2022-2023学年山东省济宁市微山县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市微山县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子中，是二次根式的是( )
A. −3B. 38C. a−1(a<1)D. a2+1
2. 下列计算正确的是( )
A. 3+ 7= 10B. 7− 2= 5
C. 3⋅ 5= 15D. 3 2÷ 2=2 2
3. 若 (x−3)2=x−3，则x的取值范围是( )
A. x>3B. x≥3C. x<3D. x≤3
4. △ABC中，∠B=90°，AC=4cm，BC=3cm，则AB的长为( )
A. 7cmB. 5cmC. 5cm或7cmD. 5cm或 7cm
5. 下列四组数分别作为一个三角形的边长，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 4，6，8C. 5，12，13D. 2,3, 13
6. 如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数−1的点重合，点D与数轴上表示数−4的点重合，AB=1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为( )
A. − 10B. 1− 10C. 10−1D. −1− 10
7. 已知：如图，▱ABCD中，BE⊥CD于E，BE=AB，∠DAB=60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF.则∠EFA的度数等于( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
8. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB=AF，AE=BC.AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB=30°，AB=2，则四边形AGCH的周长为( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
9. 在3×2的网格中(如图所示)，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB，CD的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数等于( )
A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°
10. 如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，分别连接DE，EF，DF，AE，AE与DF相交于点O.有下列四个结论：
①DO=14BE；
②S△DEF=14S△ABC；
③当AB=AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；
④当∠ABC=90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 在二次根式 2x+1中，x的取值范围______ ．
12. 已知 a+1为最简二次根式，且能够与 8合并，则a的值是______ ．
13. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是______ ．
14. 如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.若BC=2，∠C=105°，∠BDC=45°，则AE的长为______ ．
15. 如图，矩形CEFD中，CE=15，CD=9.延长EC至点A，使CA=CD，在CE上取一点B，使CB=CD，连接DB并延长，交FE延长线于点G，点H是DF上一动点(不与点D，F重合).当HE=AD时，则HG的长是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
计算：
(1) 32−3 12+ 2；
(2)( 3+ 2)( 3− 2)+ 6× 23．
17. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．
(1)若∠A=42°，求∠DBC的度数；
(2)若CD=1，BC=2 2，求BD，AB的长．
18. (本小题7.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．
19. (本小题8.0分)
为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=9m，DA=12m，BC=8m，CD=17m．
(1)求出空地ABCD的面积；
(2)若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
20. (本小题8.0分)
在学习三角形的中位线后，小刚同学写出了一个命题“经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”．
(1)这个命题是______ (填真命题或假命题)；
(2)若你判断是真命题，请完成下面的证明；若你判断是假命题，请举出反例．
已知：在△ABC中，点E为BC中点，DE/​/AC交AB．
求证：AD=BD．
证明：
21. (本小题9.0分)
阅读材料
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质可知，判断两个数或式子的大小时，可以通过求它们的差来判断．
如果两个数或式子分别为m和n，那么
当m>n时，一定有m−n>0；
当m=n时，一定有m−n=0；
当m反过来也正确，即
当m−n>0时，一定有m>n；
当m−n=0时，一定有m=n；
当m−n<0时，一定有m例如：比较a2+1与2a−1的大小．
解：因为(a2+1)(2a−1)=(a−1)2+1>0，所以a2+1>2a−1．
解决问题
(1)用“>”或“<”填空：3− 2 ______ 4−2 2；
(2)制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板.方案2：用3块A型钢板，7块B型钢板.已知一块A型钢板的面积比一块B型钢板的面积大.若一块A型钢板的面积为x，一块B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
(3)已知a>0，比较a与1a的大小．
22. (本小题11.0分)
如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC上的一动点，连接AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F．
(1)求证：△ABE≌△BCF；
(2)当OM=2时，求OG的长；
(3)当点E运动到使AE平分∠BAC位置时，BM与OM是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A． −3中的−3<0，该代数式无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B.38的根指数是3，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C.a<1，则a−1<0， a−1无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D. a2+1符合二次根式的定义，故本选项符合题意，
故选：D．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：A． 3与 7不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 7与 2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 3⋅ 5= 3×5= 15，所以C选项符合题意；
D.3 2÷ 2=3，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵ (x−3)2=x−3，
即x−3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
根据二次根式双重非负性，直接解答即可．
考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：△ABC中，∠B=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB= 42−32= 7(cm)，
故选：A．
根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、42+62≠82，不能构成直角三角形，此选项符合题意；
C、52+122=132，能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、22+32=( 13)2，能构成直角三角形，此选项不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
6.【答案】D
【解析】解：在长方形ABCD中，AD=−1−(−4)=3，AB=CD=1，
∴AC= AD2+CD2= 32+12= 10，
则点A到该交点的距离为 10，
∵点A表示的数为−1，
∴该点表示的数为：−1− 10，
故选：D．
根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为−1，可得该点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF=12∠DAB=30°，
∴∠BAF=∠AFB=30°，
∴AB=BF，
∵BE=AB，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∵DAB=60°，
∴∠C=∠DAB=60°，
∴∠EBF=30°，
∴∠BFE=12×(180°−30°)=75°，
∴∠EFA=∠BFE−∠BFA=45°，
故选：D．
根据平行四边形的性质得到AD//BC，根据平行线的性质得到∠DAF=∠AFB，根据角平分线的定义得到∠DAF=∠BAF=12∠DAB=30°，求得∠BAF=∠AFB=30°，求得∠EBF=30°，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形，
∴AD/​/BC，AE/​/CF，∠B=∠F=90°，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∠AGB=∠GCH=∠AHF，
在△AFH和△AGB中，
∠AGB=∠AHF∠B=∠FAB=AF，
∴△AFH≌△AGB(AAS)，
∴AH=AG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AG=GC=CH=HA，
∵∠AGB=30°，AB=2，
∴AB=4，
∴四边形AGCH的周长为4×4=16．
故选：D．
先证明四边形AGCH是平行四边形，然后证明AH=AG，证得四边形AGCH是菱形，再求出AG即可解答．
本题考查了矩形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
9.【答案】C
【解析】解：取格点E，连接AE，BE，则AE/​/CD，

∴∠BAE=∠BOD，
由勾股定理，得AB2=12+22=5，EB2=12+22=5，AE2=12+32=10，
∴AB2+BE2=AE2，AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠BOD=∠BAE=45°．
故选：C．
取格点E，连接AE，BE，可证∠BAE=∠BOD，根据勾股定理和逆定理可判断△ABE为等腰直角三角形，即可解答．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①∵点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，
∴DF=12BC，BE=12AC，DF/​/BC，
∴AO=EO，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD=12BE，故①错误；
②∵点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，
∴DF//BC，DF=12BC，BE=CE，DE/​/AF，EF/​/AD，
∴四边形ADEF和四边形DBEF和四边形DECF是平行四边形，
∴S△ADF=S△DEF=S△BDE=S△CEF，
∴S△DEF=14S△ABC，故②正确；
③∵AB=AC，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故③正确；
④∵∠ABC=90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离不相等，故④错误．
综上所述：正确的是②③，共2个，
故选：C．
①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题；
④证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
11.【答案】x≥−12
【解析】解：由题意得：2x+1≥0，
解得：x≥−12，
故答案为：x≥−12．
根据二次根式有意义的条件可得2x+1≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】1
【解析】解：∵ 8=2 2， a+1为最简二次根式，且能够与 8合并，
∴a+1=2，
解得：a=1，
故答案为：1．
根据同类二次根式的定义，进行计算即可解答．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D−S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D−S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为5、7、20，
∴S正方形B+5=20−7，
∴S正方形B=8．
故答案为：8．
根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D−S正方形C=S正方形E解得即可．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
14.【答案】12+ 32
【解析】解：过点C作CH⊥BD于点H，

∴∠DHC=∠BHC=90°，
∵∠BDC=45°，
∴DCH=90°−45°=45°=∠BDC，
∴CH=DH，
∵∠BCD=105°，
∴∠BCH=∠BCD−∠DCH=60°，
∴∠HBC=30°，
∴CH=12BC=1=DH，
∴BH= BC2−CH2= 22−12= 3，
∴BD=BH+DH=1+ 3，
∴S△BCD=12BD⋅CH=12×(1+ 3)×1=12+ 32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD的面积=2S△BCD，AE⊥BC，
∴BC⋅AE=2×(12+ 32)，
∴AE=12+ 32，
故答案为：12+ 32．
过点C作CH⊥BD于点H，根据题意求出∠BDC=45°，CH=DH，∠BCH=60°，∠HBC=30°，解直角三角形求出CH=12BC=1=DH，BH= 3，则BD=BH+DH=1+ 3，根据平行四边形的性质得到▱ABCD的面积=2S△BCD，据此求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到▱ABCD的面积=2S△BCD是解题的关键．
15.【答案】3 34
【解析】解：以C为原点，CE所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：

∵CE=15，CD=9，
∴E(15,0)，D(0,9)，F(15,9)，
∵CA=CD，CB=CD，
∴AC=BC=9，
∴A(−9,0)，B(9,0)，
∴AD= (−9)2+92=9 2，
由D(0,9)，B(9,0)得直线BD函数表达式为y=−x+9，
在y=−x+9中，令x=15得y=−6，
∴G(15,−6)，
∵四边形CDFE是矩形，
∴直线DF函数表达式为y=9，
设H(m,9)，
∵E(15,0)，HE=AD，
∴ (m−15)2+92=9 2，
解得m=6或m=24(此时H不在边DF上，舍去)，
∴H(6,9)，
∴HG= (15−6)2+(−6−9)2=3 34，
故答案为：3 34．
以C为原点，CE所在直线为x轴建立直角坐标系，由CE=15，CD=9，得E(15,0)，D(0,9)，F(15,9)，而CA=CD，CB=CD，知A(−9,0)，B(9,0)，AD=9 2，求出直线BD函数表达式为y=−x+9，可得G(15,−6)，设H(m,9)，根据HE=AD，有 (m−15)2+92=9 2，解得H(6,9)，故HG= (15−6)2+(−6−9)2=3 34．
本题考查矩形的性质，涉及直角坐标系，两点间的距离公式及一次函数等知识，解题的关键是求出G，H的坐标．
16.【答案】解：(1) 32−3 12+ 2；
=4 2−32 2+ 2
=72 2；
(2)( 3+ 2)( 3− 2)+ 6× 23
=3−2+2
=3．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，
∴∠ABC=∠C=180°−∠A2=69°，
∵BD⊥AC，即∠ADB=90°，
∴∠DBC=∠ADB−∠C=21°；
(2)∵在Rt△DBC中，∠BDC=90°,CD=1,BC=2 2，
∴BD= BC2−CD2= (2 2)2−12= 7，
设AB=AC=x，则AD=AC−CD=x−1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x−1)2+( 7)2，
解得x=4，
∴AB=4．
【解析】(1)先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠C=69°，再根据三角形外角的性质进行求解即可；
(2)先利用勾股定理求出BD= 7，设AB=AC=x，则AD=x−1，在Rt△ABD中，由勾股定理得x2=(x−1)2+( 7)2，解方程即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方程是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴DF/​/EB，
又∵DF=EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)解：∵DE⊥AB，
∵AF平分∠DAB，DC/​/AB，
∴∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=FD=5，
∵AB=CD，DF=BE，
∴AE=CF=3，
∴DE= AD2−AE2=4，
∴矩形BFDE的面积是：DF⋅DE=5×4=20，
即矩形BFDE的面积是20．
【解析】(1)根据平行四边形的性质可以得到DF/​/EB，再根据DF=EB，可以得到四边形BFDE是平行四边形，然后根据DE⊥AB，即可证明结论成立；
(2)根据勾股定理可以得到AD的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到∠DAF=∠DFA，从而可以得到AD=FD，然后即可得到DF的值，最后根据矩形的面积=DF⋅DE计算即可．
本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=92+122=152，
在△CBD中，CD2=172，BC2=82，
而82+152=172，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
则S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC，
=12⋅AD⋅AB+12DB⋅BC
=12×12×9+12×15×8
=114(平方米)；
答：空地ABCD的面积114(平方米)；
(2)需费用114×350=39900(元)，
答：总共需投入39900元．
【解析】(1)连接BD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD为直角三角形，四边形ABCD面积等于三角形ABD面积+三角形BCD面积，求出即可；
(2)由(1)求出的面积，乘以350即可得到结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
20.【答案】真命题
【解析】(1)这个命题为真命题；
故答案为：真命题；
(2)证明：取AB的中点D′，连接ED′，如图，
∵点E为BC中点，
∴D′E为△ABC的中位线，
∴D′E//AC，
∵DE/​/AC，
∴D′E与DE为同一条直线，
即点D与点D′重合，
∴点D为AB的中点，
∴AD=BD．
(1)这个命题为真命题；
(2)取AB的中点D′，连接ED′，如图，则D′E为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得到D′E//AC，而DE/​/AC，由于经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以可判断点D与点D′重合，从而得到结论．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了三角形的中位线性质．
21.【答案】>
【解析】解：(1)3− 2−(4−2 2)
=3− 2−4+2 2
=−1+ 2>0，
即3− 2>4−2 2，
故答案为：>；
(2)选用方案2，理由如下：
方案1的面积为：4x+6y，
方案2的面积为：3x+7y，
4x+6y−(3x+7y)
=4x+6y−3x−7y
=x−y，
∵一块A型钢板的面积比一块B型钢板的面积大，
∴x−y>0，
即4x+6y>3x+7y，
故选择方案2；
(3)a−1a=a2−1a，
∵a>0，
∴当0当a=1时，a2−1a=0，则a=1a；
当a>1时，a2−1a>0，则a>1a．
(1)根据“求差法”进行求解即可；
(2)先表示出两种方案所用的面积，再作差比较即可；
(3)作差比较，再分析即可．
本题考查了整式加减的应用，二次根式的加减，分式的大小比较，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠ABC=∠BCDAB=BC∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF(ASA)；
(2)解：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA=OB=OC，
∴∠AOM=∠BOG=90°，
∴∠MAO+∠AMO=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠GBO+∠BMP=90°，
又∵∠BMP=∠AMO，
∴∠MAO=∠GBO，
在△AOM和△BOG中，
∠AOM=∠BOG=90°OA=OB∠MAO=∠GBO，
∴△AOM≌△BOG(ASA)，
∴OM=OG，
∵OM=2，
∴OG=2；
(3)解：BM2=2OM2，理由如下：
如图，作MN⊥AB于点N，

∵AC⊥BD，AE平分∠BAC，
∴OM=MN，
又∵∠ABD=45°，∠ANM=90°，
∴∠NMB=45°=∠ABD，
∴BN=MN，
在Rt△BMN中，BM2=BN2+MN2=2MN2=2OM2．
【解析】(1)由正方形的性质得出∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，结合直角三角形的性质推出∠BAE=∠CBF，利用ASA即可证明△ABE≌△BCF；
(2)根据正方形的性质，证明△AOM≌△BOG，根据全等三角形的性质即可得解；
(3)作MN⊥AB于点N，先证明OM=MN，利用勾股定理即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是根据正方形的性质推出△AOM≌△BOG．