2022-2023学年广东省茂名市电白区崇文学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省茂名市电白区崇文学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，下列各式中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列命题中，逆命题是真命题的是(    )

A. 直角三角形的两锐角互余 B. 对顶角相等
C. 全等三角形的面积相等 D. 若，则

5.  已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，，的垂直平分线交于点，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示，在直角中，，平分交于点，且，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知点在第四象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，，的平分线交于点，平分给出下列结论：；；；正确结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  用不等式表示“的倍与的差不大于”：______ ．

12.  在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点的坐标是______ ．

13.  如图，在中，，点在线段上，且，，，则 ______ ．

14.  若不等式组的解集为，则的取值范围是______ ．

15.  如图，直线与轴、轴分别交于点和点，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的有______ 个

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
将下列各式进行因式分解：
；
．

17.  本小题分
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

 

18.  本小题分
如图，在中，，是角平分线，于点，点在上，．
求证：；
若，，求的长．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别为、，．
把向下平移个单位后得到对应的，画出；
画出与关于原点中心对称的；
求的面积．

20.  本小题分
已知一次函数、为常数，且的图象如图．

______ ， ______ ；
正比例函数为常数，且与一次函数相交于点如图，则不等式的解集为______ ：不等式组的解集为______ ．

21.  本小题分
某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多元，若购进甲类拼图盒，乙类拼图盒，则费用为元．
求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
甲、乙两类拼图每盒售价分别为元和元该班计划购进这两类拼图总费用不低于元且不超过元若购进的甲、乙两类拼图共盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？

22.  本小题分
如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，．
若的周长为，的周长为．
求线段的长；
求线段的长．
若，求的度数．

23.  本小题分
定义一种新运算“”为：当时，：当时，例如：，．
填空： ______ ；
若，求的值；
若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
不等式两边同加上得，故A正确，不符合题意；
B.，
不等式两边同除以得，故B正确，不符合题意；
C.，
不等式两边同乘得，故C正确，不符合题意；
D.，
不等式两边同乘得，故D错误，符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质进行解答即可．
本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的性质：把不等式的两边都加或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是单项式，故此选项不符合题意；
B、，属于因式分解，故此选项符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：．
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可．
本题考查的是因式分解的定义，利用平方差公式分解因式，掌握“因式分解的定义”是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：逆命题为有两角互余的三角形为直角三角形，此逆命题为真命题，故A正确；
B.逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故B错误；
C.逆命题为面积相等的两个三角形全等，此逆命题为假命题，故C错误；
D.逆命题为若，则，此逆命题为假命题，故D错误．
故选：．
根据直角三角形的判定方法，对顶角的定义，全等三角形的定义，平方根的定义逐项进行判断即可．
本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法，对顶角的定义，全等三角形的定义，平方根的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：两个不等式解集的公共部分是，
因此这个解集为，
故选：．
求出两个不等式解集的公共部分即可．
本题考查数轴表示不等式的解集，掌握用数轴表示不等式解集的方法是正确解答的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，在中，，，
，
又的垂直平分线交于点，
，
．
故选：．
先根据等腰三角形内角和定理得出的度数，再由中垂线轴对称的知识得出．
本题主要考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质．关键是掌握等腰三角形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作，如图

，，平分，
，
，
的面积为：；
故选：．
过点作，由角的平分线性质，得到，然后即可求出的面积．
本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确得到，从而进行解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
解得：．
故选：．
根据第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数进行解答即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，平面直角坐标系中点的坐标的符号特点，熟练掌握第四象限的点的横坐标为“正数”，纵坐标为“负数”，是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，故正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，故正确；
，
只有时，故错误；
，
，
平分，
，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选：．
根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意知：“的倍与的差”表示为“”，“不大于”即“”，
不等式为．
故答案为：．
“的倍与的差”表示为“”，“不大于”即“”，据此可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于小于、不超过不低于、是正数负数”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度得到点，则点的坐标是，
即，
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点的坐标为，进而可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
在中，，，
，
，
．
故答案为：．
利用三角形外角的性质可得出，结合可得出，由等角对等边可得出，在中，利用三角形内角和定理可得出，再利用角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，进而可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质以及含度角的直角三角形，解题的关键是通过含度角的直角三角形找出的长．
 

14.【答案】 

【解析】解：若不等式组的解集为，则的取值范围是，
故答案为：．
根据不等式组解集的定义进行计算即可．
本题考查不等式组解集，理解不等式组解集的定义是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，点有个，如图所示：

当时，点有个，如图所示：

当时，点有个，如图所示：

综上分析可知，符合条件的有个点．
故答案为：．
分类进行讨论，当时，时，时，分别画出图形，即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
 

16.【答案】解：
；


． 

【解析】直接利用提公因式即可求解；
整理后，再利用提公因式即可求解．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示如图：
 

【解析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
 

18.【答案】证明：平分，，，
，．
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌．
．
，，
．
． 

【解析】利用角平分线的性质可得，再利用证明≌，即可证明；
利用证明≌，可得，根据求出的长，进而可求出的长．
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，难度较低，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求作的三角形；

如图，即为所求作的三角形；

．
答：的面积为． 

【解析】作出点、、平移后的点、、，然后顺次连接即可；
作出关于原点对称的点、、的坐标，然后顺次连接即可；
利用三角形面积公式求出的面积即可．
本题考查了作图平移变换，中心对称图形，三角形面积的计算．解题的关键是作出三角形三个顶点平移后对应点的位置或关于原点对称点的位置．
 

20.【答案】       

【解析】解：分别将，代入得：
，
解得；
故答案为：，；
由函数图象可得：当时，函数在上方，
的解集为，
由函数图象，当时，函数和都在轴上方，
则不等式组的解集为；
故答案为：，．
直接将，代入求解即可；
看函数图象的高低，从函数图象中找出函数在上方部分时的值可得的解集；从函数图象中找出函数和都在轴上方所对应的自变量的范围即为不等式组的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数与一元一次方程．
 

21.【答案】解：设甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元；
设购进甲类拼图盒，则购进乙类拼图盒，
根据题意得：，
解得：．
设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：当甲类拼图为盒时，所获得总利润最大，最大利润为元． 

【解析】设甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元，根据“甲类拼图每盒进价比乙类拼图多元，购进甲类拼图盒，乙类拼图盒时，总费用为元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲类拼图盒，则购进乙类拼图盒，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不低于元且不超过元，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每盒的销售利润销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
；
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
；
，
，
，，
，，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

23.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；
当，即时，
则，
，
，
解得：，
当，即时，
则，
，
，
解得：不合题意，舍去，
综上，若，的值为；
当，即时，
则，
，
，
，
当，即时，
则，
，
，
舍去，不合题意，
综上，若，的取值范围为．
根据新定义的运算法则计算即可；
分两种情况：当，即时，根据新定义的运算法则得，求解即可；当，即时，根据新定义的运算法则得，求解即可；
分两种情况：当，即时，则，求解即可；当，即时，则，求解即可．
本题主要考查解一元一次方程、解一元一次不等式，解题关键是根据新定义的运算法则列出关于的不等式和方程，并求解．