2023年湖北省宜昌市西陵区中考数学调研试卷（5月份）（含解析）

2023年湖北省宜昌市西陵区中考数学调研试卷（5月份）

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若、两数互为倒数，则下列等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某平台发布卡塔尔世界杯观赛报告称，世界杯累计直播观看人次达亿，用户直播总互动达亿将数据按照四舍五入精确到十分位，其结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线、、相交于点，、相交于点，，若，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将分别标有“最”、“美”、“宜”、“昌”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是(    )
 

A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

9.  由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，是圆的直径，、、是圆的弦，且，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，它们的边长分别为，，其面积之和比其余面积阴影部分多平方米则主卧与客卧的周长差为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

12.  计算： ______ ．

13.  如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为______ ．

14.  如图，平整的地面上有一个不规则图案图的阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了如下方法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为______ ．

 

15.  木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠于点，并使较长边与相切于点记角尺的直角顶点为，量得，，则的半径等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．

17.  本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

 

18.  本小题分
在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知，求作一个以为内角的菱形经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：
以点为圆心，以适当长为半径画弧，与，分别交于，两点，再分别以，两点为圆心，以相同的长度为半径大于画两条弧，两弧交于内一点；
以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；
连接交于点，交于点，连接，．
请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：
使用直尺和圆规补全图形；保留作图痕迹
证明四边形是菱形．

19.  本小题分
某校九年级名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五种等级为了解培训效果，随机抽取了名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格：

若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则 ______ ；填“”、“”或“”
这名学生在培训后仍有四名学生的测试成绩为“分”，其中两人是小林和小王，现要从这四名学生的试卷里任选两份出来点评，求恰好同时选到小林和小王的概率是多少？
请你估计九年级名学生经过培训后，测试成绩为“分”的学生能增加多少人？

20.  本小题分
阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材】某公园计划修建一个图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为．
【素材】距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？

 

21.  本小题分
如图，是的直径，是的切线，于点，交于点，连接交于点．
求证：平分；
若，求的值．

22.  本小题分
宜昌百里洲砂梨以个大、肉脆、汁多、味甜被湖北省农业厅命名为“湖北十大名果”，村民小张对黄金梨、黄花梨两种砂梨进行实验种植对比研究，年种植、两种砂梨各亩，收获后都以元的价格销售已知的平均亩产量比高，两种梨全部售出后总收入为元．
求年、两种砂梨的平均亩产量分别是多少千克？
年，小张优化了种植方法，在保持种植面积不变的情况下，、的平均亩产量在去年的基础上分别增加和由于品种深受市场欢迎，销售价在去年的基础上上涨，而品种的售价不变，两种梨全部售出后总收入比年增加，求的值．

23.  本小题分
在矩形中，，，为射线上一动点，连接，过作于．
如图，连接，当，，三点在一条直线上时；
求的长；
连接并延长交于，求证：；
如图，已知为中点，当时，求的值．

 

24.  本小题分
如图，已知抛物线：的顶点为，与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，．
求抛物线的解析式；
判断是否为直角三角形，并说明理由；
将抛物线经过适当平移后得到抛物线：，点，，都在抛物线上若，求的取值范围及的取值范围；
在的条件下，作直线的平行线和直线经过原点，与抛物线交于点，，直线与抛物线有唯一公共点若，求的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数、互为倒数，
．
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数选择．
本题考查了实数的性质，熟记倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：按照四舍五入精确到十分位，其结果是．
故选：．
把百分位上的数字进行四舍五入即可．
本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据对顶角相等得出，根据角的和差求出，根据平行线的性质得出，根据邻补角定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有种，
两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：作于点，
平分，于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，且，，
，
，
故选：．
作于点，由平分，于点，得，可证明≌，得，再证明≌，得，由，得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌及≌是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
根据题意可知的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．
【解答】
解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数，
描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
乙、丁两所学校的优秀人数相同，
点丙在反比例函数图象上面，
丙校的的值最大，即优秀人数最多，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，则，
，
故，
故选：．
作于点，利用勾股定理计算出和，然后再求：可得答案．
本题考查的是勾股定理及解直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用锐角三角函数解答问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，
，
，
，
，
．
故选：．
由已知可得，弦、、三等分半圆，从而不难求得的度数．
本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题可得：
，
，
或舍去，
主卧与客卧的周长差为：



米
故选：．
根据面积之差，利用完全平方公式可得的值，然后再利用正方形周长公式可得结果．
此题主要是考查了完全平方公式的运用，能够熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式


，
故答案为：．
利用绝对值性质及有理数的减法法则进行计算即可．
本题考查有理数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：过作轴于点，如图：

，
，
，
，
，，
≌，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
故答案为：．
过作轴于点，通过证得≌，得出，，可得点的坐标，
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：假设不规则图案面积为，
已知长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，
解得．
故答案为：．
首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆的半径为，
如图，连接、，
作，垂足为则，，
在中，
解得：．
即该圆的半径为．
故答案为：．
设圆的半径为，连接、，作，垂足为，利用勾股定理，在中，得到，求出即可．
本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
 

16.【答案】解：原式
，
，
整数，，，
当，时，原式没有意义；
当时，原式． 

【解析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出合适的整数的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图：四边形即为所求；
由作图得：，垂直平分，
，，，
又，
≌，
，
，
四边形是菱形．
 

【解析】根据题中步骤作图；
根据四条边都相等的四边形是菱形进行证明．
本题考查了作图的应用与设计，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：培训前测试成绩的中位数，培训后测试成绩的中位数，
；
故答案为：；
设小林和小王分别为，，其他两同学为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好同时选到小林和小王的结果有种，
恰好同时选到小林和小王的概率为．
培训前：，培训后：，
，
答：测试成绩为“分”的学生增加了人．
根据中位数的定义即可得到结论；
画树状图，共有种等可能的结果，其中同时选到小林和小王的概率的结果有种，再由概率公式求解即可．
根据题意列式计算即可．
本题考查了用样本估计总体，中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：符合要求，理由如下：
由题意可得，顶点为，
设解析式为，
函数过点，
代入解析式得，，
解得，
解析式为：，
令，则，
解得或舍去，
花坛的半径至少为；
令，则，
解得或舍，
为了不影响水流，小水池的半径不能超过米． 

【解析】知道顶点，列二次函数顶点式得出抛物线的解析式，令，则可以求水池的半径；
令，求出的值，进而可得出结论．
本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，在求解函数解析式时，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

21.【答案】证明：为切线，
．
又，
．
．
又，
．
．
故AC平分．
连接交、于点、，
为直径，
．
又，
．
又，，，
四边形为矩形．
，．
又．
≌．
．
又，由垂径定理可知，
．
又为中点，，
．
．
又，
．
又．
∽．
． 

【解析】由为切线、，证明，可得由，证明，从而得结论；
如图，连接交与点，交于点先证明四边形为矩形，再证明≌，可得，再证明，可得再证明∽，即可得结论．
本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理、掌握好以上知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：设年种砂梨的平均亩产量是千克，则种砂梨的平均亩产量是千克，
              由题意得，
                  ．
                                                    解得，
              则．
答：年种砂梨的平均亩产量是千克，种砂梨的平均亩产量是千克．

由题意可得优化后，种梨的平均亩产量为：，种梨的售价为元，
则亩种梨的收入为：，
优化后，种梨的平均亩产量为：，种梨的售价为元，
则亩种梨的收入为：，
优化后，两种梨的总收入为：，
则有：，
化简得：，
解得，．
答：的值为或． 

【解析】根据等量关系：种砂梨总收入种砂梨总收入总收入，设未知数，表示出两种砂梨的收入列方程求解即可．
根据题意分别表示出优化后、两种砂梨平均亩产量，售价和收入，并表示出优化后的总收入，再根据等量关系：种砂梨总收入种砂梨总收入总收入列方程求解即可．
本题第问考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意，找出等量关系是关键．当然也可用二元一次方程组求解．
第问输入增长率问题，考查了一元二次方程的应用，等量关系同，很容易找出，但本问数量比较多且代数式复杂，计算有一定的难度，做题时应小心谨慎有条理，注意不要算错．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
证明：如图，

连接，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
点、、、共圆，
，
，
；
解：如图，

连接，取的中点，取的中点，连接，连接，，作，作于，作于，
是梯形的中位线，
，
，，，
，
，，
，，
设，则，
由得，
，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
同理可得：，
，
，
综上所述：或． 

【解析】可证得∽，从而，进一步得出结果；
连接，可证得≌，从而，可证得点、、、共圆，从而，从而得出，从而；
连接，取的中点，取的中点，连接，连接，，作，作于，作于，可得出是梯形的中位线，进而求得，设，则，根据列出，求得的值，可证得∽，从而得出，从而求得，同样得出另一种情形．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 

24.【答案】解：，
，
，
，
，
将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
是直角三角形，理由如下：
，
，
，，，
，
是直角三角形；
点，在抛物线上，
，
点，在抛物线上，
，
，
，
，
，
，
解得；
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
当时，，，
，
设直线的解析式为，
当的方程有两个相等的实数根时，直线与抛物线有唯一公共点，
，
直线和间的距离为，
，
将代入，可得，
解得，
直线的解析式为． 

【解析】先求点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
求出点坐标，再由勾股定理逆定理进行判断即可；
由对称性可知，再将点，代入函数解析式可得，由，得到，即可求，再由，求出；
先求直线的解析式，再求直线的解析式为，当时，由韦达定理可得，，则，设直线的解析式为，由题意可知的方程有两个相等的实数根时，即，求出直线和间的距离为，则，将代入，可求，则直线的解析式为．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，不等式的性质是解题的关键．