模型14 截长补短模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.

考点一：截长型

【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.

变式训练

【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．

【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．

【变式1-3】．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．

考点二：补短型

【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°

求证：BD+DC＝AB．

变式训练

【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：BC＝AB+DC．

【变式2-2】．【问题背景】

如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论　   　．

【探索延伸】如图2，若在四边形中，，、分别是，上的点，上述结论是否仍然成立

【学以致用】

如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长．

1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　）

A．21 B．24 C．27 D．30

2．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝　 　．

3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．

求证：AD+CD＝AB．

4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：

（1）BQ＝CQ；

（2）BQ+AQ＝AB+BP．

6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．

7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．

求证：

（1）点E是AD的中点；  

（2）BC＝AB+CD．

8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，

（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；

（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？

（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．

9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．

（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE

（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．

10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．

（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；

（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．

11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．

（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；

（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．

12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；

（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．

（1）求点C坐标；

（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；

（3）求∠BEO度数；

（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．

14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上

（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；

（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．