2022-2023学年重庆市南川区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市南川区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影凃在图中标有数字的格子内．(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，平分，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值(    )

A. 扩大到原来的倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 缩小到原来的

8.  如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(    )

 

A.  B.
C.  D.

9.  按如图所示的运算程序，当输入，时，输出的结果为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  为做好疫情防控，居委会决定拿出元给志愿者购买口罩，由于药店对志愿者购买口罩每包价格优惠元，结果比原计划多买了包口罩设原计划购买口罩包，则依题意列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，是等腰三角形，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、于点、若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  “”口罩能过滤空气中的直径约为的非油性颗粒，数据用科学记数法表示为______ ．

14.  已知是一个完全平方式，则为______ ．

15.  如图，直线、交于点，点关于、的对称点分别为、若，，则的周长是______ ．

16.  甲、乙两蔬菜基地生产同一种蔬菜，都计划把全年的蔬菜销往重庆，这样两蔬菜基地的蔬菜就能占有重庆市场同类蔬菜的；由于疫情，实际情况并不理想，甲蔬菜基地仅有的蔬菜、乙蔬菜仅有的蔬菜销到了重庆，两蔬菜基地的蔬菜仅占了重庆市场同类蔬菜的，则甲蔬菜基地该蔬菜的年产量与乙蔬菜基地该蔬菜的年产量的比为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.  如图，在中，，点在边上，点在边上，连结，已知，．
求证：≌．
若，，求的长．

四、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：；
分解因式：．

19.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
在图中画出关于轴对称的图形，并写出顶点、、的坐标；
求的面积．

20.  本小题分
解方程：
；
．

21.  本小题分
计算：
；
．

22.  本小题分
如图，中，，，垂足为．
求作的角平分线交于点，交于要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，但要标注字母；
按作图后，若，，求的长．

23.  本小题分
对任意一个两位数，如果等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数为“平方和数”，若、为正整数，记例如：，就是一个“平方和数”，则．
判断是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由；
若是一个“平方和数”，且，求的值．

24.  本小题分
全国各地都有新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品，衡生药店准备购进和普通医用两种类型的口罩，已知每个普通医用口罩的进价比每个口罩的进价少元，且用元购进普通医用口罩的数量与用元购进口罩的数量相同．
求每个普通医用口罩、每个口罩的进价分别为多少元？
若衡生药店本次购进这两种口罩共个，并将两种口罩均按进价加价全部售出利润不少于元不考虑其他因素，则这次至少购进口罩多少个？

25.  本小题分
已知，中，，．
如图，若，点是边上的中点，求的面积；
如图，若是的角平分线，求证：；
如图，若、是边上两点，且，，交、于、，连接、，猜想与的大小关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当分母，即时，分式有意义，
故选：．
根据分母不为零，分式有意义进行解答即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
 

2.【答案】 

【解析】解：设第三根木棍的长为，
则，即，
第三根木棍不可能取，
故选：．
根据三角形的三边关系求出第三根木棍的长的范围，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示，

把阴影凃在图中标有数字的格子内所组成的图形是轴对称图形，
故选：．
从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案．
本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
A、添加，可根据判定≌，故正确，不符合题意；
B、添加，可根据判定≌，故正确，不符合题意；
C、添加，可根据判定≌，故正确，不符合题意；
D、添加，不能判定≌，故错误，符合题意．
故选：．
本题要判定≌，已知，，则，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

5.【答案】 

【解析】解：平分，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
当时，，
故选项A、、不符合题意，选项C符合题意，
故选：．
证≌，得，，，则，当时，，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明≌是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
选项的结论不正确；
，
选项的结论不正确；
，
选项的结论不正确；
，
选项的结论正确．
故选：．
利用同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则和幂的乘方法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握上述运算性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：


，即分式的值不变，
故选：．
先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可知，
图的面积为：，
图的面积为：，
所以．
故选：．
根据图形可以用代数式表示出图和图的面积，由此得出等量关系即可．
本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
代入得．
故选：．
根据条件先判断代入的代数式，再代入求值．
本题考查了代数式的求值，理解运算程序，正确代入是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据药店对志愿者购买口罩实际比原计划每包价格优惠元，列分式方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，当、、时，此时，的周长最小，
是等腰三角形，底边的长为，面积是，
，
周长的最小值是：，
故选：．
先根据线段的垂直平分线的性质把的长转换为，再根据两点之间线段最短和垂线段最短求解．
本题考查了最短路径问题，转换思想的应用是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：；
解不等式得：．
原不等式组有解，
，
．
，
，
，
．
又关于的分式方程有非负整数解，为整数，且，
或或，
又，
，
的值为或，
符合条件的所有整数的和为．
故选：．
由关于的不等式组有解，可求出，解分式方程得，由“关于的分式方程有非负整数解，为整数，且”，可求出的值，结合，可确定的值，再将各值相加即可得出结论．
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，由不等式组有解及分式方程有非负整数解，找出的值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
则．
根据乘积二倍项先确定出这两个数是和，再根据完全平方公式结构特点，等于的平方．
本题考查完全平方公式的灵活应用程度．根据完全平方公式，两数和的平方加上或减去它们乘积的倍，根据结构特征分析得出．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于、的对称点分别为、，
，
，
的周长，
故答案为：．
根据对称的性质可知，，再根据即可求出的周长．
本题考查的是两条直线相交问题及轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
 

16.【答案】： 

【解析】解：设甲蔬菜基地该蔬菜的年产量为，乙蔬菜基地该蔬菜的年产量为，
根据题意得：，
解得：，
：：：．
故答案为：：．
设甲蔬菜基地该蔬菜的年产量为，乙蔬菜基地该蔬菜的年产量为，根据“甲、乙两蔬菜基地把全年的蔬菜销往重庆，这样两蔬菜基地的蔬菜就能占有重庆市场同类蔬菜的；甲蔬菜基地把的蔬菜、乙蔬菜把蔬菜销到了重庆，两蔬菜基地的蔬菜占重庆市场同类蔬菜的”，可列出关于，的二元一次方程组将重庆市场同类蔬菜当成，解之可得出，的值，进而可得出甲蔬菜基地该蔬菜的年产量与乙蔬菜基地该蔬菜的年产量的比为：．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，
在与中，

≌；
解：≌，
，，
，
，
． 

【解析】根据可证明≌；
得出，，求出，则可求出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算法则进行计算即可；
先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
本题考查整数的混合运算，因式分解，熟练掌握因式分解的方法，积的乘方与幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，

、、．
． 

【解析】依据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的，进而得出，，的坐标；
依据轴对称的性质，即可得到与的面积相等，求得的面积即可得出结论．
此题主要考查了作图轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．
 

20.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
即分式方程的解是；

，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
即分式方程的解是． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
分解因式后方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

21.【答案】解：

；


． 

【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则计算；
根据分式的乘除法法则计算．
本题考查的是分式的乘除法、整式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、整式的混合运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，为所作；

，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用基本作图作的平分线即可；
根据角平分线的定义得到，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到答案．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了等腰三角形的判定．
 

23.【答案】解：是“平方和数”．
，
；
设，则，
，
，
，
，
，
，即或，
、为正整数，为两位数，
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
综上，的值为：或或或或． 

【解析】把写成两个正整数的平方和，再根据求出便可；
设，则，根据得、的方程，求得与的关系式，进而由、、满足的条件求得的值便可．
本题是一个新定义题，主要考查了列代数式，因式分解的应用，根据新定义列出、的方程求得、的关系式是解题的关键．
 

24.【答案】解：设普通口罩元，则口罩元，
根据题意可得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
元，
普通口罩进价为元，口罩进价为元．
答：普通口罩进价为元，口罩进价为元．
设购进口罩个，则购进普通医用口罩个，
根据题意可得：
，
解得：，
至少购进个口罩．
答：至少购进个口罩． 

【解析】根据每个普通医用口罩的进价比每个口罩的进价少元，可得每个口罩的进价为元，元购进口罩的数量为个，普通口罩个，根据题意列方程解答即可；
设购进口罩个，则购进普通医用口罩个，根据利润不少于元列不等式即可得答案．
本题主要考查一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是找到等量或不等量关系，列方程或列不等式．
 

25.【答案】解：如图，在中，，
是的中点，
，
；

证明：如图，过作于，
又，
，
是的角平分线，
，
又，
≌，
，，
，，
，
又，
，
，
又，，
；

解：猜想：．
理由：如图，过点作，交的延长线于点，
又，
，
，，
，，
，
又，，
≌，
，．
又，
．
，，
，
又，，
≌，
，
又，
． 

【解析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形得：，因此计算的面积就是的面积，代入面积公式计算即可；
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，则，，再证明是等腰直角三角形，根据可得结论；
如图，作辅助线构建全等三角形和直角三角形，证明≌，得，；得出，所以继续证明≌，得，从而得出结论．
本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、三角形中线的性质，和问题的关键是作垂线，构建全等三角形，从而使问题得以解决．