模型15 十字架模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)
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正方形内部,MN⊥EF,则MN=EF
★模型巧记:正方形内十字架模型,垂直一定相等,相等不一定垂直.
★点拨:无论怎么变,只要垂直,十字架就相等.
考点一、正方形中的十字模型
【例1】.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,BE⊥CF于点G,若BC=4,AF=1,则GF的长为_______
变式训练
【变式1-1】.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于G,交CD于F.若DF=2,BG=4,则GF的长为 .
【变式1-2】.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且AE=DF=2,BE与AF相交于点O,P是BF的中点,连接OP,若AB=5,则OP的长为 .
【变式1-3】.如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上的一点,点F在边CD的延长线上,且BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN的长为 .
考点二:矩形中的十字模型
【例2】.如图,在矩形ABCD中,点E是边AB上一点,将△BCE沿CE折叠,使点B落在AD边上的点F处,连接BF.已知AD=5,AB=3,求折痕CE的长.
变式训练
【变式2-1】.如图,把边长为,的矩形对折,使点和重合,求折痕的长.
【变式2-2】.如图,矩形ABCD中,BC:AB=1:2,F、G分别为AB、DC边上的动点,连接GF,沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP,点E落在BC上,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O,连接CP,若tan∠CGP=,GF=2,CP的长为 .
【变式2-3】.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=10.若点E是边AD上的一个动点,过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F,则在点E移动的过程中,AF+FE+EC的最小值为 .
1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、CD上的动点,且BE=CF,连接BF、DE,则BF+DE的最小值为( )
A.8 B.4 C.4 D.4
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
3.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为 .
4.如图,在Rt△ACB中,AC=4,BC=3,点D为AC中点,连接BD,作CE⊥BD交AB于点E,垂足为F,则CE= .
5.如图,将边长为4的正方形ABCD折叠,使得点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F在AD边上,则FG= .
6.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为 .
7.如图,正方形ABCD的边长是9,点E是AB边上的一个动点,点F是CD边上一点,CF=4,连接EF,把正方形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在点A′,D′处,当点D′落在直线BC上时,线段AE的长为 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,点D为BC边的中点,BE⊥AD于点E,交AC于点F,求的值.
9.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,点M,N分别在边BC,AB上,且AM⊥DN,的值.
10.矩形ABCD中,AB=8,AD=12.将矩形折叠,使点A落在点P处,折痕为DE.
(1)如图①,若点P恰好在边BC上,连接AP,求的值;
(2)如图②,若E是AB的中点,EP的延长线交BC于点F,求BF的长.
11.已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证:△ADE∽△DCF;
(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,成立?并证明你的结论;
(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出的值.
12.在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,EF⊥GH于M,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H.
(1)【观察猜想】如图①,当a=b时,线段EF与线段GH的数量关系是 .
(2)【类比探究】如图②,当a≠b时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由,若不成立,请写出正确的结论,并说明理由.
(3)【拓展运用】如图③,在四边形ABCD中,BC=CD=5,∠B=∠ADC=90°,AE⊥DF于G,点E、F分别在边BC、AB上,若=,求AB的长.
13.华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.
如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF.求证:CE=DF. 证明:设CE与DF交于点O, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD. ∴∠BCE+∠DCE=90°, ∵CE⊥DF, ∴∠COD=90°. ∴∠CDF+∠DCE=90°. ∴∠CDF=∠BCE, ∴△CBE≌△DFC. ∴CE=DF. |
某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究.
【问题探究】
如图1,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH.试猜想的值,并证明你的猜想.
【知识迁移】
如图2,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH.则= .
【拓展应用】
如图3,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=60°,AB=BC,点E、F分别在线段AB、AD上,且CE⊥BF.求的值.
14.(1)证明推断:如图(1),在正方形ABCD中,点E、Q分别在边BC、AB上,DQ⊥AE于点O,点G、F分别在边CD、AB上,GF⊥AE.
①填空:DQ AE(填“>”“<”或“=”);②推断的值为 ;
(2)类比探究:如图(2),在矩形ABCD中,=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用:在(2)的条件下,连接CP,当k=时,若=,GF=2,求CP的长.
声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/3/2 20:2
6:29;用户15.在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H
【感知】如图①,若四边形ABCD是正方形,且EF⊥GH,易知S△BOE=S△AOG,又因为S△AOB=S四边形ABCD,所以S四边形AEOG=S正方形ABCD(不要求证明);
【拓展】如图②,若四边形ABCD是矩形,且S四边形AEOG=S矩形ABCD,若AB=a,AD=b,BE=m,求AG的长(用含a、b、m的代数式表示);
【探究】如图③,若四边形ABCD是平行四边形,且S四边形AEOG=S▱ABCD,若AB=3,AD=5,BE=1,则AG= .
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