2022-2023学年浙江省衢州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省衢州市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列式子中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各点在反比例函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在▱中，，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  统计位学生的成绩均为不同整数，错将最高分写低了分，则一定不受影响的统计量是(    )

A. 中位数 B. 方差 C. 众数 D. 平均数

6.  如图，建筑公司验收门框时要求是矩形在▱中，对角线，相交于点，下列验算方法错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  用反证法证明“在直角三角形中至少有一个锐角小于或等于”，应假设两个锐角(    )

A. 都大于 B. 都小于 C. 都不大于 D. 都不小于

8.  罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在年医保谈判中经两轮“砍价”，从元瓶降至元瓶，成功进入医保目录设这两轮谈判药物价格平均下降率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，利用尺规作图作菱形第步：作的中垂线交于点完成下述第步作法后，不一定能作出菱形的是(    )

A. 以为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线于点不重合，连结，
B. 在直线上截取不重合，连结，
C. 以为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线于点在点的右侧，连结，
D. 过点作的平行线，交直线于点，连结，

10.  如图，在▱中，，，垂足为点在上，，连结，，点，分别是，的中点，连结，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  当 ______ 时，的值最小．

12.  五边形的内角和为______

13.  若方程为常数的一个解是，则另一个解 ______ ．

14.  如图，▱的面积为，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形若，，则的长为______ ．

16.  如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，，反比例函数的图象分别交，于点，，连结并延长交轴于点若的面积和的面积相等，则：
的面积为______ ；
点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
点、分别是▱的边、上的点，，求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班名同学民主投票无弃权且每人只能投票，每得一票记作分测试成绩与得票率分别统计如下：
候选人测试成绩统计表

请算出三人的得票分；
通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选；
如果将笔试，口试，投票三项得分按，，计入个人成绩，请说明谁将被选中．

21.  本小题分
某连锁超市以每支元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量万支与销售单价元之间存在着如图所示关系．
求牙膏的日均销售量万支关于销售单价元的函数表达式写出的取值范围；
若该连锁超市想要获得万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？
该超市日均销售利润能否达到万元？请说明理由．

22.  本小题分
【思路点拨】
如图，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，可以利用轴对称图形的性质证明≌，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】如图，若点横坐标为，且在函数的图象上．
求点关于直线的对称点的坐标；
若点的坐标为，点是直线上的任意一点，连结，，求的最小值．
 

23.  本小题分
如图，已知正方形和正方形，点在的延长线上，点在边上．
求证：≌；
现将正方形绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程，探究下列问题；
当正方形旋转至图位置时，分别交，于点，求证：；
若，，当正方形的顶点点除外在直线上时，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图不是中心对称图形，故不符合题意；
B.该图是中心对称图形，故符合题意；
C.该图不是中心对称图形，故不符合题意；
D.该图不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，熟知：如果二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：反比例函数为，
，
点满足函数解析式，
故A符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意；
故选：．
由于点在反比例函数图象上，那么点的坐标满足函数的解析式，由此即可确定选择项．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
根据平行四边形的邻角互补即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：、成绩按照由高到低排列，中位数是第个数值，与最大的数值无关，选项说法正确，符合题意；
B、方差的计算与每一个数值都有关，所以方差发生变化，选项说法错误，不符合题意；
C、众数与每一个数值都有关，所以众数可能发生变化，选项说法错误，不符合题意；
D、平均数的计算与每一个数值都有关，所以平均数发生变化，选项说法错误，不符合题意；
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．
本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差的计算，掌握平均数、中位数、众数和方差的定义是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
，
▱是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，，
，
，
▱是矩形，故选项B不符合题意；
C、，
▱是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，不能判定▱是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中至少有一个锐角小于或等于”时，应先假设每一个锐角都大于，即两个锐角都大于．
故选：．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据经两轮“砍价”，从元瓶降至元瓶，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
要作菱形，只需让或，
选项C中得到的，
故选：．
对每个选项进行分析即可解答．
本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连结，取的中点，连结交于点，连结，
四边形是平行四边形，，
，
点，分别是，的中点，，
，，，，
于点，
，
，
故选：．
连结，取的中点，连结交于点，连结，由平行四边形的性质得，由点，分别是，的中点，根据三角形的中位线定理得，，，，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的最小值是，
，即，
，
故答案为：．
根据算术平方根的非负性，得出当时的值最小．
本题考查算术平方根的非负性，理解算术平方根的非负性是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式计算即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个解为，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
设方程的另一个解为，根据两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记一元二次方程的两根之和等于是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
设与之间的距离为，则，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，设与之间的距离为，则，而，所以，即可求得图中阴影部分的面积为，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、平行四边形的面积公式、三角形的面积公式等知识，证明图中阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，，
，
同理可得：，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形的四个角向内折起得到的，
，，，
，
同理：，
≌，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
解得或，
或，
或，
 故答案为：或．
先根据翻折，证明四边形为矩形，，再利用正方形的性质证明≌，得出，然后设，利用勾股定理得出，列出关于的方程，求出即可求解．
本题主要考查翻转的性质、矩形的判定性质、勾股定理等知识，根据翻折的性质求解是解题关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：的面积和的面积相等，
，
．
故答案为：．
是等腰直角三角形，，
设，其中，即，
设即，
设直线的解析式为：，将、坐标代入得：
，解得，
直线解析式为：，
当，，


，
，
解得：，
根据题意和点的位置，舍去负值，．

故答案为：
利用的面积和的面积相等，转化的面积即为的面积即可；
利用，设，，，待定系数法求出直线的含有的解析式，继而知道，根据三角形面积是，列出关于的方程求出值，则点坐标随之求出．
本题考查了反比例函数上点的坐标特征，值的几何意义，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质．设含参解析式是本题突破的关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可；
先分母有理化，再求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

18.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
，
，
 ． 

【解析】利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，再证，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
 

20.【答案】解：三人的得票分分别为：
甲：分，
乙：分，
丙：分；
甲：分，
乙：分，
丙：分，
乙和丙的平均分相同，无法确定人选；
甲：分．
乙：分．
丙：分．
所以丙被选中． 

【解析】根据统计表格和扇形统计图分别计算，利用总人数乘以各自所占的比例即可求得三人的得票数；
平均数就是三项的得分的和与的商的值；
即求三项的加权平均数，根据加权平均数的公式即可求解．
本题考查了从统计表格和扇形统计图得出信息的能力和平均数及加权平均数的计算能力．
 

21.【答案】解：设牙膏的日均销售量万支关于销售单价元的函数表达式为，
将，代入得：，
解得：，
牙膏的日均销售量万支关于销售单价元的函数表达式为；
根据题意得：，
整理得：，
解得：或，
，
．
答：牙膏的销售单价应定为元；
该超市日均销售利润不可能达到万元，理由如下：
假设该超市日均销售利润能达到万元，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即该超市日均销售利润不可能达到万元． 

【解析】根据图中给定的数据，利用待定系数法，即可求出关于的函数表达式；
利用总利润每支的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
该超市日均销售利润不可能达到万元，假设能，利用总利润每支的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，假设不成立，即该超市日均销售利润不可能达到万元．
本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：利用待定系数法，求出关于的函数表达式；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

22.【答案】解：如图，分别过点、作轴、轴的垂线，垂足为，，连接、、，
设交直线于点，

则，
点、关于直线对称，
直线是线段的中垂线，
，，
，
过点作轴于点，
点在直线上，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点横坐标为，且在函数的图象上，
点的纵坐标为：，
点坐标为，
，，
点坐标为；
如图，连接，交直线于点，此时为最小值，
分别过点、作轴的垂线，垂足为、，过点作的垂线，垂足为，

由知，点坐标为，
，，
点的坐标为，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即的最小值为． 

【解析】分别过点、作轴、轴的垂线，垂足为，，连接、、，设交直线于点，由轴对称的性质得，，则，过点作轴于点，再证≌，得，，然后求出点坐标为，即可解决问题；
连接，交直线于点，此时为最小值，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，过点作的垂线，垂足为，证四边形是矩形，得，，则，再由勾股定理即可得出结论．
本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数的图象与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：在正方形和正方形中，
，，，
≌．
证明：，
，
．
，，
≌，
．
，
，
．

解：在正方形中，
平分，
，根据正方形的顶点点除外在直线上，分以下三类：
Ⅰ、如图，当在直线上时，过点作于点，则，
，
，，
，
．

Ⅱ、如图，当在直线上时，在正方形中，平分，
，
，，
，，三点共线，
．

Ⅲ、如图，当在直线上，过点作于点，
，
，
，，
，
．

综上所述：为或． 

【解析】在与中寻求对应的角和边相等；
手拉手模型；
根据正方形的顶点点除外在直线上分三类讨论．
本题以正方形为载体，考查了三角形全等以及分类讨论的思想，题型基础，难度不大．