2023年湖南师大附中教育集团中考数学第四次联考试卷（含解析）

这是一份2023年湖南师大附中教育集团中考数学第四次联考试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南师大附中教育集团中考数学第四次联考试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  毛泽东诗词七律二首送瘟神有“坐地日行八万里”的句子，是指以赤道上的某一点为参照点，我们每天即使原地不动，也会运动八万华里数据万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列调查中，适宜采用全面调查方式的是(    )A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量
B. 检测一批灯的使用寿命
C. 检测长沙市的空气质量
D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力5.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

 A. 长方体 B. 正方体 C. 球 D. 圆柱6.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若，则的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  不等式组的解集是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，是的直径，弦于点，连结，若的半径为，，则下列结论一定成立的是(    )A.
B.
C.
D. 10.  某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．
甲说：“乙第三名，丙第五名”
乙说：“戊第四名，丁第五名”
丙说：“甲第一名，戊第四名”
丁说：“丙第一名，乙第二名”
戊说：“甲第三名，丁第四名”
结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是(    )A. 甲乙丙丁戊 B. 丙乙甲戊丁 C. 丁戊甲乙丙 D. 丁甲乙戊丙二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  要使二次根式有意义，则的取值范围是          ．12.  已知，，则______．13.  一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数出现“正面朝上”的次数频率请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______精确到．14.  若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______．15.  若点，都在一次函数的图象上，则 ______ 选填“”“”“”．16.  如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则的面积为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．19.  本小题分
某“综合与实践“小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量他们在该教学楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如表不完整． 课题测量教学楼的高度成员组长：组员：，测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图
说明：线段表示教学楼，测量角度的仪器的高度，测点，与点在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，在同一直线上，点在线段上．测量数据测量项目第一次第二次平均值的度数的度数点，之间的距离 两次测得，两点之间的距离平均值为______ ；
根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践“小组求出教学楼的高度．20.  本小题分
为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅印发了教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知为贯彻通知精神，长沙某校团委组织了“如何合理健康使用手机”为主题的知识竞赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀奖”

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
获奖总人数为______ 人， ______ ；
请将条形统计图补充完整；
学校将从获得一等奖的名同学其中有一名男生，三名女生中随机抽取两名参加全市的比赛，求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．21.  本小题分
如图：在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
22.  本小题分
今年五一“网红长沙”再次火出“圈”，个旅游景区五天累计接待游客万人，成为全国十大必到城市之一长沙美食也吸引了无数游客纷纷打卡，某网红火锅店五一期间生意火爆，第天营业额达到万元，第天营业额为万元，据估计第天、第天营业额的增长率相同．
求该网红店第，天营业额的平均增长率；
若第天的营业额为万元，第五天由于游客人数下降，营业额是前四天总营业额的，求该网红店第天营业额．23.  本小题分
如图，在中，，，点是边上一点，交的延长线于点，点是的中点，连接，．
求证：≌；
若，，求的长．
24.  本小题分
二次函数是常数，与轴正半轴交于不同的两点、点在点的右边，与轴交于点，其图象顶点为点，点为坐标原点，与相似．
求的度数；
求证：；
若点，，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围．
25.  本小题分
定义：如图，是的直径，若弦，则称弦为的纬线．

如图，弦是的纬线，求证：；
弦和弦都是半径为的的纬线，，，，求这两条纬线之间的距离；
如图，弦和弦是直径两侧的纬线，连接、、、、、，的半径为，记四边形，，的面积依次为，，，若同时满足下列两个条件时，求的最大值用含的式子表示．
；
其中的一条纬线长不超过半径．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 2.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
选项中的图形为中心对称图形，
故选：．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意；
B、检测一批灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、检测长沙市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：根据主视图和俯视图为矩形是柱体，根据左视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
 6.【答案】 【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 7.【答案】 【解析】解：如图，

由题意可知，是等腰直角三角形，，
，
由题意可知，，，
，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案．
本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组．
 9.【答案】 【解析】解：是的直径，，
，
的半径为，，
，
，
故选：．
根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．
本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握垂径定理，锐角三角函数的定义等知识．
 10.【答案】 【解析】解：这里，只有戊的名次是重复的，所以戊一定是第名，
戊是第名的话，那丁就一定不是，所以丁是第名，则丙不是第名，丙是第名，则甲不是第名，甲是第名，则乙不是第名，乙是第名，
总结下来，名次是：丙是第一名，乙是第二名，乙甲是第三名，戊是第四名，丁是第五名，
故选：．
从各人的名次排列情况来分析，从“每个名次都有人猜对”入手分析，只有戊的名次是重复的，所以戊一定是第名．然后据此一一进行排除．
本题考查推理能力，推出戊一定是第名是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：二次根式有意义，故，
则的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：，，，
．
故答案为．  13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率．由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．
【解答】
解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为．
故答案为．  14.【答案】 【解析】解：该扇形的弧长．
故答案为：．
根据弧长公式计算．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．
 15.【答案】 【解析】解：在一次函数中，，
随着增大而减小，
，
．
故答案为：．
根据一次函数的增减性比较即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：过作于，
由作法得平分，
，
，
，
的面积，
故答案为：．
过作于，根据角平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 17.【答案】解：

． 【解析】先计算乘方、算术平方根、代入特殊角的三角函数值、去绝对值，再进行合并即可．
本题考查了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是解题的关键．
 18.【答案】解：原式
，
当时，原式． 【解析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
 19.【答案】 【解析】解：．
故答案为：；
由题意可知，，，四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，
，，，
，
．
答：教学楼高度为．
根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；
由等腰三角形的判定求出，根据含度直角三角形的性质求出，即可求出．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记含度直角三角形的性质是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：获奖的总人数为：人，
组所占的百分比为：，即，
故答案为：，；
组，即“三等奖”人数为：人，
补全条形统计图如下：

用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
根据频率即可求出获奖总人数，进而求出组所占的百分比；
求出组，即“三等奖”的人数，即可补全条形统计图；
用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查频数分布表，扇形统计图、条形统计图以及列表法或树状图法，掌握频率以及列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
 21.【答案】证明：在菱形中，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：设，则
在中，，
，
，
． 【解析】根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
设，则根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 22.【答案】解：设该网红店第，天营业额的平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：该网红店第，天营业额的平均增长率为；
前四天营业额为：万元，
第五天营业额为：万元，
答：该网红店第天营业额为万元． 【解析】设该网红店第，天营业额的平均增长率为，根据第天营业额第天营业额该网红店第，天营业额的平均增长率，列出一元二次方程，解方程即可；
求出前四天营业额，即可得出第五天营业额．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 23.【答案】证明：，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
中，，即，
，
由可知，
又，
，
∽，
，

，
，
． 【解析】由直角三角形的性质得出，根据可证明≌；
由全等三角形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 24.【答案】解：与相似，且为直角三角形，
为直角三角形，
由抛物线的对称性可知：为等腰三角形，
为等腰直角三角形，
；
证明：与都为等腰直角三角形，
，，
∽，
，
，
；
解：为等腰直角三角形，
，
，
，
令，
，
，
，
，
记的边上的高为，为等腰三角形，
，即，
联立解得或舍，
当，时，均有，
，，
解得，
，
． 【解析】根据相似的性质，判定出为等腰直角三角形，即可求；
通过证明∽，得到，再由，即可证；
先求出点，可得，当是由根与系数的关系可得，则，从而确定点，求出，记的边上的高为，为等腰三角形，得到，联立解得，根据当，时，均有，可知，，求出，又由，能得到．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，不等式的性质是解题的关键．
 25.【答案】解：如图，连接，

，
，
和所对的弧相等，
，
弦和弦都是的纬线，
，，
作交于，则，连接，，

，，，
根据勾股定理可得，，
有两种情况：
当弦和弦在圆心的同一侧时，；
当弦和弦在圆心的两侧时，，
和的距离是或；
过点作于点，于点，

设，，，，
则，，，
，
，
即，
或，
若，则
若，则
，
则，
，
，
在中，，
，
则号
令，
，
对称轴为，
，
，
当时，有最大值为，
的最大值为． 【解析】连接，根据平行线的性质和圆周角定理即可证明；
作交于，则，连接，；根据勾股定理可得，，分类讨论：当弦和弦在圆心的同一侧时；，即可求得；当弦和弦在圆心的两侧时；，即可求得；
过点作于点，于点，设，，，，分别求出，，，根据，可得，，故，根据勾股定理可得，令，故，分析该二次函数可得当时，有最大值为，即可求得．
本题考查平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，二次函数的性质等，运用分类讨论思想和借助二次函数求最值是解题的关键．