辽宁省六校协作体2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)

辽宁省六校协作体2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）

一、单选题（共10道，每题4分，共40分，每题4个选项，只有一个符合题目要求）

1.命题“，使”的否定是（    ）

A. ，使 B. ，使

C. ，使 D. ，使

【答案】C

【解析】

【分析】

根据特称命题的否定是全称命题进行判断.

【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,

故选C.

【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.

2.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先解分式不等式，得，再求交集即可.

【详解】解：解分式不等式，得，解得：，

即，又，所以，

故选C.

【点睛】本题考查了分式不等式的解法及集合交集的求法，属基础题.

3.下列四组函数，表示同一函数的是（   ）

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数相等的条件，定义域、对应法则、值域相等，一一进行判断可得答案.

【详解】解：A项,=,,故A项不符合题意;

B项,f(x)=x的定义域为, 的定义域为{x｜且x≠0},故B项不符合题意;

C项,的定义域为 (-,-2][2,+),的定义域为[2,+], 故C项不符合题意;

D项,当x≥-1时f(x)=x+1,当x<-1时f(x)=-x-1,所以f(x)=g(x),故D项符合题意.

故本题正确答案为D.

【点睛】本题主要考查函数相等的条件，判断函数的定义域、对应法则分别相等是解题的关键.

4.若函数是定义在R上的奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先由函数的奇偶性可得函数在上的解集，再得函数在上的解集，再求并集即可得解.

【详解】解：由函数是定义在R上的奇函数，又，

所以，由在上是减函数，

所以当时，，当时，，

又函数是定义在R上的奇函数，所以在上是减函数，

当时，，当时，，

即的解集为，

故选:A.

【点睛】本题考查了利用函数的性质求解不等式，重点考查了函数性质的应用，属基础题.

5.使成立的一个充分但不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求解不等式所对应的集合，再观察所选选项所对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，逐一判断即可得解.

【详解】解：解不等式，则，即，

取 ， ，

则集合是集合的真子集，

即使成立的一个充分但不必要条件是，

故选B.

【点睛】本题考查了充分必要条件，重点考查了充要条件与集合的关系，属基础题.

6.已知a，b，c满足，那么下列选项一定正确的是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

c＜b＜a，且ac＜0，可得c＜0且a>0．利用不等式的基本性质即可得出．

【详解】∵c＜b＜a，且ac＜0，

∴c＜0且a>0，b与0的大小关系不定．

∴满足bc＞ac，ac＜ab，

故选D．

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7.函数一定存在零点的区间是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

∵在上单调递增，

以上集合均属于，根据零点存定理，

∴，

易知选项符合条件，

∴选择．

点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.

8.已知函数定义域是R，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

函数定义域是R等价于恒成立，再分别讨论当时，当时，方程的类型，再求解即可.

【详解】解：由函数定义域是R，则恒成立，

当时，，即满足题意，

当时，因为恒成立，则，

解得：，

综上可得实数a的取值范围是，

故选:C.

【点睛】本题考查了对含参数方程类型的讨论，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.

9.已知函数，则（    ）

A. 3 B. 5 C. 9 D. 11

【答案】D

【解析】

【分析】

先由分段函数解析式可得，再求得，得解.

【详解】解：由分段函数解析式可得，

又，

故选D.

【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题.

10.已知函数，若任意且都有，则实数的取值范围（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

不妨设，，任意可得，可得在上递增，的对称轴，得，故选A.

二、多选题（共3小题，每题4分，共12分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分）

11.若函数满足（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意当时，恒有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数中：① ； ②  ；③；④，则被称为“理想函数”的有（    ）

A. ① B. ②④ C. ③ D. ④

【答案】B

【解析】

【分析】

先理解“理想函数”的定义，再考查各函数的奇偶性及单调性，对于分段函数，画出函数图像，再观察图像即可得解.

【详解】解：由题意可得“理想函数”为奇函数且在定义域上为减函数，

对于①，的定义域为，函数的减区间为，即函数在上不为减函数，即①不为“理想函数”；

对于②，为上的减函数且为奇函数，即②为“理想函数”；

对于③，，即函数不为奇函数，即③不为“理想函数”；

对于④，函数的图像如图所示，由图可知④为“理想函数”；

即被称为“理想函数”的有②④，

故选B.

【点睛】本题考查了对“理想函数”的理解，主要考查了不同类型函数的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

12.下列几个命题：①若方程的两个根异号，则实数；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数 在上是减函数，则实数a的取值范围是；④ 方程 的根满足，则m满足的范围，其中不正确的是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】BC

【解析】

【分析】

由韦达定理可判断①是否正确，由用定义法判断函数奇偶性可判断②是否正确，由二次函数的开口方向及对称轴方程可判断③是否正确，由函数与方程的关系，将方程问题转化为函数问题可判断④是否正确.

【详解】解：对于①，方程的两个根异号，由韦达定理可得，即①正确；

对于②，，则，得，或，则，显然函数既是偶函数也是奇函数，即②错误，

对于③，函数 在上是减函数，则，即，即③错误；

对于④，方程的根满足，设，

由题意有，即，即，即④正确，

即不正确的是②③，

故选BC.

【点睛】本题考查了函数的有关性质，主要考查了函数与方程的关系，重点考查了运算能力，属中档题.

13.已知函数，,都有成立，且任取，，以下结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 若则

【答案】AB

【解析】

【分析】

由函数，,都有成立，且任取，，则函数的图像关于直线对称，在为增函数，在为减函数，再逐一判断各选项即可得解.

【详解】解：由函数满足，则函数的图像关于直线对称，又，，则函数在为减函数，

对于选项A，因为，所以，即A正确；

对于选项B，由已知有在为增函数，在为减函数，即，即B正确；

对于选项C，，又在为减函数，所以，即C错误；

对于选项D，当则，则或，即D错误，

即结论正确的是AB，

故选AB.

【点睛】本题考查了函数的对称性及增减性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.

三、填空题(每空2分，共16分)

14.已知函数，则函数的零点是_______；不等式的解集为_______.

【答案】    (1). ,0    (2).

【解析】

【分析】

先将函数的零点问题转化为方程的根的问题，然后分，两种情况解不等式即可.

【详解】解：令，即或，即或，

即函数的零点是-2,0，

解不等式，即，即或，即或，

即不等式的解集为，

故答案为(1).，0    (2)..

【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了不等式的解集，属基础题.

15.设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】    (1). 2    (2).

【解析】

【分析】

先求出函数，的单调区间，再求其最小值，再利用不等式有解问题分离变量最值法求解即可得解.

【详解】解：因为函数，，

易得函数在为减函数，在为增函数，所以，

即函数的最小值为,

又，使得成立，则，即，

解得：或，即实数的取值范围是或，

故答案为(1). 2    (2).

【点睛】本题考查了函数在闭区间上的最值问题，重点考查了不等式有解问题，属中档题.

16.已知函数，设函数，当时，；当时，，则________ ；函数的最小值是________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

先阅读题意，再求出函数，再结合分段函数最值的求法即可得解.

【详解】解：解不等式，即，解得，

即时，，解不等式，即，解得或，即或时，，

即

当或时，，

当时，，

即函数的最小值是，

故答案为（1）.,(2)..

【点睛】本题考查了分段函数最值求法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.

17.设表示不超过的最大整数，已知函数，则________ ；其值域为_________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

先阅读题意，再作出函数的图像，再观察图像即可得解.

【详解】解：作出函数的图像，如图所示，由图可知，其值域为，

故答案为(1).     (2).

【点睛】本题考查了阅读理解能力，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程步骤）

18.已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.

（1）求集合A和集合B；

（2）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由函数定义域的求法可得，解二次不等式可得；

（2）由集合的运算可得集合之间的关系为，再列不等式或，运算可得解.

【详解】解：（1）解不等式，解得：或，即，

解不等式 ，得，即；

（2）由，则，

所以或，解得：或，

故实数m的取值范围为：.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，重点考查了集合之间的包含关系，属中档题.

19.已知函数是奇函数，且.

（1）求实数a，b的值；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明．

（3）若，求函数的值域

【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由函数为奇函数可得,，再联立解方程组即可得解；

（2）利用定义法证明函数在上为增函数即可；

（3）由函数在上为增函数，则可求得函数的值域.

【详解】解：（1）由函数是奇函数，且,则，

即 ，解得： ；

（2）由（1）得：，

则函数在上为增函数；

证明如下：

设，则=，又因为，所以，，，

即 ，即，

故在上为增函数；

（3）由（2）得：函数在上为增函数，

所以，即，

故，函数的值域为：.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.

20.已知函数 是定义R的奇函数，当时，.

（1）求函数 的解析式；

（2）画出函数的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间

（3）当时，求关于m的不等式 的解集．

【答案】（1）；（2）图象见解析，和 ；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由函数的奇偶性可求得函数的解析式；

（2）利用二次函数图像可作法可得函数的图像及单调增区间；

（3）利用函数在减函数且为奇函数，可得，再求解即可.

【详解】解：（1）由函数是定义R奇函数，则，

设，则，因为函数是定义R的奇函数，

所以，

综上可得：；

（2）函数的图像如图所示，由图可得函数单调递增区间为和；

（3）由（2）可知，函数在为减函数且为奇函数，

当时，关于m的不等式，即，

则，即，

解得，

故关于m的不等式的解集为.

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

21.2021年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2021年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额成本）

（2）2021年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）2021年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.

【解析】

【分析】

（1）先阅读题意，再分当时，当时，求函数解析式即可；

（2）当时，利用配方法求二次函数的最大值，当时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.

【详解】解：（1）由已知有当时，

当时，，

即，

（2）当时，，

当时，取最大值，

当时，，

当且仅当，即时取等号，

又

故2021年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.

【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.

22.已知二次函数.

（1）若方程两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求的解集；

（2）若关于的不等式的解集为.

（ⅰ）求解关于的不等式

（ⅱ）设函数，求函数的最大值

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.

【解析】

【分析】

（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组求解即可；

（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得，则可化为，再解此不等式即可；

（ⅱ）由（ⅰ）得，再利用均值不等式求函数最大值，一定要注意取等的条件，得解.

【详解】（1）由题意可得，解得，，

解不等式，即，即，解得，

因此，不等式的解集为；

（2）（ⅰ）由题意可知，所以可化为，

即，得，解得或

所求不等式的解集为.

（ⅱ）由（ⅰ）可知=

= ,

因为所以，所以，当且仅当时即时取等号 ,

所以，

所以当时， .

【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题.

23.已知二次函数满足下列3个条件:①函数的图象过坐标原点； ②函数的对称轴方程为； ③方程有两个相等的实数根.

（1）求函数的解析式；

（2）令，若函数在上的最小值为－3，求实数的值；

（3）令，若函数在内有零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由题意可设，再结合求解即可；

（2）讨论当时，当时，当时，函数在的单调性求最小值即可得解；

（3）先由，又函数在内有零点，则，再求解即可.

【详解】解：（1）由二次函数满足函数的图象过坐标原点，则可设，又函数的对称轴方程为，

则即，又方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，则，即，即；

（2）由（1）得，

当时，在上为增函数，则，解得，不合题意，

当时，在上为减函数，则，解得，符合题意，

当时， ，解得，

故实数的值为或；

（3）由（1）得：，

由函数在内有零点，则方程在内有解，

则，解得，

故实数的取值范围为：.

【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及函数在闭区间上的最值问题，重点考查了函数零点及方程的解的关系，属中档题.