模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型一：猪蹄与锯齿模型

【模型结论】

如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；

②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；

③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下

如图1，过点P作PQ∥AM，

∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，

∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．

（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，

故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，

（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1

【模型辨析】

①注意：拐角为左右依次排列  ②若出现不是依次排列的，应进行拆分

模型二：铅笔模型

【模型结论】

如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝　180°；

如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；

如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；

如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。

【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；

在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，

∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；

在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，

∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，

∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；

在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．

【模型辨析】

①注意拐角朝同一方向  ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.

考点一：猪蹄模型

【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°

变式训练

【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°

【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝　  　．

【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝　  　．

考点二：锯齿模型

【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝　   　．

变式训练

【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°

【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．

如图②，若∠En＝b°，则∠BEC的度数是 　   　．

考点三：铅笔头模型

【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：

（1）如图1所示，∠1+∠2＝　  　．

（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．

（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　   　．

（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　   　．

变式训练

【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　   　．

【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　　°．

1．如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（　　）

A．80° B．100° C．120° D．140°

2．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（　　）

A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α

3．如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（　　）

A．α+β+γ B．β+γ﹣α C．180°﹣α﹣γ+β D．180°+α+γ+β

4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是　   　．

6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为　   　    

7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为　  　．

8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝　   　度．

9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是　   　．

10．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝　   　．

11．（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；

②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；

（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．

12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．

（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；

（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．

13．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°

（1）求证：AD∥CE；

（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．

14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．

小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．

（2）问题迁移：

①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．

②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系．