2022-2023学年河南省南阳市镇平县八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市镇平县八年级（下）月考数学试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  分式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  人体中枢神经系统中含有千亿个神经元某个神经元的直径约为微米，微米为米将用小数表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. ．

4.  如图，在直角坐标系的轴负半轴和轴正半轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于第二象限的点，若点的坐标为，则的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  端午食粽是节日习俗之一某学校计划为学生们购进甲、乙两种品牌的粽子，已知乙品牌粽子每盒的进价比甲品牌粽子每盒的进价低元，用元购进甲品牌粽子的盒数与用元购进乙品牌粽子的盒数相同，若设甲品牌粽子每盒的进价为元，则所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
面积一定的矩形，它的长与宽．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  根据以下尺规作图痕迹，在一个平行四边形内作出的四边形中，无法确定是菱形的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，两条宽度分别为和的矩形纸条交叉放置，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点的压强单位：与其离水面的深度单位：的函数解析式为，其图象如图所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数且根据图中信息分析结果保留一位小数，下列结论正确的是(    )
 

A. 与的函数解析式为
B. 青海湖水面大气压强为
C. 青海湖水深处的压强约为
D. 函数解析式中自变量的取值范围是

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个化简结果为的分式______ ．

12.  已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是______ ．

13.  如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，现有以下三个条件：，，若从中选取一个，可以判定四边形为菱形，则可以选取的条件序号是______ 写出一种即可．

14.  如图，点在反比例函数的图象上，点的坐标是，轴，的面积为，则的值是______ ．

15.  如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______．

 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
如图，在矩形中，，，与交于点，点为上一点．
与的周长之差为______ ；
连接，若平分，则的面积为______ ；
连接，当时，
若，则的度数为______ ；
求的长．

18.  本小题分
如图，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，、两点在轴上．
求反比例函数的解析式；
求的长．
图中矩形的面积是______ ．
当，且时自变量的取值范围是______ ．

19.  本小题分
如图，矩形的对角线相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若将题设中“矩形”这一条件改为“菱形”，其余条件不变，则四边形是怎样的四边形？请说明理由．

20.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求不等式的解集；
连接并延长，交反比例函数图象于点，连接，求的面积．

21.  本小题分
暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身次，按照方案一所需费用为元，且；按照方案二所需费用为元，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．

22.  本小题分
随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多元，且用元购得排球，排球的数量与用元购得足球的数量相同．
排球，足球的单价各是多少元．
若该校准备购买排球和足球共个，且足球不少于个．设购买排球和足球所需费用为元，排球有个，求与之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用．

23.  本小题分
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
问题情境：
已知▱中为锐角，，点、分别是、边的中点，点、分别是、边上的点分别沿和折叠▱，点、的对应点分别为点，．
操作判断：
如图，折叠后点与点重合，点与点重合．
四边形 ______ 平行四边形填“是”或“不是”．
当▱满足某个条件时，四边形能成为矩形这个条件可以是______ ．
迁移探究
如图，若点，均落在▱内部含边界，连接，，若，则四边形是平行四边形吗？若是，请就图进行证明；若不是，请说明理由．
拓展应用
在的条件下，若，，且，则此时四边形的面积为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由分式有意义的条件可知：，
，
故选：．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选C．
只需将的小数点向左平移个数位即可．
本题考查求科学记数法的原数，掌握科学记数法法则是求解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由一次函数的图象可知，
当时，，
故选：．
根据题目中的函数图象，可以直接写出当时，的取值范围．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：由作图可知，点在的角平分线上，两弧交于第二象限的点，
点的横坐标与纵坐标互为相反数，
，
，
故选：．
由作图可知，点在的角平分线上，推出点的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．
本题考查作图基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：设甲品牌粽子每盒的进价为元，则乙品牌粽子每盒的进价为元，
由题意可得：，
故选：．
根据用元购进甲品牌粽子的盒数与用元购进乙品牌粽子的盒数相同，可以列出相应的分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小，
故符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，
故符合题意；
用面积一定的绳子围成一个矩形，面积一定时，它的长与宽反比例函数，反比例是平滑的曲线，而并非如图的直线，
故不符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是．
故选：．
根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小判断即可；
根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可；
根据矩形的面积公式判断即可．
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
在每一象限内，随的增大而增大，
，
，，
，
故选：．
根据反比例函数的增减性判断即可．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、由作图可知，，，即邻边相等端点平行四边形是菱形，正确，本选项不符合题意；
B、由作图可知，，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确，本选项不符合题意；
C、由作图可知，只能判断出四边形是平行四边形，错误，本选项符合题意；
D、由作图可知，平分，，利用全等三角形的性质，可以证明，推出四边形是菱形，正确，本选项不符合题意．
故选：．
根据菱形的判定方法一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，读懂图象信息，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
，
，
，，
四边形的面积，
故选：．
由面积法可求，即可求，，即可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，利用面积法求出与的关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，直线过点和，
，
解得，
直线解析式为：故A错误，不符合题意；
青海湖水面大气压强为，故B错误，不符合题意；
根据实际意义，，故D错误，不符合题意；
将代入解析式，
，即青海湖水深处的压强为，故C正确，符合题意．
故选：．
由图象可知，直线过点和由此可得出和的值，进而可判断，；根据实际情况可得出的取值范围，进而可判断；将代入解析式，可求出的值，进而可判断．
本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
 

11.【答案】不唯一 

【解析】解：利用分式的基本性质，分式的分子分母都乘以一个不为的数或式子．
例如：．
故答案为：不唯一．
利用分式的基本性质可得结论．
本题考查了分式，掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，
方程组的解是．
故答案为：．
根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
平分，
四边形是菱形，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：轴，
点与点纵坐标相等，
的坐标是，
设点坐标，
，
的面积，
，
点坐标，
，
故答案为：．
利用三角形的面积求出点坐标，即可求出．
本题考查了反比例函数的性质的应用，点的坐标的特点及三角面积的计算是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据勾股定理计算的长，当、、共线时，最小，即最短距离是此时的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点到点的最短距离解决问题．
【解答】
解：如图，连接，，

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
由折叠得：，
，
当、、共线时，最小，
；
故答案为：．  

16.【答案】解：原式
；
原式


． 

【解析】原式利用立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：矩形中，，，
，，，
的周长的周长，
与的周长之差为，
故答案为：；
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的面积，
故答案为：；
，，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，连接，
矩形中，，，
，，，
，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即的长为．
根据矩形的对角线相等且互相平分即可解决问题；
证明是等腰直角三角形，得，证得，进而可以求出的面积；根据直角三角形两个锐角互余和三角形外角定义即可解决问题；
连接，根据矩形的对边相等可得，，根据矩形的对角线互相平分可得，然后判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

18.【答案】  或 

【解析】解：把代入得，
，
反比例函数的解析式为；
点、，
点与点关于原点对称，
点是线段的中点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形的面积；
故答案为：；
当时，即，
解得或；
故答案为：或．
把代入即可得到结论；
根据勾股定理得到，求得即可；
根据矩形的性质得到，根据矩形的面积公式即可得到结论；
解不等式即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】根据矩形的性质求出，证出四边形是平行四边形即可；
根据菱形的性质求出，再证出四边形是平行四边形即可．
本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证出、是解此题的关键．
 

20.【答案】解：反比例函数 的图象双曲线过点，
，
，
双曲线过点，
，
，
点，
一次函数的图象直线过点，，
则有
，
；
由图可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，
故不等式的解集是：或；
如解图，设与轴的交点为，连接．

当时，．
．
反比例函数和正比例函数的图象直线都关于原点中心对称，
这两个函数图象的交点关于原点中心对称，
．
，
点和点的纵坐标相等，
轴．
．
分别记点，，的纵坐标为，，，
，
，
． 

【解析】待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式；
通过图象找到所要求的解集区域，再通过交点坐标得出解集；
作水平辅助线把图象分割成两个三角形，再求面积．
本题考查待定系数法求解析式、一次函数与反比例函数图象的交点、围成的图形面积，掌握反比例函数的图象和性质是本题关键．
 

21.【答案】解：的图象过点，，
，
解得，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为元，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为元；
由题意可得，打折前的每次健身费用为元，
则；
选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，，．
当健身次时，
选择方案一所需费用：元，
选择方案二所需费用：元，
，
选择方案一所需费用更少． 

【解析】把点，代入，得到关于和的二元一次方程组，求解即可；
根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值；
将分别代入、关于的函数解析式，比较即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出、关于的函数解析式．
 

22.【答案】解：设排球的单价为元，则足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：排球的单价为元，足球的单价为元；
由题意可得：，
球不少于个．
，
解得，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，，
答：费用最少的购买方案为：购买排球个，足球个，最少费用为元． 

【解析】根据足球的单价比排球的单价多元，且用元购得排球，排球的数量与用元购得足球的数量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
根据题意，可以写出与的函数关系式，根据足球不少于个，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得费用的最小值．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】是  答案不唯一   

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，，，，，
点，分别为，的中点，
，
由翻折的性质得：，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，即：，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：是；
这个条件可以是，理由如下：
根据折叠性质得，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一；
四边形是平行四边形，证明如下：
由折叠的性质得：≌，≌，
在和中，
，
≌，
≌≌≌，
，，，
，
连接，，

，点，为，的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
当时，如图，

，
点在上，
由折叠的性质得：，，
，
，
在中，，
，
，
过点作的垂线交的延长线于，
，
在中，，，
，
四边形的面积，
故答案为：．
先证和全等得，进而得，据此可判定四边形是平行四边形，继而可得出结论；根据矩形的判定定理求解即可；
先证和全等，再根据折叠性质得≌≌≌，据此得，，，连接，，证和全等得，，再证和全等得，据此可得出结论；
当时，则点在上，由折叠的性质得，，在中利用三角函数可求出，再过点作的垂线交的延长线于，在中利用三角函数可求出，据此可求出四边形的面积．
此题是四边形综合题，主要考查了图形的折叠变换及其性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的全等的判定方法，难点是解答需要进行分类讨论，漏解是解答此题的易错点之一．