝2∠D，∠C+∠D＝180°，解方程组即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．

【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对角相等．解题的关键是数形结合思想的应用．
11．一个围棋盒子里装有若干颗黑、白围棋子，其中黑色棋子15颗，从中摸出一颗棋子是黑色棋子的概率为　45　颗．
【分析】可设盒子有白色棋子x颗，根据围棋盒中有15颗黑色棋子和若干颗白色棋子，故棋子的总颗数为（15+x）颗，再根据黑色棋子的概率，结合概率公式列式解答即可．
【解答】解：设盒子有白色棋子x颗，依题意有：
＝，
解得x＝45，
经检验x＝45是分式方程的解．
故答案为：45．
【点评】本题考查概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
12．已知的值为5，若分式，则的值为 　10　．
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝5，
∴＝＝＝2×5＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°1B1C1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则∠ABA1＝　40　°．

【分析】先根据平行四边形的性质得到∠A＝∠BCD＝70°，再根据旋转的性质得到BC1＝BC，∠BCD＝∠C1＝70°，∠ABA1＝∠C1BC，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C1BC＝40°，从而得到∠ABA1的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝70°，
∵平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C5D1的位置，
∴BC1＝BC，∠BCD＝∠C6＝70°，∠ABA1＝∠C1BC，
∵BC6＝BC，
∴∠BCC1＝∠C1＝70°，
∴∠C4BC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠ABA1＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．
14．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　m＞﹣6且m≠﹣4　．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式组求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程得x＝m+6，
∵x﹣2≠8，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞7且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣4且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣5．
【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式组的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于m的不等式组是本题的一个难点．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A是直线y＝﹣3x上的一点，以AB为边向左侧作正方形ABCD，若点D在直线y＝kx上　或　．

【分析】设A（m，﹣3m），根据正方形的性质，可得D（m﹣|3m|，﹣3m），分两种情况：m＞0，m＜0，将点D坐标代入y＝kx，即可求出k的值．
【解答】解：设A（m，﹣3m），
根据题意，得正方形ABCD的边长为|3m|，
∴D（m﹣|6m|，﹣3m），
当m＞0时，D（﹣5m，
将点D（﹣2m，﹣3m）代入y＝kx，
得﹣5mk＝﹣3m，
解得k＝；
当m＜0时，D（4m，
将点D坐标代入y＝kx，
得8mk＝﹣3m，
解得k＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了一次函数，涉及一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，注意分情况讨论是关键．
16．如图，线段AB的长为12，点D在AB上（不与端点重合），过D作与CD垂直的射线DP，点G是DP上一动点（不与点D重合），对角线CG与DH交于点O，连接OB　6　．
​

【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解答】解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG＝DH，OC＝，OD＝，
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∵OA＝OA，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB＝∠CAO＝×60°＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝，
即OB的最小值为6，
故答案为：4．

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题．
三、解答题（本题共10题，共102分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝÷
＝•
＝﹣；
（2），
2x2﹣6x（x﹣3）＝3（x﹣2），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣6）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的根．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）先化简：÷（a+1）+，再在﹣1≤a≤1中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值，
【分析】首先计算分式的除法，再算分式的加法，化简后，再确定a的值，代入即可．
【解答】解：原式＝+，
＝+，
＝+，
＝，
＝，
∵a﹣1≠0，a+7≠0，
∴a≠±1，
∴a取8，
∴原式＝＝﹣3．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确把分式进行化简．
19．（8分）2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．某中学为了解本校学生对我国航天科技及空间站的知晓情况（满分100分，每名学生的成绩记为x分），分成五组：A组60分以下；B组60≤x＜70；D组80≤x＜90，E组90≤x≤100，回答下列问题：

（1）本次随机抽查的学生人数是 　50　人；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角度数为 　86.4　°；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）该校要对成绩为90≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为3：7

【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以B组对应百分比求出其人数即可补全图形；
（4）总人数乘以一等奖人数所占比例，再乘以样本中E组人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数是15÷30%＝50（人），
故答案为：50；
（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角度数为360°×，
故答案为：86.4；
（3）B组人数为50×20%＝10（人），
补全图形如下：

（4）＝96（人），
答：估计该校2000名学生中获得一等奖的学生人数96人．

【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2，求线段BC在平移过程中扫过的面积；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 　（﹣1，﹣2）　．

【分析】（1）分别作出三个顶点绕点O旋转180°所得对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）将三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）连接B1B2，与C1C2的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C2即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，线段BC在平移过程中扫过的面积为6×3﹣5××2×2＝8；
（3）如图所示，点P即为旋转中心，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）．
【点评】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
21．（10分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，E点是AB的中点，分别过D，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．

【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，
∴DE＝AE＝AB＝3．
由（1）知，四边形DEFG为矩形．
在直角△AEF中，EF＝4，由勾股定理得：AF＝＝．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣7﹣3＝2．

【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
22．（10分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶；从A地到B地，只用电行驶，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【分析】（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，根据A，B两地间的路程不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用A，B两地间的路程＝只用电行驶的总费用÷用电行驶1千米所需费用，可求出A，B两地间的路程，设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，根据从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，每行驶1千米的费用是（x+7.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解．
答：只用电行驶，每行驶8千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：2.26m+（0.26+0.2）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（10分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，求点E到AD的距离．

【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；
（2）①根据菱形的判定即可求解；
②过B点作BF⊥AD于F，根据菱形的性质，勾股定理得到OB＝5，OA＝12，AD＝13，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：点C即为所求；

（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
②过B点作BF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝，
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴BC＝8OE＝13，
∴OC＝＝12，
∴OA＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∴BF＝×12×5×8×2÷13＝，
故点E到AD的距离是．
【点评】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC，AC的长是解题关键．
24．（12分）已知代数式mn+2m﹣2＝0（n≠﹣2）．
（1）①用含n的代数式表示m；
②若m、n均取整数，求m、n的值．
（2）当n取a、b时，m对应的值为c、d．当﹣2＜b＜a时，试比较c、d的大小．
【分析】（1）①由已知代数式mn+2m﹣2＝0按照等式的性质变形即可得出答案；②根据m、n均为整数，2＝1×2＝（﹣1）×（﹣2），分别列出关于m和n的方程组，求解即可；
（2）根据题意先用含a的式子分别表示出c和d，再利用求差法计算即可．
【解答】解：（1）①∵mn+2m﹣2＝3，
∴（n+2）m＝2，
∵n≠﹣2，
∴m＝；
②∵m、n均为整数，
∴或或或．
解得：或或或；
（2）∵当n＝a时，m＝c＝，m＝d＝，
∴c﹣d＝﹣
＝
＝，
∵﹣2＜b＜a，
∴a+2＞3，b+2＞0，
∴＜6，
∴c﹣d＜0，
∴c＜d．
【点评】本题考查了等式的性质、解二元一次方程组、求差法及不等式的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
25．（12分）【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，得到△CBE′．延长AE交CE′于点F，连接DE．
【猜想证明】
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图2，若DA＝DE，猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；
【解决问题】
（3）如图1若BE＝3，CF＝1，求DE．
​
【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）如图1，过点D作DH⊥AE于点H．由△ADH≌△BAE，推出AH＝BE＝E'F＝3，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，
又∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；理由如下：
如图2，过点D作DH⊥AE于H，

∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图1，过点D作DH⊥AE于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∵DH⊥AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝E'F＝8，DH＝AE，
∵CF＝1，
∴DH＝AE＝CE'＝3+3＝4，
∴EH＝AE﹣AH＝4﹣5＝1，
在Rt△DEH中，DE＝＝＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，8）（6，0），点C为AB的中点，动点P从点A出发，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造▱CPDQ

（1）点C的坐标为　（3，4）　，直线AB的解析式为　y＝﹣x+8　．
（2）当点Q运动至点B时，连接CD，求证：CD∥AP．
（3）如图2，连接OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时
【分析】（1）由中点坐标公式可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明四边形ACDP是平行四边形，可得结论；
（3）分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（0，8），4），
∴点C（3，4），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；
故答案为：（3，4）x+8；
（2）如图7，连接CD，

∵四边形CBDP是平行四边形，
∴CB∥PD，BC＝PD，
∵点C为AB的中点，
∴AC＝BC，
∴PD＝AC，
∴四边形ACDP是平行四边形，
∴CD∥AP；
（3）如图2，过点D作DF⊥AO于F，

∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CQ＝PD，PD∥CQ，
∴∠QCP+∠DPC＝180°，
∵AO∥CE，
∴∠OPC+∠PCE＝180°，
∴∠FPD＝∠ECQ，
又∵∠PFD＝∠CEQ＝90°，
∴△PDF≌△CQE（AAS），
∴DF＝EQ，PF＝CE，
∵点C（3，3），8﹣t），0），
∴CE＝PF＝3，EQ＝DF＝2t﹣3，
∴FO＝6﹣t﹣4＝4﹣t，
∴点D（8t﹣3，4﹣t），
当点D落在直线OB上时，则7﹣t＝0，
当点D落在直线OC上时，
∵点C（3，3），
∴直线OC解析式为：y＝x，
∴2﹣t＝（6t﹣3），
∴t＝，
当点D落在AB上时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CD与PQ互相平分，
∴线段PQ的中点（t，）在CD上，
∴＝﹣，
∴t＝；
综上所述：t＝8或或．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．