模型04 一线三等角模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”

如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角

类型一：一线三直角模型

如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP∽△BPD．

类型二：一线三锐角与一线三钝角模型

如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BPD．

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3

∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，   ∴△ACP∽△BPD

如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BPD．（证明同锐角）

【解题关键】构造相似或全等三角形.

考点一：一线三等角直角模型

【例1】.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则△BCD的面积为　　cm2．

变式训练

【变式1-1】．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于　　平方厘米．

【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 　 　．

【变式1-3】．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　）

A．（，3），（﹣，4） B．（，3），（﹣，4） 

C．（，），（﹣，4） D．（，），（﹣，4）

【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为（　　）

A． B． C． D．

考点二：一线三等角锐角或钝角模型

【例2】．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，

BD＝3，则CF等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式训练

【变式2-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ACF与△BDE的面积之和为　  　．

【变式2-2】．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO＝PD，那么AP的长是　  　．

【变式2-3】．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．

（1）求证：＝；

（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如图2，若∠AFE＝45°，求的值．

1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　）

A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE＝（　　）

A． B． C． D．

3.如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则的值是（ ）

A．     B.      C．     D.

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则的值为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（　　）

A． B． C．2 D．3

6．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的面积，则只需知道（　　）

A．△ABC的面积 B．△BFG的面积 

C．四边形AFGH的周长 D．△BDE的面积

7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．

8．设O为坐标原点，点 A、B为抛物线y＝4x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点 A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（　　）

A． B． C． D．1

9．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为 　　．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　  　．

11．已知反比例函数y＝，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y＝上找出一点P，使∠POE＝45°，则此点P的坐标为　   　．

12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若，＝　   　．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．

14．如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．

（1）若∠AED＝30°，则∠ADB＝　   °．  （2）求证：△BED≌△CDF．

（3）点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为　　．

A．不变                     B．一直变小

C．先变大后变小             D．先变小后变大

15．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？

（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

16．如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

（1）求线段AB的长（用含m的代数式表示）；

（2）当2≤m≤4时，抛物线过点（a，b）和（a+5，b），求a的取值范围；

（3）如图，在y轴上有一点P（0，3），当∠APB＝∠ABC时，求m的值．