模型12 脚拉脚模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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模型介绍

成立条件：等腰三角形顶角互补
模块一：认识“脚拉脚”模型
1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F

已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点。
结论：BF=DF，BF⊥DF.
法1：倍长中线+手拉手
延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；
所以CG=ED=AD，∠2=∠7；
又∠1+∠2+∠3=360°，
∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），
∠4=∠6=90°；
所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，
所以∠1=∠5；
则△BCG≌△BAD（SAS），
所以∠DBG=90°，BG=BD；
所以BF=DG=DF，BF⊥DF。


由△BCF≌△GEF（SAS），得BC∥GH， 由△DEF≌△GCF（SAS），得GH∥DE，
所以∠2=∠6=90°，则∠2=∠1， 所以∠H+∠ADE=180°，即∠H=∠ADE=90°，
在四边形ADEH中，∠1+∠2=180°， 所以∠H=∠ABC=90°，
则∠3+∠4=180°，又∠4+∠5=180°， 所以∠1=∠2（8型转角），
所以∠3=∠5 所以∠3=∠4
注意：选择“四边形对角互补”还是“8型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底边与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”;夹角大于45°：选择“8型转角”）
法2：斜边中线+中位线
取AC中点G，AE中点H，连接BG，FG，FH，DH。
由中位线定理可知：FG=AE=DH，FH=AC=BG，
∠1=∠3=∠2，
所以∠1+∠5=∠2+∠4，所以∠BGF=∠FHD；
则△BGF≌△FHD（SAS），
所以BF=DF，∠FBG=∠DFH，∠BFG=∠FDH；
所以∠BFG+∠GFH+∠DFH=∠BFG+∠3+∠FBG
=∠BFG+∠1+∠FBG，

又∠BFG+∠1+∠FBG+∠5=180°（三角形内角和），
所以∠BFG+∠1+∠FBG=90°，所以BF⊥DF。

2、等腰三角形的顺序脚拉脚模型
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F

已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，
结论：CE=BD，∠BFC=45°.
法一：相似

△ABD∽△ACE（SAS）


∠4=∠1 ∠2=∠3=45°（8字型转角）
法二：手拉手+平行四边形
将线段BD逆时针旋转90°得到线段BG，连接DG、CG。
易证：△BAD≌△BCG（SAS），∠1=∠4+∠5，
又∠3+∠5+∠6=∠7=90°，
所以∠1+∠2+∠3+∠6
=∠2+∠4+∠3+∠5+∠6
=90°+90°=180°
所以CG平行且等于DE，所以四边形DECG为平行四边形，
所以CE=DG=BD，∠BFC=∠BDG=45°

3、顶角互补型脚拉脚
已知：△ABC、△DCE为等腰三角形，=180°，AB=AC，DC=DE，点F为BE的
中点. 结论：①AF⊥DF；②.

法1：倍长中线+手拉手 法2：中位线+相似

延长DF至点G，使得FG=FD，连接AD， 取BC中点M，EC中点N，连接AM，FM，
AG，BG，延长BG与CD相交于点H。 DN，FN。
易证：△BFG≌△EFD（SAS） 由中位线定理得：FN=MC，MF=CN，∠4=∠5；
得：BG∥DE，BG=DE=DC， 所以，同理；
∠EDH=∠GHD=，所以∠CHB= 又∠AMF+∠CMF=∠FND+∠CNF；
所以∠ABG=∠ACD（8字型转角） 所以∠AMF=∠FND，得∠AMF∽∠FND ；
所以△ABG≌△ACD（SAS），得证。 所以∠3=∠7，；
∠1+∠2+∠3+∠4+∠6=∠5+∠6+∠7+∠AFD；
所以∠1+∠2=∠AFD=90°








例题精讲


【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为 　　．



Ø变式训练
【变式1-1】．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝CF．








【变式1-2】．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段BE，连接EA，EC．
（1）在图中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
（2）作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA于点F，连接CF，用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．





















【变式1-3】．（1）如图1，AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，求证：BE＝CD．
（2）如图2，△ACE是等边三角形，P为三角形外一点，∠APC＝120°，求证：PA+PC＝PE．
（3）如图3，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD﹣∠AED＝60°，DC＝3，求DE长．
























实战演练

1．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD交点F，连接AF．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）求证：AF+BF+CF＝CD．





2.如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证：
（1）AF＝DF； （2）AF⊥DF．





3.已知：如图，AB＝AC，DC＝DE，且∠BAC＝∠CDE＝90°，连接BE，F为BE的中点．
求证：（1）∠ACD＝∠ABE+∠BED；
（2）FA＝FD，FA⊥FD．






4.已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．









5．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．

（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC；
（2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；
（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为　　（结果用含α的式子表示）．

















6．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想．






















7．如图1，点A在x轴上，点D在y轴上，以OA、AD为边分别作等边△OAC和等边△ADE，若D（0，4），A（2，0）．
（1）若∠DAC＝10°，求CE的长和∠AEC的度数．
（2）如图2，若点P为x轴正半轴上一动点，点P在点A的右边，连PC，以PC为边在第一象限作等边△PCM，延长MA交y轴于N，当点P运动时，
①∠ANO的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．
②AM﹣AP的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．
















8．已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程的解．
（1）点A的坐标为 　　；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；
（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．

















9．在平面直角坐标系中，B点在x轴上，且PA⊥PB，点A（0，a）、P（m，m），若a、m满足a2+m2﹣4a﹣8m+20＝0
（1）如图1，求a、m的值；
（2）如图2，若A点运动到y轴的负半轴上，求OB﹣OA的值；
（3）如图3，若Q是线段AB上一动点，C为AQ中点，PR⊥PQ且PR＝PQ，连BR，请同学们判断线段BR与PC之间的关系，并加以证明．




















10．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），C（﹣2，﹣2），且∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴与点N，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．

















11．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．




















12．已知：在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣2，3）．
（1）在图①中的y轴上求作点P，使得PA+PB的值最小；
（2）若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐标；
（3）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D（不与点A重合）是x轴上一个动点，点E是AD中点，连接BE，把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE（即∠BEF＝90°，BE＝FE），连接BF、CF、CD，试猜想∠FCD的度数，并给出证明．


















13．如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B（b，0），C（c，0）在x轴上，∠BAC＝60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2＝0．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图1，F为AB延长线上一点，连FC，G为y轴上一点，若∠GFC+∠ACG＝60°．求证：FG平分∠AFC；
（3）如图2，△BDE中，DB＝DE，∠BDE＝120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系，并说明理由．















14．如图所示，△ABC，△ADE为等腰三角形，∠ACB＝∠AED＝90°．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是　　；∠EFD的度数为　°　．
（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．
（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图3的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，请猜想线段EF与FC的关系，并验证你的猜想．

















15．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．
（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为　　；
（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为　　．

















16．CD是△ABC的高
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于点E，求证：CE＝CF；
（2）如图2，若∠A＝2∠B，∠ACB的平分线CG交AB于点G，求的值；
（3）如图3，若△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，再以AD为斜边作等腰Rt△AMD，Q是DB的中点，连接CQ、MQ，试判断线段CQ与MQ的关系，并给出证明．




















17．（1）探究：如图1，在△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上．

①求∠DCE的度数；
②直接写出线段CD，CE，AC之间的数量关系；
（2）应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四边形ABCD内一点，且∠APC＝120°，求证：PA+PC+PD≥BD；
（3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABC，求OC的最小值．
















18．如图，△ABC是等边三角形，△BDE是顶角为120°的等腰三角形，BD＝DE，连接CD，AE．
（1）如图1，连接AD，若∠ABE＝60°，AB＝BE＝，求CD的长；
（2）如图2，若点F是AE的中点，连接CF，DF．求证：CD＝2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB＝2，BD＝2，将△BDE绕点B旋转，点H是△AFC内部的一点，当DF最大时，请直接写出2HA+HF+HC的最小值的平方．