浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学

高二年级数学试题

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线方程，由，求得倾斜角.

【详解】由直线方程知，直线斜率为，则，

故倾斜角为，

故选：A

2. 设是虚数单位，复数，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】先化简复数，再求得解.

【详解】由题得，

所以.

故选：B.

3. 在中，已知，，，则等于（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】由正弦定理，，即，解得

故选：B.

4. 已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积单位：是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件及圆锥的侧面积公式，再利用弧长公式及圆的周长公式，结合圆锥的体积公式即可求解.

【详解】因为圆锥侧面展开图是半圆，面积为，如图所示

设圆锥的母线长为a，则，解得，

所以侧面展开扇形的弧长为，

设圆锥的底面半径，则

，解得，

所以这个圆锥的体积为

故选：C.

5. 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. ，，则 B. ，，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】由空间中的线面关系逐一判断即可.

【详解】由题意可知，在A中，若，，则m与相交或平行或，A错；

在B中，若，，，则或m与n异面，B错；

在C中，若，，则n与相交或平行或，C错；

在D中，若，，则平面内存在一直线平行于m，该直线垂直于平面，则，D正确.

故选：D.

6. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用投影向量的计算公式，可得答案.

【详解】解：在上的投影向量的坐标为

故选：B.

7. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.

详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），

＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），

∴点A到直线BC的距离为：

d＝

＝1×＝．

故选：A

【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.

8. 柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用列举法列出所有可能情况，再找出符合题意的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：分别用，，，，，表示6只鞋，则可能发生的情况有种，

如下所示：，，，，，，，，

，，，，，，

取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有6种，即，，，，，，

故选：C

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设复数，下列说法正确的是（    ）

A. z的虚部是y

B.

C. 若，则z为纯虚数

D. 若满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆

【答案】AD

【解析】

【分析】对A选项，由复数概念即可判断，对B选项展开即可判断，对C选项，当且时，z是纯虚数，对D选项由复数模的几何意义即可得到其轨迹.

【详解】由复数的概念知，A正确；

，故B不正确；

当且时，z是纯虚数，故C不正确；

因为，所以，即，表示以为圆心，1为半径的圆，故D正确.

故选：AD.

10. 如图，在棱长为的正方体中，下列选项正确的是（    ）

A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为

C. 直线平面 D. 二面角的大小为

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；

对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；

对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；

对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解；

【详解】对于A，因为为正方体，所以,且，

所以四边形为平行四边形，

所以，且，

所以异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求.

再由正方体的性质可得为等边三角形，故，

即异面直线与所成的角为，故A正确；

对于B，由题意可知，三棱锥 三棱锥，故B正确；

对于C，由正方体的性质可得，平面,平面,

所以,

因为为正方体，所以底面为正方形，即，

又,平面,

所以平面

又平面,

所以

同理可证，

又，平面，

所以平面，故 C正确；

对于D，由正方体的性质可知,平面,平面,

所以，

因为为正方体，所以底面为正方形，即，

所以是二面角的平面角，

因为为正方体，所以平面为正方形，

所以，即，所以二面角的大小为，故D 错误；

故选：ABC.

11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ）

A. 事件B与事件C是互斥事件 B. 事件A与事件B是相互独立事件

C. 事件B与事件C是相互独立事件 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得．

【详解】解：对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；

对于B，事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；

对于C，事件B与事件，，，，事件B与事件C相互独立事件，故C正确；

对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确．

故选：BCD.

12. 已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，，则下列选项中正确的是（    ）

A.  B. 的最大值为

C. 的最大值为12 D. 的最大值为9

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A选项，根据 判断；对于B选项，当时，取的最大值，再根据几何关系求解判断；对于CD选项，由向量的数量积的坐标运算转化为三角函数的最值问题即可求解.

【详解】由题意知，圆心，半径为，所以，

当点P在AC的延长线上时，最大，此时，

当点P在AC之间时，最小，此时，

所以，即选项A正确;

当直线AP与圆C相切时，取得最大值，

此时，，即选项B错误;

设，，

当时，此时点，有最大值为，即选项C正确;

，

所以的最大值为，即选项D错误.

故选：AC

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，若，则__________

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算得的坐标，再根据向量共线坐标运算即可求的值.

【详解】解：，

由，，可得，解得

故答案为：.

14. 写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程__________.

【答案】或写出1条即可

【解析】

【分析】分直线过原点与不过原点两类讨论，过原点设，不过原点设，分别代入点，求出未知数即可得到直线方程.

【详解】当直线过原点时，方程设为代入点A得：；

当直线不过原点时，设直线的方程为：，

把点代入直线的方程可得，则直线方程是

故答案为：或写出1条即可

15. 已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据两圆有公共点满足，即可求解.

【详解】由题意知，的圆心为，

两圆心的距离.

因为两圆相交或相切， 所以，解得

故答案为：

16. 已知直四棱柱，底面ABCD为平行四边形，，，，，以为球心，半径为2的球面与侧面的交线的长度为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由球的性质得交线为圆的一部分，而由题数据可证平面，即为圆心，在和上分别找到与球面的交点后计算弧长，

【详解】如图，取，连接，

因为在直四棱柱中，侧棱底面ABCD，

可得直四棱柱的四个侧面均为矩形，所以，

因为，所以以为球心，半径为2的球面与直线相切.

在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，

，根据余弦定理可得，

，

所以

因为，平面，所以，

所以，

所以球面与侧面的交点为F和，

又，平面，

所以点F和在以为圆心，半径为1的圆上，

因为，所以弧的长度为，

所以球面与侧面的交线为弧，所以球面与侧面的交线的长度为

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知直线

（1）求证：直线l过定点，并求出此定点;

（2）求点到直线l的距离的最大值.

【答案】（1）证明见解析，定点   

（2）

【解析】

【分析】（1）整理方程，分离出参数，建立方程组，解得答案；

（2）由（1）可知直线过定点，两点距离公式，可得答案.

【小问1详解】

由直线，则，

可得，解得，

故直线l过定点.

小问2详解】

由（1）可知直线过定点，

18. 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在至分钟之间，其频率分布直方图如下：

（1）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?

（2）（i）请补全频率分布直方图;

（ii）求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?

【答案】（1）高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人   

（2）（i）直方图见解析；（ii）

【解析】

【分析】（1）由分层抽样的比例公式求解即可；

（2）计算频率并补全频率分布直方图；由百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可

【小问1详解】

报名的学生共有1080人，抽取的比例为

所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人

【小问2详解】

（i）第三组频率为

故第三组的小矩形的高度为，

补全频率分布直方图得

（ii）各组的频率分别为，

前四组的频率之和为，

前五组的频率之和为，

所以第80百分位数为

所以第80百分位数是

19. 袋中有形状、大小都相同的个小球，标号分别为.

（1）从袋中一次随机摸出个球，求标号和为奇数的概率;

（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.

【答案】（1）   

（2）是公平的，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;

（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.

【小问1详解】

试验的样本空间，共6个样本点，设标号和为奇数为事件 B，则 B包含的样本点为，，，，共4个，所以

【小问2详解】

试验的样本空间，共有16个，

设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，，，，，，，，共8个,

故所求概率为,即甲胜的概率为，则乙胜的概率为,

所以甲、乙获胜的概率是公平的.

20. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面平面

（1）证明：平面，

（2）若，求直线l与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面平行判定定理以及线面平面性质定理，可得答案；

（2）由题意，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，结合线面角的向量公式，可得答案.

【小问1详解】

四棱锥的底面为正方形，，

平面PAD，平面PAD，平面PAD，

又平面平面，，

又平面ABCD，平面ABCD，平面.

【小问2详解】

由底面ABCD且四棱锥的底面为正方形，可知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

由于，

则，，，，

设平面PAC的法向量是，

则，令，得，

，直线的一个方向向量为，

设直线l与平面PAC所成角为，则

21. 已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为

（1）求圆C方程;

（2）过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意设圆心，则圆的方程为

，由垂径定理结合弦长即可求解；

（2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可

【小问1详解】

设圆心，则圆的方程为

，

或舍去

圆的方程为

【小问2详解】

①当斜率不存在时，此时直线l方程为，

原点到直线的距离为，

令代入圆方程得或，

，

满足题意.

此时方程为

②当斜率存在时，设直线l的方程为，

圆心到直线l的距离，

原点O到直线l的距离，

整理，得，此时k无解．

综上所述，所求的直线的方程为

22. 如图1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图

（1）证明：

（2）求二面角余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据翻折前后直线的位置关系确定垂直线段，根据线面垂直证明异面直线垂直即可；

（2）根据，设二面角的平面角为，可求得或，建立空间直角坐标系，根据空间向量坐标运算求解 二面角余弦值即可.

【小问1详解】

解：在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，

由题意知：且，四边形CEAB是平行四边形，

又 ，，四边形CEAB是菱形

故，即在折叠后端的图形中，又 ，面

面，又平面，

【小问2详解】

解：由  可得，又

设二面角的平面角为，则，或

过作于则面 ，则可过点作轴

如图建系：或，

设面的一个法向量为，则

则

或取

而面ABD的一个法向量为

或

由图可知二面角为锐角