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    模型15 十字架模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)

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    正方形内部,MN⊥EF,则MN=EF

     

    模型巧记:正方形内十字架模型,垂直一定相等,相等不一定垂直.

     

    点拨:无论怎么变,只要垂直,十字架就相等.

     

            

     

     

     

     

    考点一、正方形中的十字模型

    例1.如图,正方形ABCD中,点EF分别在边CDAD上,BECF于点G,若BC4AF1,则GF的长为_______

     

     

    变式训练

    变式1-1.如图,在正方形ABCD中,EBC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交ABG,交CDF.若DF2BG4,则GF的长为   

     

     

    变式1-2.如图,在正方形ABCD中,点EF分别在ADCD上,且AEDF2BEAF相交于点OPBF的中点,连接OP,若AB5,则OP的长为   

     

    变式1-3.如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上的一点,点F在边CD的延长线上,且BEDF,连接EF交边AD于点G.过点AANEF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE5CN8,则线段AN的长为   

     

     

     

    考点二:矩形中的十字模型

    例2.如图,在矩形ABCD中,点E是边AB上一点,将△BCE沿CE折叠,使点B落在AD边上的点F处,连接BF.已知AD5AB3,求折痕CE的长.

     

     

     

    变式训练

    变式2-1如图,把边长为的矩形对折,使点重合,求折痕的长.

     

     

     

     

    变式2-2.如图,矩形ABCD中,BCAB12FG分别为ABDC边上的动点,连接GF,沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP,点E落在BC上,EPCD于点H,连接AEGF于点O,连接CP,若tanCGPGF2CP的长为  

     

     

     

    变式2-3如图,在矩形ABCD中,AB5AD10.若点E是边AD上的一个动点,过点EEFAC且分别交对角线AC、直线BC于点OF,则在点E移动的过程中,AF+FE+EC的最小值为     


                          

    1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点EF分别是边BCCD上的动点,且BECF,连接BFDE,则BF+DE的最小值为(  )

    A8 B4 C4 D4

     

    2.如图,在正方形ABCD中,EF分别是ABBC的中点,CEDF交于点G,连接AG.下列结论:CEDFCEDFAGE=∠CDF.其中正确的结论是(  )

    A①② B①③ C②③ D①②③

     

    3.如图,在矩形ABCD中,AB10AD6EBC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为    

     

    4.如图,在RtACB中,AC4BC3,点DAC中点,连接BD,作CEBDAB于点E,垂足为F,则CE     

     

    5.如图,将边长为4的正方形ABCD折叠,使得点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点FAD边上,则FG     

     

    6.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点EF分别是边ABBC的中点,连接ECFD,点GH分别是ECFD的中点,连接GH,则GH的长度为     

     

    7.如图,正方形ABCD的边长是9,点EAB边上的一个动点,点FCD边上一点,CF4,连接EF,把正方形ABCD沿EF折叠,使点AD分别落在点A′,D′处,当点D′落在直线BC上时,线段AE的长为     

     

    8.如图,在RtABC中,∠ABC90°,BABC,点DBC边的中点,BEAD于点E,交AC于点F,求的值.

     

     

     

     

     

     

    9.如图,在四边形ABCD中,∠ABC90°,ABAD10BCCD5,点MN分别在边BCAB上,且AMDN的值.

     


    10.矩形ABCD中,AB8AD12.将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE

    1)如图,若点P恰好在边BC上,连接AP,求的值;

    2)如图,若EAB的中点,EP的延长线交BC于点F,求BF的长.

     

     

     

     

     

     

    11.已知四边形ABCD中,EF分别是ABAD边上的点,DECF交于点G

    1)如图,若四边形ABCD是矩形,且DECF,求证:△ADE∽△DCF

    2)如图,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,成立?并证明你的结论;

    3)如图,若BABC6DADC8,∠BAD90°,DECF,请直接写出的值.

     

     

     

     

     

     

    12.在矩形ABCD中,ABaADbEFGHMEF分别交ABCD于点EFGH分别交ADBC于点GH

    1)【观察猜想】如图,当ab时,线段EF与线段GH的数量关系是     

    2)【类比探究】如图,当ab时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由,若不成立,请写出正确的结论,并说明理由.

    3)【拓展运用】如图,在四边形ABCD中,BCCD5,∠B=∠ADC90°,AEDFG,点EF分别在边BCAB上,若,求AB的长.

     


    13.华师版八年级下册数学教材第121页习题19.32小题及参考答案.

    如图,在正方形ABCD中,CEDF.求证:CEDF

    证明:设CEDF交于点O

    ∵四边形ABCD是正方形,

    ∴∠B=∠DCF90°,BCCD

    ∴∠BCE+DCE90°,

    CEDF

    ∴∠COD90°.

    ∴∠CDF+DCE90°.

    ∴∠CDF=∠BCE

    ∴△CBE≌△DFC

    CEDF

    某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究.

    【问题探究】

    如图1,在正方形ABCD中,点EFGH分别在线段ABBCCDDA上,且EGFH.试猜想的值,并证明你的猜想.

    【知识迁移】

    如图2,在矩形ABCD中,ABmBCn,点EFGH分别在线段ABBCCDDA上,且EGFH.则  

    【拓展应用】

    如图3,在四边形ABCD中,∠DAB90°,∠ABC60°,ABBC,点EF分别在线段ABAD上,且CEBF.求的值.

           

     

    14.(1)证明推断:如图(1),在正方形ABCD中,点EQ分别在边BCAB上,DQAE于点O,点GF分别在边CDAB上,GFAE

    填空:DQ    AE(填“>”“<”或“=”);推断的值为    

    2)类比探究:如图(2),在矩形ABCD中,kk为常数).将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPGEPCD于点H,连接AEGF于点O.试探究GFAE之间的数量关系,并说明理由;

    3)拓展应用:在(2)的条件下,连接CP,当k时,若GF2,求CP的长.

     

    声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/3/2 20:2


    6:29;用户15.在四边形ABCD中,对角线ACBD相交于点O,过点O的直线分别交边ABCDADBC于点EFGH

    【感知】如图,若四边形ABCD是正方形,且EFGH,易知SBOESAOG,又因为SAOBS四边形ABCD,所以S四边形AEOGS正方形ABCD(不要求证明);

    【拓展】如图,若四边形ABCD是矩形,且S四边形AEOGS矩形ABCD,若ABaADbBEm,求AG的长(用含abm的代数式表示);

     

    【探究】如图,若四边形ABCD是平行四边形,且S四边形AEOGSABCD,若AB3AD5BE1,则AG     

     

     

     


     

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