2022-2023学年重庆市忠县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市忠县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列分式中，是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若，，是三角形的三边长，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若将分式中的，的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值(    )

A.  B.  C. 变为相反数 D. 不变

6.  如图中，平分，，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示，点是内一点，若，，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  与九章算术的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上设善行者每刻钟行尺，则列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  设，若，则(    )

A.  B.  C.  D. 或

10.  如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点的对应点是，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若关于的不等式组有解，且关于的方程的解是正数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

12.  用等长火柴棒按如图所示的规律组成的塔式三角形，图中有个等边三角形，图中有个等边三角形，图中有个等边三角形，那么图中等边三角形的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  芯片正在成为需求的焦点，其中的米，将用科学记数法表示为______ ．

14.  在中，：：：：，则是______填入“锐角三角形”、“直角三角形”或“钝角三角形”

15.  如图所示，若大正方形与小正方形的面积之差是，则与的面积之和是______ ．

16.  为提升国家级旅游景区“江中盆景”--石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨标识的工艺品，并使用当地、、三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要原料千克、原料千克、原料千克制作每件乙工艺品需要原料千克、原料千克、原料千克甲、乙两种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的、、三种原料成本之和每件甲工艺品的成本是每千克原料成本的倍，销售每件甲、乙工艺品的利润率分别是、，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解答下面问题：
解方程：；
分解因式：．

18.  本小题分
在如图所示的中，平分作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，求证：．
用尺规在答题卷上完成作图，并标上字母，保留作图痕迹，不写作法；
下面是证明的过程，请按序号在答题卷上将题中横线处补充完整．
证明：
平分，
______ ，
又垂直平分，
，，
．
______ ，
在和中，，，
，
≌用字母表示，
______ ，
．
．

19.  本小题分
如图中，点在上，已知．
求的大小；
若，，求的周长．

20.  本小题分
已知代数式．
化简已知代数式；
若满足，求已知代数式的值．

21.  本小题分
如图，已知和的顶点重合，，，连接、交于点．
证明：；
若，求的大小．

22.  本小题分
篮球运动是深受年轻人喜爱的运动今年，“重庆市篮球超级联赛”在忠县三峡港湾电竞馆举行，某商家抓住商机进货，花元购进了运动服，花元购进了运动鞋，已知一双运动鞋比一套运动服的进价多元，并且购进运动服的数量是运动鞋的倍．
求该商家购进运动服和运动鞋的数量分别是多少；
该商家分别以元和元的单价销售运动鞋和运动服，在运动鞋售出，运动服售出后，为了尽快回笼资金，商家决定对剩余的运动鞋每双打折销售，对剩余的运动服每套降价元销售，很快全部售完，若要保证该商家总利润为元，求的值．

23.  本小题分
当一个正整数各个数位上的数字之和为的倍数，则称其为“亲和数”，例如：，因为，则为“亲和数”；又如：，因为，则也是“亲和数”．
直接判断，，是否为“亲和数”；
写出最小的四位“亲和数”和最大的四位“亲和数”；
若一个四位“亲和数”的十位数字是千位数字的倍，且个位数字比百位数字小，求所有满足条件的四位“亲和数”．

24.  本小题分
对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”例如：可化为，容易检验，是方程的解，是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，也是“易解方程”根据上面的学习解答下列问题：
判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由．
若，是“易解方程”的两个解，求的值；
设为自然数，若关于的“易解方程”的两个解分别为，，求的值．

25.  本小题分
在如图中，，，点在上，点在上．
如图，若，，，求的长；

如图，过点作交的延长线于点，过点作于，求证：．
如图，若，点在线段上，且，点、分别是射线、上的动点，试问在点、运动的过程中，请判断的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，是最简分式，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用分式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故选项正确；
B、原式不能合并，故选项错误；
C、原式，故选项错误；
D、原式，故选项错误．
故选：．
A、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了积的乘方及幂的乘方运算、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：第三边长的取值范围是：，
即，
故选：．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
若将分式中的，的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值不变，
故选：．
利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：
平分，，，
，
，
的面积，
故选：．
过点作于点，根据角平分线性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在图中添加字母，如图所示．
是的外角，是的外角，
，．
，
，
，
．
故选：．
在图中添加字母，利用三角形外角的性质，可得出，，结合及，的度数，即可求出的度数，此题得解．
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
即，
故选：．
根据题意，可知善行者行尺的时间不善行者走尺用的时间，然后即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：，

，
，
设，方程转化为：
，解得或舍去，
故选：．
将变形换元成一元二次方程后求解方程即可．
本题考查了整式的混合运算求代数式的值，运算过程中特别要注意题给条件．
 

10.【答案】 

【解析】解：由折叠的定义知：，，
，

，
，
故选：．
由折叠的定义知：，，根据得到，从而得到，利用求得答案即可．
本题考查了轴对称的定义，解题的关键是了解轴对称的性质，难度较小．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组有解，
，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
方程的解是正数，
且，
解得：且，
且，
故选：．
先求出两个不等式的解集，根据不等式组有解得出，根据等式的性质求出方程的解是，根据方程的解是正数和分式方程的分母得出且，再求出答案即可．
本题考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式组等知识点，能求出和方程的解是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：图中有个等边三角形，
图中有个等边三角形，
图中有个等边三角形，
图中等边三角形的个数是：，
故选：．
根据前三个中含有的等边三角形的方法，数出结果．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

14.【答案】锐角三角形 

【解析】解：，，，，的形状是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形．
根据三角形内角和分别算出各角度即可判断．
本题考查了三角形角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出各角度．
 

15.【答案】 

【解析】解：分别设大正方形与小正方形的边长各为，，
由题意可得，
与的面积之和为：




，
故答案为：．
分别设大正方形与小正方形的边长各为，，则，通过列式表示与的面积进行求解．
此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式表示所求图形的面积，并能运用平方差公式进行变形、求解．
 

16.【答案】： 

【解析】解：设、、三种原料每千克的成本分别为元，元，元，甲、乙两种工艺品的销售件数分别为件，件，
制作每件甲工艺品需要原料千克、原料千克、原料千克，
甲工艺品的成本为，
每件甲工艺品的成本是每千克原料成本的倍，
，
，
制作每件乙工艺品需要原料千克、原料千克、原料千克，
乙工艺品的成本为，
售每件甲、乙工艺品的利润率分别是、，
甲工艺品的利润为，
乙工艺品的利润为，
销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是，
，
：：，
甲、乙两种工艺品的销售件数之比是：．
故答案为：：．
设、、三种原料每千克的成本分别为元，元，元，甲、乙两种工艺品的销售件数分别为件，件，根据题意可得甲工艺品的成本为，则，乙工艺品的成本为，根据甲、乙工艺品的利润率分别是、算出甲、乙工艺品的利润，再根据售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是列出算式即可求解．
本题主要考查三元一次方程组的应用，熟知利润、成本和利润率的关系，找准等量关系列出方程是解题关键．
 

17.【答案】解：原方程去分母得：，
解得，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
原式． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握分解因式的方法及分式方程的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：如图：

证明：
平分，
，
又垂直平分，
，，，
．
，
在和中，，，
，
≌，
，
．
．
根据作线段的垂直平分线的基本作法作图；
根据桑教学的判断方法求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，，
，
，
，
；
，，，
，
，
，
的周长为． 

【解析】先利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形的内角和定理，进行计算即可解答；
利用的结论，在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，然后再根据已知可得，从而利用三角形的周长公式，进行计算即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：


；
，
，
，
当时，原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
根据已知易得，然后代入中化简后的式子，进行计算即可解答．
 

21.【答案】证明：，
，即，
在与中，
，
≌，
；

解：，，
．
由知，≌，则，
．
．
设与交于点，由得，
在和中，，
，，
． 

【解析】利用证得≌，则其对应角相等；
利用三角形内角和定理求得，
本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，利用证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购买运动鞋的数量是双，则购运动服的数量是套，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
套，
答：购买运动鞋的数量是双，运动服的数量是套；
每双运动鞋的进价元，
每套运动服进价为元，
根据题意，得，
解得，
的值为． 

【解析】设购买运动鞋的数量是双，根据一双运动鞋比一套运动服的进价多元，列分式方程，求解即可；
根据要保证该商家总利润为元，列一元一次方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：，不是的倍数，
不是“亲和数”；
，不是的倍数，不是“亲和数”；

，是的倍数，
是“亲和数”；
最小的四位“亲和数”为；最大的四位“亲和数”是；
设千位数字为，百位数字为，则十位数字，个位数字为，则，，，都是自然数，且是的倍数，
当时，要使是的倍数，必有，则，
当时，或，则或，
当时，，则，
故所有满足条件的四位“亲和数”为：，，，． 

【解析】先求各位数字之和，再判断即可得出结论；
根据新定义，即可得出结论；
设千位数字为，百位数字为，则十位数字，个位数字为，则，，，都是自然数，得出四位数各个数位上的数字之和，分析判断即可得出结论．
本题考查了新定义，整式的加减，理解新定义是解题关键．
 

24.【答案】解：是“易解方程”，理由：
可化为，
，
是“易解方程”．
方程的解为，；
，是“易解方程”的两个解，
，，
则；
设，方程可化为，
是“易解方程”，
和是这个方程的解，
为自然数，
，
必有，，
，，
． 

【解析】根据“易解方程”的概念即可判断；
根据“易解方程”的定义即可得到，，代入变形后的代数式即可求解；
设，方程可化为，易知和是这个方程的解，由为自然数，则，必有，，得到，，代入即可求解．
本题考查分式方程；理解“易解方程”的定义以及题中的方法，弄清题意是解本题的关键．
 

25.【答案】解：过点作，交的延长线于点，连接，

，
，则，
，由题意和辅助线得和都是的余角，
，
又，
≌，
且，
，
在直角中，，，
；
证明：连接，在上截取，使得，

由题意得，
又，
≌，
，，由，
，即是等腰直角三角形，
由，
点是的中点，
，
，
；

解：过点作直线的对称点，过点作直线的对称点，则，

当四点、、、共线时，此时的最小值为，
连接分别与、于交点即是所找的点、，而，
，
为等边三角形，
． 

【解析】过点作，交的延长线于点，连接，在直角中，，，可得；
连接，在上截取，使得，证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可；
过点作直线的对称点，过点作直线的对称点，则，当四点、、、共线时，此时的最小值为．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．